定积分的几何意义

1、 基础部制作 高 等 数 学 第七章第七章 定积分定积分 l在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中， 经常需要计算某些“和式的极限”。如：曲边梯 形的面积，变速直线运动的路程等。这就是第七 章我们要学习的内容。 l定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象 出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学 概念。但是，微积分基本定理则把这把这两个概 念联系起来，解决了定积分的计算问题，使定积 分得到了广泛的应用。 第一节第一节 定积分的概念定积分的概念 7.1.1 7.1.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。 如何求曲边梯形的面积

2、？ 求解思路：分割求解思路：分割 取近似取近似 求和求和 取极限取极限 把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。 如果把区间如果把区间a, b无限细分，使每个区无限细分，使每个区 间的长度无限趋于间的长度无限趋于0，这时小矩形面积之，这时小矩形面积之 和的极限就是曲边梯形面积的精确值。和的极限就是曲边梯形面积的精确值。 即 （面积是和式的极限） i ni n i ii x xfa 1 1 0 max )(lim 其

3、中 7.1.2 7.1.2 定积分的定义定积分的定义 b a n i ii i n i iii iii ni iiiii nn x)(flimdx)x(f b ,a)x(f x)(fx)(f x,xxmax ),n,i (xxx).n,i(x,x nb ,a,bxxxxa b ,a)x(fy 1 0 1 i1 1 11 121 0 2121 的定积分，记为 上在区间值为函数极限存在，则称此极限 时上述如果的和式：作乘积 ，上任取一点再在每个小区间 记 个小区间为分 上有定义，任取分点在设函数定义 关于定积分定义的几点说明：关于定积分定义的几点说明： l定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分

4、区 间，而与积分变量采用什么字母无关。 l定积分的存在性：当f(x)在a,b上连续或只有有限 个第一类间断点时，f(x)在a,b上的定积分存在。 l规定 初等函数在定义区间内部都是可积的 a a b a a b dx)x( fdx)x( fdx)x( f0 7.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义 b a adxxf)( 1.如果f(x) 0，图形在x轴的 上方（如右图） 由前面的曲边梯形面积的讨 论可知积分值为正,且 2. 同理，如果f(x)0,图形在x 轴的下方，积分值为负，且 b a adxxf)( l3.如果f(x)在a,b上有正 有负时（如右图所示） 则积分值就等于曲线 y=f(

5、x)在x轴上方部分与 下方部分面积的代数和。 b a 321 adxf(x)aa a b 7.1.4 定积分的性质定积分的性质 假定下面有关函数在所给区间内都是连续的 性质1 函数的代数和可逐项积分，即 性质2 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即 性质3 （可加性）不论a、b、c三点相互位置如何， 恒有 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( b a b a kdxxfkdxxkf为常数）()()( b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( 性质4 （积分的比较性质）在a,b上若f(x)g(x),则 性质5 （积分估计性质）设m与m分别是f

6、(x)在a,b上 的最大值与最小值，则 性质6 （积分中值定理）如果f(x)在a,b上连续，则至 少存在一点 使得 b a b a dxxddxxf)()( b a abmdxxfabm)()()( , ba b a abfdxxf)()( dxxxdxdxxrxdx r r 1 1 2 0 1 1 22 )4(cos) 3()2() 1 ( 思考题 1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义 推证下列积分的值： 2.若当axb,有f(x) g(x) ,问下面两个式子是否均 成立，为什么？ dxxgdxxf dxxgdxxf b a b a )()()2( )()()1( 小结小结 定

7、积分 的概念 曲边梯形 的面积 定积分 的定义 定积分的 几何意义 定积分 的性质 7.2 7.2 微积分基本公式微积分基本公式 7.2.1 7.2.1 变上限定积分变上限定积分 上限积分为变上限积分函数或变 通常称函数函数，记作 个的一是变上限有一个确定的值，因此就 值，积分个上变动时，对应于每一在一个定数，当 是，于是积分上连续，在设函数 )x( )bxa(dt)t ( f)x()x( xdt)t ( fdt)t ( f xb ,ax dt)t ( fb ,axb ,a)x( f x a x a x a x a 由上分析可得：由上分析可得： l推论 连续函数的原函数一定存在。 （这就解决了

8、上一章原函数存在问题，又初步揭 示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 ） 的一个原函数。是知，由 上可导，且其导数是在积分 上连续，则变上限在区间如果函数定理 )x(f)x()x(f)x( )bxa()x(fdt)t (f dx d )x( b ,adt)t (f)x( b ,a)x(f x a x a 1 例题：例题： .tdtcos dx dx 2 2 1求例 xcostdtcos dx dx 2 2 2 解 2 1 3 2 x dtt)x( 求下列函数的导数例 73 1 2 3 2 22xxu dx dx )dtt( du d dx du du d dx d xux)x( u 则，有

