数列通项公式与求和习题

1、数列通项一.求数列通项公式1观察法1111已知数列3 ,5 ,7 ,9 一,A试写岀其一个通项公式：4816322公式法：(等差数列通项公式；等比数列通项公式。)等差数列an丿是递增数列，前n项和为Sn ,且a1 ,a3, a9成等比数列，S a5 .求数列：an 的通项 公式.3用作差法：已知Sn (即a1 - a2 L a f (n)求an，用作差法：a“ =：) 一 累加法：若 an1 -a. = f(n)求 a. : a. =(aan) (an -a) L (a? -aj p (n 一2)。1 已知数列，且 a=2, an+1=an+n, 求 an.n,(n - 2)1 o1设正整数数

2、列an前n项和为Sn，满足S = -(an 1)，求an2.已知an的前n项和满足log2(Sn 1) = n 1, 求 an求an53.数列 a*满足 a| = 4, SnSn 1 an 彳,31 1 14数列an满足1a1 产2丄2a2n 5，求an|f (1),( n=1)4作商法：已知 aaLanH n)求 a.，用作商法：a. = f (n)(、。f( n1),(n2)2如 数列an中，a1 =1,对所有的n - 2都有a2a3上an = n，则a3 a5 =2已知数列an满足a =1, an -anj(n _2)，则 an=6累乘法：已知 也=f( n)求an，用累乘法：二电也 L

3、 邑 创(n _ 2) anan J an_2al1已知数列 也匚满足ai = 2 , an an，求an。3n十1.2已知数列an中，a =2，前n项和Sn,若Sn二n2an，求an7用构造法(构造等差等比数列)。(1)形如an 1 = pan f n只需构造数列 h 消去f n带来的差异.其中f n有多种不同形式f n为常数，即递推公式为 anpan q (其中p，q均为常数，(pq(p_1)=0)。解法：转化为：an 1 -t =p(an -t)，其中t，再利用换元法转化为等比数列求解。1 P例.已知数列、an冲，印=1， an彳=2an 3，求an .f n为一次多项式，即递推公式为

4、an pan rn s 例设数列an * ： aj = 4,an = 3an，2n 2,( n _ 2)，求 an.通项专题答案=2n 112 ann53 (1)an =2n -1an；3,n =12n,n -26116(1)ananan;14, n =1八 2n1, n_22n -n 4二，n 1 i：；212 46 (1)an(2)an :3nn(n +1)7 (1) an =2n 1 -3(2) an=6 3nJL - n12.已知 a3且务 1 =3an 2n，求 a.答案：a 5 3nJ -2n 答案：a5 3nJ -2n18.已知a1且3Sn 1 Sn二an 1，求an答案:3an

5、1n(3n -3)33a11.已知数列an的首项ai = 3 , an+i=乩,n=1, 2，求an的通项公式；答案：an52an +13n二.数列求和1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其 公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式:1 2 3 L n=2n(n 1),12 22 Ln2 =1 n(n 1)(2n 1)2 613 23 33 L n3 珂虫尹2._11例已知log 3 x，求x x2 x x 的前n项和.答案：Sn = 1 nlog2 32.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，

6、再运用公式法求和.例2.1 1 1求数列的前n项和：11,4,* 7,；一y 3n - 2，答案:a aanSna - an J 3n2 _ na 123.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).例 3.求sin21： sin22： sin23_ 亠sin288 ： sin289 的值 答案：Sn =44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法)23n 1例 4求和：S

7、n3x 5x 7x(2n _1)x 一例5 求数列|，263多前n项的和答案:Sn =4n_15 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：1 _1(1 1 )；n(n k)Wn n k八1k2 -11 1 1 1 1(k 1)k k2 (k -1)k 一 k -1 一 k1n(n 1)( n 2)1 1 12_(n 1)(n2)(n 1)! n!1(n 1)!求数列111 2 I 2 一3的前n项和.答案:答案:Sn8nn 16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8 .求 1 11

8、 111,1 之和.n个 1答案:Sn10n 1 -10 -9n81.能力综合1 数列a n的通项公式为an=，已知前m项和Sn=9,则.n+1+ , n 98CA.992. 数列 1, 1+2, 1+2+2 2,，1+2+22+2n-1 前 n 项和等于()A. 2n+1-n3. 数列laj的首项为3,bn 1为等差数列且bnA. QB. 3C1 11。1 - an 11 - an1 _ ；-n 1，记 Sn -bk，证明：Sn ：1.nk 4 10n+1.2nn+1D 2 -n-2.2n-n-an( n 二 N ：；)，若 = -2, 0Q = 12，则 a8 =()D. 11=an 1.

9、84设数列：an 满足aQ且(1)求的通项公式;(2)设 bn -5.如果 f(x+y)=f( x) f(y),且 f(1)=-2，则4. f(3) ,f(5) l . f(2QQ7) f(2) f f(6)f(2QQ8)等于答案:-5Q26.设数列an的前n项和为S=2n2, bn为等比数列，且 a1=b , b2 (l)求数列a n和b n的通项公式；a设6= n，求数列c n的前n项和Tn答案：(1) a 4n-2,bn bn(a2-a 1) =b121盯(2) 95 57求满足下列条件的数列 ：an ?的通项公式。12 ,ai 4n Tn2 _n：2an = 3()已知 满足an 1

10、= anA-；(2)已知1 an满足2a* 1 = 3 an，且 a = 3，求 a*。4n 3答案：(1) an竺亠(2)4n 2&求下面各数列的前 n项和。1111乙,rvrvrvL1 2 32 3 43 4 59.设函数f (n)的定义域为N+,且满足f (m n) = f (m) - f (n厂mn ,f(1) = 1，求 f (n)。a +1 21Q设正值数列 an的前n项和为sn,满足sn = ( n )(1)求a1, a2, a3 (2)求出数列 an的通项公式(3)设bn求数列 bn的前n项和Tnanan 1答案：(1)印=1卫2 =3 =5； (2) an =2n -1 ；

11、(3) Tn 二2n+111.已知数列a n:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a, (a 2 -aj,(a3-a2),，(an-a n-1),1此数列是首项为1，公比为丄的等比数列3(2)(l)求数列a n的通项;求数到a n的前n项和Sn12已知数列an的首项 ai=2 , an1 二-2 , n=1, 2,3 a. +1(1)证明：数列 -1是等比数列；(2) 求数列 的前n项和S J J13. (2012大连一模)已知各项均为正数的数列an满足ai = 1,an “ anan彳- an = 0。,r2ni(1)求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列前n项和Sn。lanj2nJ答案：(1)an J(2)Sn =(n -1)2n 1 2n314 ( 2012东三省第一次联考)数列an前n项和Sn，且Sn(an -1)，数列bn满足213口bnbn(n 一2)，且 b1 =3。4 4()求数列an与bn的通项公式；(2)设数列Cn满足Cn二a*4og 2 (bn1)，其前n项和为Tn ,求Tn。n2_n(5 -2n)3 -15答案：(1) an - 3 , bn - 4-1 ； ( 2) Tn :2