2.切线问题割线的极限位置

1、 1. 熟练掌握导数的四则运算法则熟练掌握导数的四则运算法则; 2. 熟练掌握反函数复合函数求导法则熟练掌握反函数复合函数求导法则; 3. 熟记基本初等函数与常见的初等函熟记基本初等函数与常见的初等函 数的导数表达式数的导数表达式; 4. 了解高阶导数的定义和高阶导数的了解高阶导数的定义和高阶导数的 运算法则运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹包括高阶导数的莱布尼兹 公式公式 5. 掌握导数和微分的基本应用。掌握导数和微分的基本应用。 第五章第五章 导导 数数 教学要求教学要求： 下页 第第 五五 章章 导导数数与与微微分分 1 1 导导数数概概念念 在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量

2、随自变量变化的依赖关系，但 是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因 变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即 将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞 行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻 的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。 下页 变变速速运运动动物物体体的的速速度度问问题题 在中学里我们学过平均速度 t s ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间 内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭

3、 速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道 时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握 火箭飞行速度的变化规律。 不过瞬时速度的概念并不神秘， 它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛 顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短 的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似 代替称为“以匀代不匀”。 设物体运动的路程是时间的函数 )(ts，则在 0 t到 t 这段时间内的平均速度为 0 0 0 0 t tt t ) )s s( (t ts s( (t t) ) v v 下页 可以看出

4、t 与 0 t 越接近，平均速度 v 与 0 t 时刻的瞬时速度越接近，当 t 无限接近 0 t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 0 t 时刻的瞬时速度， 即物体在 0 t 时刻的瞬时速度为 0 0 0 0 t tt t 0 0 t tt t ) )s s( (t ts s( (t t) ) l li im m) )v v( (t t 0 0 （1） 按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下： 因为自由落体运动的运动方程为： t t , , 0 0t t, ,g gt t 2 2 1 1 s s 2 2 ， 按照上面的公式 0 00 0 t tt t 0 0 2

5、 2 0 0 2 2 t tt t 0 0 0 0 t tt t g gt t) )t t( (t t 2 2 g g l li im m t tt t g gt t 2 2 1 1 g gt t 2 2 1 1 l li im m t tt t s ss s l li im mv v( (t t) ) 0 00 00 0 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 0 t t t 下页 切切线线问问题题 设曲线的方程为 )(xf ， p l 为过曲线上两点),( 000 yxp 与 ),(yxp的割线， 则 p l的斜率为 0 0 0 0 p p x xx x ) )f f( (x xf

6、f( (x x) ) k k 如图 (d51) 当点),(yxp沿着曲线趋近 ),( 000 yxp时，割线 p l 就趋近于点),( 000 yxp 处的切线， p k 趋近于切线的斜率 k ，因此切 线的斜率应定义为 0 0 0 0 x xx x x xx x ) )f f( (x xf f( (x x) ) l li im mk k 0 0 （2） 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容 ox y )(xfy t 0 xx n m 下页 2.切线问题切线问题 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 播放播放 下一页上一页 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 返回 2.切

7、线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 二二、导导数数的的定定义义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理 意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 0 0 xxxx )f(xf(x) lim 0 （3） 定义 1、设函数)(xfy 在点

8、0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 0 0 0 x xx x x xx x ) )f f( (x xf f( (x x) ) l li im m 0 0 存在，则称函数 f 在点 0 x 可导，并称该极限为函数 f 在点 0 x 处的导数， 000 xxxxxx0 | dx df ,| dx dy ,|y,)(xf 等. 若上述极限不存在，则称 f 在点 0 x 不可导。 下页 注：令xxx 0 ，)()( 00 xfxxfy，则（3）式可改写为 ) )( (x xf f x x ) )f f( (x xx x) )f f( (x x l li im m x x y y l li im m

9、0 0 0 00 0 0 0 x x0 0 x x （4） 所以，导数是函数增量y 与自变量增量x 之比 x y 的极限，这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数)( 0 x f 则为 f 在 0 x 处关于 x的变化率，它能够近似描绘函数)(xfy 在点 0 x 附近的变化性态。 例 1 求函数 2 )(xxf 在点1x 处的导数，并求曲线在点（1，1）处的 切线方程。 解：由定义求得 x x 1 1x x) )( (1 1 l li im m x x f f( (1 1) )x x) )f f( (1 1 l li im m( (1 1) )f f 2 2 0 0 x

10、 x0 0 x x 2 2x x) )( (2 2l li im m x x x x2 2x x l li im m 0 0 x x 2 2 0 0 x x 下页 由此知道抛物线 2 xy 在点（1，1）处 的切线斜率为 2 2( (1 1) )f fk k 所以切线方程为 1 1) )2 2( (x x1 1y y 即 12 xy. 例 2 求函数 x y 1 在 0 0 x 处 的导数 解 根据导数的定义 2 000 0 x 00 00 0 x 00 0 x 0 x 1 x)(xx 1 lim x)(xxx xxx lim x x 1 xx 1 lim)(xf 下页 例3 证明函数 | |

11、x x| |f f( (x x) ) 在点 0 0 x x0 0 处不可导. 证: 因为 0 0 x x, ,1 1 0 0 x x, ,1 1 x x x x 0 0 x x f f( (0 0) )f f( (x x) ) 极限 0 x f(0)f(x) lim 0 x 不存在，所以)(xf在0 x 处不可导. 例4 证明 函数 0 x,0 0 x, x 1 xsin f(x) 在0 x 处不可导 证明 由于极限 0 x f(0)f(x) lim 0 x ， 不存在,所以f(x)在0 x处不可导. y o 1/ 1/x 1 |x| x y o 不可导点不可导点 不可导点不可导点 下页 例