9、所以按复合函数求到法 ，变量的复合函数，其中中间是这里解 2 0 0 3 x tdtsin lim x x 求例 2 1 2 0 2 0 0 2 0 0 x xsin lim )x( tdtsin lim x tdtsin lim x x x x x 利用洛必达法则，可得解 7.2.2 7.2.2 牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式 (newton-leibniz)(newton-leibniz) l牛顿于1665-1666年间发明了微积分，1687年公布 在巨著自然哲学的数学原理中。莱布尼兹于 1673-1676年间发明了微积分，1684年公布了论文。 微积分到底是谁发明的，这在世界科学

10、史上曾是 一桩公案。 l微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不 是由他们发明的”（恩格斯：自然辩证法）。 l下面将简介两位科学家 大科学家大科学家牛顿（牛顿（newton) l牛顿牛顿-英国伟大的数学英国伟大的数学 家、物理学家、天文学家、物理学家、天文学 家和自然哲学家。家和自然哲学家。16421642 年年1212月月2525日生于英格兰日生于英格兰 林肯郡格兰瑟姆附近的林肯郡格兰瑟姆附近的 沃尔索普村沃尔索普村,1727,1727年年3 3月月 2020日在伦敦病逝。日在伦敦病逝。 l牛顿在科学上最卓越的牛顿在科学上最卓越的 贡献是贡献是微积分和经典力微积分和经典力 学学的创建。的创

11、建。 数学天才数学天才莱布尼兹莱布尼兹 l莱布尼兹（莱布尼兹（gottfriend gottfriend wilelmwilelm leibniz,1646- leibniz,1646- 17161716）是）是1717、1818世纪之世纪之 交德国最重要的数学家、交德国最重要的数学家、 物理学家和哲学家，一物理学家和哲学家，一 个举世罕见的科学天才。个举世罕见的科学天才。 他博览群书，涉猎百科，他博览群书，涉猎百科， 对丰富人类的科学知识对丰富人类的科学知识 宝库做出了不可磨灭的宝库做出了不可磨灭的 贡献。贡献。 关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争 论。实际上，牛顿在微积分方

12、面的研究虽早于莱布尼兹，但 莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹于1684年10月发 表在教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型 的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛 顿在1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二 版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家g、w莱布尼兹 的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、 作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了 这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现 了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几 乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三 版及以后再版时，这段话被删掉了。

13、）因此，后来人们公认 牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究 微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了微积分 的历史和起源一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。 l 定理2：设函数f

14、(x)在闭区间a,b上连续，又 函数f(x)是函数f(x)在区间a,b上的一个原函 数，则 l注：1、此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积 分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在 区间a,b上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增 量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 2、通常也把牛顿-莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 )a(f)b(f)x(fdx)x( f b a b a 例题 0 1xdxsin求例 20 cosx- 0 0 )cos(cosxcosxdxsin xsin 所以）因为（解 3 2 2dxx求例 得，利用定积分的可加性故

15、应分为两个区间计算 时函数表达式不同，和当被积函数含有绝对值，解00 xx 2 13 2 1 2 1 3 0 20 2 2 0 2 3 0 3 2 |x|xxdxdx)x(dxx 思考题思考题 2.在牛顿-莱布尼兹公式中，要求被积函数f(x)在积分 区间a,b上连续。问当f(x)在区间a,b上有第一类 间断点时，还能否用牛顿-来布尼兹公式计算定积分？ 2 2 1 x x ?)x(f ,dttsin)x(f.若 2 2 2 2 2012 01 110 12 3 xx xx x xx )x(f,dx)x(f.其中求 7.3.1 7.3.1 定积分的换元法定积分的换元法 b a dtt)t (fdx

16、xf . b atx,t ;tb ,atx ,txb ,a)x(f 则单调地变到 的值从上变化时，在区间当 上又连续导数在区间 如果 上连续，作变换在区间设函数定理 2 1 1 几点说明：几点说明： l“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限. l从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值. l从左到右应用上公式,相当于不定积分的第二 换元法,这时换元必换限,不用回代,这与不定 积分的第二换元法是完全不同的. 例题：例题： 4 0 1

17、 1 x dx 求例 ,tdtdx),t (tx, tx20 2 则即设解： .tx;tx2400时，当时，当 )ln(| )tlnt ( dt tt tdt x dx 32212 1 1 12 1 2 1 2 0 2 0 2 0 4 0 于是 换元必 换限 dxe ln x 2 0 12 求例 .dt t t dx),tln(x, te x 1 2 11 2 2 即设解 于是时，时，当,tlnx;tx1200 2 22 1 1 12 1 2 1 1 0 1 0 2 1 0 2 2 0 | )tarctant ( dt) t (dt t t tdxe ln x 2 0 3 cos3 xdxsi

