数值分析第二章复习与思考题

1、第二章复习与思考题1什么是拉格朗日插值基函数它们是如何构造的有何重要性质答：若n次多项式lj x (j 0,1,n)在n 1个节点x。XiXn上满足条件1, kj,Zj,k 0,1,n,0, kj,则称这n 1个n次多项式lo X ,11 X , ,ln X为节点Xo,X1, Xn上的n次拉格朗日插值基函数.以1k X为例，由1k X所满足的条件以及1k X为n次多项式，可设lk XX X0X Xk 1 X Xk 1xn ，其中A为常数，利用|k xk1 A XkXoxk xk 1 xkxk 1XkXn,XkX0XkXk 1XkXk 1XkXnIk(X)X X0X Xk 1 X Xk 1 Xx

2、nn X XjXkXoXkXk 1XkXk 1XkXnj 0 Xk Xjj k对于lj X (i0,1,n)，kXili xxkk 0,1,n，特别当k0时，有li X1.2什么是牛顿基函数它与单项式基1, X,有何不同答：称 1, X X0, X x0X X1 ,X0x Xn 1为节点X0, X1,Xn上的牛顿基函数，禾U用牛顿基函数，节点X0,X1,Xn上的n次牛顿插值多项式可以表示为Pn x a。a1XX0an XX0XXn 1其中akfX0,x1,xk , k0,1, n.与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如Pk 1 XPk X

3、 ak 1 XX0XXk其中ak i是节点xo,xi,Xk i上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基1,x, ,xn方便得多3什么是函数的n阶均差它有何重要性质答： 称 f X0, Xk-f-Xkf X0 为函数 f x 关于点 x0, xk的一阶均差，Xk Xof Xo, Xi, Xk f Xj Xkf Xo Xl 为 f X 的二阶均差 一般地，称XkXiXo,Xi,Xnf Xo, ,Xn 2,Xnf Xo,Xi, ,Xn i为f x的n阶均差XnXn i均差具有如下基本性质:(i) n阶均差可以表示为函数值 f x0 , f禺，,f Xn的线性组合，即f Xo,Xi,Xnf XjXj

4、XoXj Xj i Xj Xj iXj Xn该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性 f X,Xi, Xnf Xi,X2, , Xnf Xo,Xi,XniXnXo(3)若f x在a,b上存在n阶导数，且节点Xo, Xi, ,Xn a,b，则n阶均差与n阶 导数的关系为f nf Xo,xi,Xn， a,b .n!4写出n i个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同答：给定区间 a,b上n i个点a xox-iXn b上的函数值yif Xi (i o,i, ,n)，则这n i个节点上的拉格朗日插值多项式为Ln x yJk xk oX Xj其中 lk xL , k o,

5、i, ,n.j o XkXjj k这n i个节点上的牛顿插值多项式为Pn xa0 a1 x x0an x x0x xn 1 ,其中 akf Xo,Xi, Xk , k 0,1, ,n 为 fx 在点 x,Xi, Xk 上的 k 阶均差.由插值多项式的唯一性，Ln x与Pn x是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性， 当增加节点时只需增加一项， 前面的工作依然有效， 因而牛顿 插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点 .5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组 Ax y ，其中系数矩阵与使用的基函数有关. y 包含的是要满足的函数值yo ,yi, ,yn T.用下列基

6、底作多项式插值时，试描述矩阵中非零元素的分布 .anln x ，其中 lk x 为(1) 单项式基底； (2) 拉格朗日基底； (3) 牛顿基底 .答：(1) 若使用单项式基底，则设Pn xa0a1xa.x，其中 ao, ai,定系数，利用插值条件，有a0a1x0nanx0y0a0a1x1nanx1y1，a0a1xnn anxnyn因此，求解 Ax y的系数矩阵A为1 x0nx0n1 x1nx1A1 xnn xn为范德蒙德矩阵 .,an 为待(2) 若使用拉格朗日基底，则设Ln xa0l0xa1l1 x拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有a0l0 x0 a0l 0 x1a1l1 x0anln

7、x0anln x1y0y1 ，a1l1x1a0l0 xna1l1xnanln xnyn由拉格朗日插值基函数性质，求解 Ax y的系数矩阵 A为100010A001为单位矩阵(3)若使用牛顿基底，则设Pn XXXa0a1 xan X0an X1X0an XXn 1Xn 1X0Xy0y1Xn 1，由插值条件，有a。a。a1 xa洛XXX0X1a。a XnX0an XnXXnXn 1yn即a。y0aa-ix1X0y1aa1 XnXan XnXXnXn 1yn故求解Axy的系数矩阵A为11x1XA 1x2XX2 X0X2X11XnXXnX0XnX1XnX0XnX1XnXn 1为下三角矩阵6用上题给出的

8、三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底7给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差答：设fnx在 a,b上连续，fn1x在 a,b内存在，节点a xo XiXn b， Ln x是满足条件Ln Xj yj, j 0,1, ,n的插值多项式，则对任何x a,b，插值余项Rn x f xLn xfn1/ in 1(x)，n 1 !这里a, b且与x有关，n 1 xXX0XX-IX X若有max f n 1 x M n 1，则Ln x逼近f x的截断误差

9、a x bRn X|Mn ： | n 1 x .n 1 !8埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么什么是泰勒多项式它是什么条件下的插值 多项式答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等称nTX。nPn xf xof xo x xo X Xon!为f x在点X。的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为Pnk Xof k Xo , k 0,1, ,n，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点xo处给出n 1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.9为什么高次多项式插值不能令人满意分段低次插

10、值与单个高次多项式插值相比有何 优点答：对于任意的插值结点，当n 时，Ln x不一定收敛于f x，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象10. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别哪一个更优越请说明理由答：三次样条插值要求插值函数S xC a,b ，且在每个小区间Xj, Xj 1上是三次多项式，插值条件为S Xjyj, j o,1,n .三次分段埃尔米特插值多项式1 h x是插值区间a

11、,b上的分段三次多项式，且满足1Ih X C a,b，插值条件为I h Xkf Xk，I hXkf Xk ,(k0,1,n).分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些11. 确定 n 1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数为确定这些参数，需加上什么条件答：由于三次样条函数 S x 在每个小区间上是三次多项式， 所以在每个小区间xj ,xj 1上要确定 4 个待定参数， n 1个节点共

12、有 n 个小区间，故应确定 4n 个参数，而根据插值条 件，只有 4n 2 个条件，因此还需要加上 2个条件，通常可在区间 a,b 的端点 ax0，b xn上各加一个边界条件，常用的边界条件有 3 种：(1) 已知两端的一阶导数值，即S x0f0 ， S xnfn .(2) 已知两端的二阶导数值，即S x0f0 ， S xnfn ,特殊情况为自然边界条件S x00 ， S xn0.(3) 当 f x 是以 xn x0 为周期的周期函数时， 要求 S x 也是周期函数， 这时边界条件 就满足S x 0 S xn 0 ， S x0 0 S xn 0 ， S x00 S xn0这时 S x 称为周期

13、样条函数 .12. 判断下列命题是否正确(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多 .(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的 .(3) h x (i 0,1,n)是关于节点Xi(i 0,1,n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次n数不大于n的多项式P x都有 li x P xiP xi0(4) 当fx为连续函数，节点 Xj(i 0,1,n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln x ，则 n 越大 Ln x 越接近 f x .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数Sn x ，则 n 越大得到的三次样条函数Sn x 越接近 f x .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的 .(7) 函数