12、5 常量函数 c cf f( (x x) ) 在任何一点x x 的导数都等于零，即 0 0( (x x) )f f 接下来我们来了解一下函数在点 0 x 可导与函数 在点 0 x 连续的关系，为此先介绍有限增量公式. 由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 o o( (x x) ) )x x( (x xf fy y 0 0 我们称这个是式子为有限增量公式。 注：此公式对x x = 0 仍旧成立。 利用有限增量公式，可得下面结论： 定理 1 若函数)(xf在 0 x 处可导，则函数)(xf在 0 x 处连续。但是可导仅是 连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数 | xy 在 0 x 处连续，

13、但不可导。 例2 证明函数)()( 2 xdxxf 仅在点 0 x = 0 处可导。其中 )(xd为狄利克雷函数 o (x) ) )x x(x(xf f 0 0 下页 为无理数x当,0 为有理数x当,1 d(x)d(x) 证：当 x00 时，由归结原理可得 f(x)f(x) 在 0 0 x xx x 处不连续，所以, 由定 理 5.1，x xf(x)f(x) 在 0 0 0 x xx x 处不可导。 当 0 0 x x0 0 时，由于d(x)d(x) 为有界函数, 因此得到 .0 0 xd(x)xd(x)limlim 0 0 x x f(0)f(0)f(x)f(x) limlim(0)(0)f

14、 f 0 0 x x0 0 x x 下页 （二二）函函数数在在一一点点的的单单侧侧导导数数 类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函 数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。 定义 2 设函数 )(xfy 在点 0 x 的某右邻域 ) )x x, ,( (x x 0 00 0 上有定义，若右 极限 x x ) )f f( (x x x x) )f f( (x x l li im m x x y y l li im m 0 00 0 0 0y y0 0 x x (0 x ) 或 0 0 xxxx )f(xf(x) lim

15、0 ( 00 xxx) 存在，则称该极限值为 f 在点 x0 的右导数，记作)( 0 xf ； 类似地，可定义左导数 x x ) )f f( (x x x x) )f f( (x x l li im m) )( (x xf f 0 00 0 0 0 x x 0 0 _ _ 右导数和左导数统称为单侧导数。 下页 如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是： 定理5.2 若函数)(xf在点 0 x的某邻域内有定义，则)( 0 x f 存在的充分必要条件 是：)(, )( 00 xfxf 都存在，且 )( 0 xf = )( 0 xf 。 说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论

16、，通过左、右导数来判断该 点是否存在导数及若存在应等于什么。 例 1lim 0| lim) 0 (, |)( 00 x x x x fxxf xx 1lim 0| lim) 0( 00 x x x x f xx 例 讨论函数 xxxfsgn)( 2 在 0 x 的导数。 下页 x y 2 xy 0 xy 解 0, 0, )( 2 2 xx xx xf 0 0 lim) 0 ( 2 0 x x f x 0 0 lim) 0( 2 0 x x f x 由定理2，0) 0 ( f 连续函数不存在导数举例 0 x 处是角点，不可导 , 0, 0, )( 2 xx xx xf 下页 0 x 处振荡，左右

17、导数都不存在。 , 0 x0, 0 x, x 1 xsin f(x) 0 1 1/1/x y 下页 （三三）导导函函数数 若函数在区间 i 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为 i 上的可导函数。此时对每一个i，都有f的一个导数)( xf（或单侧导数）与之 对应，这样就定义了一个在 i 上的函数，称为f在 i 上的导函数，也简称为导数，记作 dx df dx dy yxf,)( 等. 即 ix, x f(x)x)f(x lim(x)f 0 x . 说明：1区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。 2在物理学中导数 y也常用牛顿记号 y 表示，而记号 dx

18、dy 是莱布尼茨 首先引用的。目前我们把 dx dy 看作为一个整体，也可把它理解为 dx dy 施加于 y 的求导 运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种 表示导数的形式，。 00 xxxx | dx dy 或|f 下页 例 6 证明： (i) 为正整数nnxx nn ,)( 1 ; (ii) sinx)(cosx,cosx)(sinx (iii) . x 1 )(lnx特别, )0 x,1a,0a(log x 1 )x(log e aa 证：（i）对于 y = x n, 由于 1nn n 2n2 n 1n1 n nn xcxxcxc x xx)(x x

19、 y 因此 )xcxxcx(clim x y limy 1nn n 2n2 n 1n1 n 0 x0 x = 1n1n1 n nxxc 下页 (ii) 下面证第一个等式，类似可证第二个等式，由于 x ) 2 x cos(x 2 x 2sin x sinxx)sin(x = , ) 2 x cos(x 2 x 2 x sin 因为 cosx 是（- , + ）上的连续函数，因此得到 ) 2 x cos(xlim 2 x 2 x sin lim)(sinx 0 x0 x = cosx. (iii) 由于 ) x x (1log x 1 x xlogx)(xlog a aa = ,) x x (1log x 1 x x a 下页 所以 e a x x a 0 x x a log x 1 ) x x (1log x 1 lim)(log . 若a = e ,且以e 为底的自然地数常写作lnx，则由lne = 1 及上式有 x 1 )(lnx . 三、导数的几何意义 我们知道时的极限即正是割线是割线的切线切线在点 00 xxk,xxf(x) 0 0 xx xx )f(xf(x) limk 0 由导数的定义，)( xfk ，所以曲线 )(xfy 在点),( 00 yx的切线方程是 )x