18、nx求例 4 1 4 1 cos 2 0 2 0 2 0 433 | xcosxcosxdcosxdxsinx解 l说明：这一解法没有引入新的积分变量， 计算时，原积分的上、下限不要改变。比 较以上几个例子可知，对于能用“凑微分 法”求原函数的积分，应尽可能用此方法， 从而简化计算。 a a a a a .dx)x(f)x(f)( ;dx)x(fdx)x(f)x(f a ,a)x(f 02 21 4 0 为奇函数时，当 为偶函数时，当）（ 上连续，则在区间设函数例 aa a a (1) a a a a xxfxxfxxf 0 0 d)()d(d)( 在第一个积分中 tx令 a a xxfttf

19、 0 0 d)()(d)( aa xxfttf 00 d)(d)( a xxf 0 d)(2 (2) 由(1)的证明过程可知 aaa a xxfttfxxf 00 d)(d)(d)( . 0d)(,)( a a xxfxf故为奇函数而 例5. 证明 2 0 2 0 d)(cosd)(sin xxfxxf 证:则作变换, 2 tx 0 2 2 0 )d)(cosd)(sin ttfxxf 2 0 d)(cos xxf 特别地有 2 0 2 0 dcosdsin xxxx nn 思考题：思考题： ?xdxsinx. 4 2 ?dxxx. 1 2 2 1 7.3.2 7.3.2 分部积分法分部积分法

20、 设u(x), v(x)在a ,b上有连续 导数, 则有 b a b a b a )x( u)x( v)x( v )x( u)x(dv)x( ud l上式称为定积分的分部积分公式 l此公式的应用关键是： 的选取。)x(dv)x(u、 2ln 0 dxxe x 求 由公式得 2ln 0 2ln 0 )(dd xx exxxe 2ln 0 2ln 0 dxexe xx 2ln 0 2ln 2 1 x e 2 ln 2 1e e e xx 1 dln求 e e e e e e xxxxx 1 1 1 d|lndln ) 1 ( 1 e e e e e 2 2 0 dsin xxi n n 计算 2

21、0 dsin xxi n n 2 0 1 )cosd(sin xx n 2 0 22 2 0 1 dcossin) 1(cossin xxxnxx nn 2 0 22 d)sin1 (sin) 1( xxxn n nn inin) 1() 1( 2 则 2 1 nn i n n i 而易求得 1dsin , 2 d 2 0 1 2 0 0 xxixi 则当n为偶数时 , 2! ! !)!1( 2 1 4 3 2 31 0 n n i n n n n in 则当n为奇数时 . ! !n !)!n( i n n n n in 1 2 1 4 3 2 31 1 思考题思考题 解解 令令,sectx

22、, 4 3 3 2 : t,sectantdttdx 2 2 2 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3 2 . 12 思考题分析 tsecx 当令, 4 3 , 3 2 t , 0tan t . ttanttanx1 2 所以错误出在 正确解法是 2 2 2 1xx dxtxsec tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3 2 . 12 小结 积分方法 换元法分部积分法 凑微分法第二换元法 换元必换限 u与dv的选取 定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取

23、ab ，如果极限，如果极限 b a b dxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极 限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积 分，记作分，记作 a dxxf)(. . a dxxf)( b a b dxxf)(lim 7.4.1 7.4.1 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取 ba ，如果极限，如果极限 b a a dxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极 限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积 分，记作分，记作 b dxxf)(. . b

24、 dxxf)( b a a dxxf)(lim 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在 时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果 广义积分广义积分 0 )(dxxf和和 0 )(dxxf都收敛，则都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间 ),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0 )(dxxf 0 )(dxxf 0 )(lim a a dxxf b b dxxf 0 )(lim 极限存在称广义积分收

25、敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. . 例例1 1 计算广义积分计算广义积分 . 1 2 x dx 解解 2 1x dx 0 2 1x dx 0 2 1x dx 0 2 1 1 lim a a dx x b b dx x 0 2 1 1 lim 0 arctanlim a a x b b x 0 arctanlim a a arctanlim b b arctanlim . 22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分 解解 . 1 sin 1 22 dx xx 2 1 sin 1 2 dx xx 2 11 sin x d x b b x d x 2 11 sin

26、lim b b x 2 1 coslim 2 cos 1 coslim b b . 1 证证, 1)1( p 1 1 dx x p 1 1 dx x 1 ln x , , 1)2( p 1 1 dx x p 1 1 1p x p 1, 1 1 1, p p p 因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为 1 1 p ； 当当1 p时广义积分发散时广义积分发散. 证证 a pxdx e b a px b dxelim b a px b p e lim p e p e pbpa b lim 0, 0, p p p e ap 即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散. b a dxxf)( b a dxxf )(lim 0 7.4.2 7.4.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 b a dxxf)( c a dxxf)( b c dxxf)( 定义中定义中c c为瑕点，以上积分也称为瑕积分为瑕点，以上积分也称为瑕积分. . 例例5 5 计算广义积分计算广义积分 解解 ).0( 0 22 a xa dx a , 1 lim 22 0 xa ax a xa dx 0 22 a xa d