专题12 几何最值之将军饮马知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习(1)_第1页
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1、几何最值之将军饮马知识精讲什么是将军饮马？传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。如图，将军每天从军营a出发，先到河边饮（yn）马，然后再去河岸同侧的b地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.一、两点一线1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点a、b，怎样在直线上找到一点p，使得papb的值最小？思路：由“两点间线段最短”可得当a、p、b三点共线时，papb的值最小

2、，即为ab的长度.构图：连接ab，ab与的交点即为点p，如图所示：2.如图，在直线同侧有a、b两个定点，怎样在直线上找到一点p，使得papb的值最小？思路：和上题相比，这个问题就难在papb不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.构图：作点a关于的对称点a，连接ab，ab与直线的交点即为点p，如图所示：3.如图，在直线同侧有a、b两个定点，怎样在直线上找到一点p，使得的值最大？构图：连接ab并延长与的交点即为点p，如图所示：4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点a、b，怎样在直线上找到一点p，使得的值最大？构图：

3、作点b关于直线的对称点b，连接ab并延长与的交点即为点p，如图所示：5.如图，在直线同侧有a、b两个定点，怎样在直线上找到一点p，使得的值最小？构图：连接ab，作ab的垂直平分线与直线交于点p，此时为0，如图所示：二、一定两动1.如图，点p在aob的内部，怎么样在oa上找一点c，在ob上找一点d，使pcd的周长最小？构图：分别作点p关于oa、ob的对称点p、p，连接pp，交oa、ob于点c、d，此时pcd的周长最小，pp即为pcd的周长最小值，如图所示：2.如图，点p在aob的内部，怎么样在oa上找一点c，在ob上找一点d，使pdcd的值最小？构图：作点p关于ob的对称点p，过点p作pcoa交ob于点d，交oa于点c，此时pdcd的值最小，pc即为pdcd的值最小.3.如图，点p在aob的内部，怎样在oa、ob上分别取点c、d，使得pcd的周长最小？构图：分别作点p、q关于oa、ob的对称点p、q，连接pq分别交oa、ob于点c、d，此时pcd的周长最小值为pqpq，如图所示：三、两点两线在直线m、n上分别找两点p、

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