人教版初中九年级上册课件：垂直于弦的直径

1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明；垂径定理进行计算和证明； 2.2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱对数学的热爱 问题：你知道赵州桥吗？它是问题：你知道赵州桥吗？它是13001300多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智

2、慧的结晶，它的主桥拱石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m37.4 m，拱高，拱高 （弧的中点到弦的距离）为（弧的中点到弦的距离）为7.2 m7.2 m，你能求出赵州桥主桥，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？拱的半径吗？ 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？什么关系？ 解析：解析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是 它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠它的对称轴，所以两侧半圆折

3、叠后重叠. . 观察右图，有什么等量关系？观察右图，有什么等量关系？ ao=bo=co=doao=bo=co=do，弧，弧adad弧弧bcbc， 弧弧adad弧弧bdbd， aeaebe be ao=bo=co=doao=bo=co=do，弧，弧adad弧弧bc=bc=弧弧 acac弧弧bdbd o c d a b o b c d a e 已知：在已知：在o o中，中，cdcd是直径，是直径，abab是弦，是弦，cdabcdab，垂足，垂足 为为e.e.求证：求证：aeaebebe，弧，弧acac弧弧bcbc，弧，弧adad弧弧bd.bd. 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径

4、平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧条弦，并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理 证明猜想证明猜想 判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？ o cd b a o c d b a o cd b a o cde 解析：解析：定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！前三个图均不能，仅第四个图可以！ 定理辨析定理辨析 例例1 1：如图，已知在圆：如图，已知在圆o o中，弦中，弦abab的的 长为长为8 8，圆心，圆心o o到到abab的距离为的距离为3 3 ， 求圆求圆o o的半径。的半径。

5、 e o ab 例 题 解：解：根据题意得，根据题意得， ae=4cm oeab oe=3cmae=4cm oeab oe=3cm 在在rtrtoeaoea中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： aoao2 2=oe=oe2 2+ae+ae2 2=3=32 2+4+42 2=25=25 ao=5cmao=5cm o a bc d 变式变式1 1：acac、bdbd有什么关系？有什么关系？ 变式变式2 2：acacbdbd依然成立吗？依然成立吗？oa bc d o a bc df e 变式变式3 3：eaea_, ec=_._, ec=_. fdfdfbfb o ab cd 变式变式4 4：_

6、ac=bd._ac=bd.oa=oboa=ob o ab cd 变式变式5 5：_ac=bd.ac=bd. 归纳：归纳： oc=odoc=od 如图，如图，p p为为o o的弦的弦baba延长线上一点，延长线上一点，papaabab2 2，popo5 5， 求求o o的半径的半径. . m p b o 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线条非常重要的辅助线. . 跟踪训练 解析：解析：提示作提示作om om 垂直于垂直于 pb pb ，连接，连接oa.oa. 答案：答案： a 17 画图叙述垂径定理，并说出定理的题

7、设和结论画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论. . 题设题设 结论结论 直线直线cdcd经过圆心经过圆心o o 直线直线cdcd垂直弦垂直弦abab 直线直线cdcd平分弦平分弦abab 直线直线cdcd平分弧平分弧acbacb 直线直线cdcd平分弧平分弧abab 想一想：如果将题设和结论中的想一想：如果将题设和结论中的5 5个个 条件适当互换，情况会怎样？条件适当互换，情况会怎样？ o b cd a e （1 1）平分弦（不是直径）的直径）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧；条弧； （2 2）弦的垂直平分线经过圆心，）弦的垂直平分线

8、经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧；并且平分弦所对的两条弧； （3 3）平分弦所对的一条弧的直径，）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧一条弧. . o b cd a e 推论推论1 如图，如图，cdcd为为o o的直径，的直径，abcdabcd，efcdefcd，你能得到什，你能得到什 么结论？么结论？ 弧弧aeae弧弧bfbf 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等. . f o b a e c d 推论推论2 【解析解析】如图所示，连接如图所示，连接obob，则，则ob=5,od=4,ob=5,od=4,利用勾股定利用

9、勾股定 理求得理求得bd=3,bd=3,因为因为ococabab于点于点d d，所以，所以ad=bd=3,ad=bd=3,所以所以ab=6.ab=6. 答案：答案：6 6 1.1.（20102010毕节中考）如图，毕节中考）如图，abab为为o o的弦，的弦，o o的半径为的半径为5 5， ocabocab于点于点d d，交，交o o于点于点c c，且，且cdcdl l，则弦，则弦abab的长是的长是 3.3.（20102010湖州中考）如图，已知湖州中考）如图，已知o o的直径的直径abab弦弦cdcd于点于点e e， 下列结论中一定正确的是（下列结论中一定正确的是（ ） a aaeaeoe

10、 oe b bcecedede 1 2 cece c coeoe d daocaoc6060 b b 2 2（20102010绍兴中考）已知绍兴中考）已知o的半径为的半径为5,5,弦弦abab的弦心距的弦心距 为为3,3,则则abab的长是的长是( )( ) a.3 b.4 c.6 d.8a.3 b.4 c.6 d.8 d d 4.4.（20102010安徽中考）如图，安徽中考）如图，o o过点过点b b 、c c。圆心。圆心o o在在 等腰直角等腰直角abcabc的内部，的内部，bacbac90900 0，oaoa1 1，bcbc6 6， 则则o o的半径为（的半径为（ ） a. b. c.

11、 d. a. b. c. d. 【解析解析】选选d.d.延长延长aoao交交bcbc于点于点d d，连接，连接obob， 根据对称性知根据对称性知aobcaobc，则，则bd=dc=3. bd=dc=3. 又又abcabc为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，bacbac9090， 则则ad= =3,od=3-1=2,ad= =3,od=3-1=2, ob=ob= 10322313 1 2bc 22 2 313. 5 5、已知：如图，在以、已知：如图，在以o o为圆为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦abab 交小圆于交小圆于c c，d d两点两点. . 求证：求证：acacbd.bd. 证明：证明：过过o o作作oeaboeab，垂足为，垂足为e e， 则则aeaebebe，cecede.de. aeaececebebede.de. 所以，所以，acacbdbd e e . . a a c cd d b b o o 通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们： 1 1理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径