【高考数学】解析几何万能解题套路

1、解析几何万能解题套路题题解1、江苏卷第18题如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为。 当直线平分线段，求的值； 当时，求点到直线的距离； 对任意，求证：。nmpaxybc解：由已知有、设直线：设、，其中 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立由已知有由已知有直线的方程：设将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立 当直线平分线段时，直线直线过的中点即 当时，点到直线的距离：即 对任意，第21题题解1、理数湖南卷第21题如图，椭圆：的离心率为，轴被曲线：截得的线段长等于

2、的长半轴长。 求，的方程 设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与相交于点，。 证明：。 记，的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由。解：由已知有又解得， 的方程为：的方程为： 由已知有设直线的方程为：设、 将直线的方程代入的方程，整理得 其中，恒成立由已知设有直线的方程为：由已知设直线的方程为：设， 将直线的方程代入的方程，整理得 将直线的方程代入的方程，整理得 证明： 由已知有又又满足题意的直线存在，为：1、理数全国卷第21题已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足 证明：点在上； 设点关于点的对称点为，证明：、四点在同一圆

3、上。解：由已知有由已知有直线的方程为：设、 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立设由已知 在上 由已知有则的中垂线为：设、的中点为则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为到直线的距离为即、四点在同一圆上。1、理数山东卷第22题已知动直线与椭圆：交于、两不同点，且的面积，其中为坐标原点。 证明：和均为定值。 设线段的中点为，求的最大值； 椭圆上是否存在三点、，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。解：设直线的方程为： 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，到直线的距离由已知有的面积 ，恒为定值，恒为定值 由已知有线段的中点，的最大值为 设存在满足题意的三点、则由“”有 -

4、，得同理有，不妨令，则即直线垂直于轴，直线或直线平行于轴为直角三角形。1、理数四川卷第21题椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点。直线与直线交于点。 当时，求直线的方程； 当点异于、两点时，求证：为定值。解：由已知有椭圆方程为：由已知设直线的方程为：设、 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立由已知设 由已知有直线的方程为：由已知有直线的方程为：设 即代入、，解得 证明：由、得为定值1、理数北京卷第19题已知椭圆：，过点作圆的切线交椭圆于、两点 求椭圆的焦点坐标和离心率； 将表示为的函数，并求的最大值。解：由已知设直线的方程为：将直线的方程代入圆方程，整理得由已

5、知有设、 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中， 由已知有椭圆的焦点坐标为和，离心率为 当且仅当，即时取等号所求的函数，其最大值为2。1、理数天津卷第21题在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点，已知为等腰三角形。 求椭圆的离心率。 设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。解：由已知有、为等腰三角形，椭圆方程为 椭圆的离心率 由已知有直线的方程为：设、 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立设由已知点的轨迹方程为1、理数天津卷第21题在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点，已知为等腰三角形。 求椭圆的离心率。 设直线与椭圆相交于、

6、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。解：由已知有、为等腰三角形，椭圆方程为 椭圆的离心率 由已知有直线的方程为：设、 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 其中，恒成立设由已知点的轨迹方程为1、理数辽宁卷第20题如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线，与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为、。 设，求与的比值； 当变化时，是否存在直线，使得，并说明理由。解：由已知设的方程：则、由已知设的方程：由已知 由已知设直线的方程为：设、，其中将直线的方程代入椭圆的方程，整理得 其中，将直线的方程代入椭圆的方程，整理得 其中， 当时，当时，

7、与的比值为 当时又又当时，存在满足题意的直线；当时，不存在满足题意的直线。1、理数广东卷第21题在平面直角坐标系上，给定抛物线：，实数、满足，是方程的两根，记。 过点作的切线交轴于点。证明：对线段上的任一点，有； 设是定点，其中、满足，过作的两条切线，切点分别为，、与轴分别交于、，线段上异于两端点的点集记为。证明：； 设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）。解： 证明：由已知知点在上，过点的的切线的斜率为直线的方程为：设点为线段上的任一点方程，即方程的两根为线段上的任一点 当时， 当时此时当时此时 当时， 当时此时当时此时综上所述，对线段上的任一点，有。 证明：由已知有直线的方程为

8、：由已知有直线的方程为：解得 当时，由“”有： 当时，由“”有：综上所述， 当时，设过点的的切线的斜率为，其中为切点处的横坐标该切线方程为：为该切线上的点 当时，即 当时，又综上所述，又由“”有：1、理数江西卷第20题是双曲线：上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线、的斜率之积为。 求双曲线的离心率； 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值。解：由已知有 、由已知 由、得又双曲线的方程为： 双曲线的离心率 由已知有双曲线的右焦点为直线的方程为：设、 将直线的方程代入双曲线方程，整理得 其中，恒成立由已知设由已知的值为4或0。直线和圆锥曲线常

9、考ian锥曲线经题型运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。2、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。3、两条直线垂直：则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点t(-1,0)作直线与曲线n ：交于a、b两点，在x轴上是

10、否存在一点e(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段ab的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线ab的距离d为。解得满足式此时。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆c：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为a1(-2,0),a2(2,0)。（i）求椭圆的方程；（ii）若直线与x轴交于点t,点p为直线上异于点t的任一点，直线pa1,pa2分别与椭圆交于m、n点，试问直线mn是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（i）由已知椭

11、圆c的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（ii）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点m的坐标为，同理，设直线a2n的斜率为k2，则得点n的坐标为，直线mn的方程为：，令y=0，得，将点m、n的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，mn过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点a、b、c是椭圆e： 上的三点，其中点a是椭圆的右顶点，直线bc过椭圆的中心o，且，如图。(i)求点c的坐标及椭圆e的方程；(ii)若椭圆e上存在两点p、q，使得直线pc与直线qc关于直线对称，求直线pq的斜率。 解：(i) ，且bc过椭圆的中心o又点c的坐标为

12、。a是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点c代入方程，得，椭圆e的方程为(ii) 直线pc与直线qc关于直线对称，设直线pc的斜率为，则直线qc的斜率为，从而直线pc的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：则直线pq的斜率为定值。题型五：共线向量问题例题5、设过点d(0,3)的直线交曲线m：于p、q两点，且,求实数的取值范围。解：设p(x1,y1),q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程组消元法又p、q是椭圆+=1上的点消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线pq的方程为：，由消

13、y整理后，得p、q是曲线m上的两点即 由韦达定理得：即 由得，代入，整理得，解之得当直线pq的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。题型六：面积问题例题6、已知椭圆c：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆c的方程；（）设直线l与椭圆c交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求aob面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系

14、xoy中，过定点c（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于a、b两点。（）若点n是点c关于坐标原点o的对称点，求anb面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以ac为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（）依题意，点n的坐标为n（0,-p）,可设a（x1,y1）,b（x2,y2），直线ab的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,ac的中点为径的圆相交于点p、q，pq的中点为h，则.=令，得为定值，故

15、满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以ac为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以ac为直径的圆的交点为p（x2,y2）,q（x4,y4）,则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题8、（如图（21）图，m（-2，0）和n（2，0）是平面上的两点，动点p满足：（）求点p的轨迹方程；（）若,求点p的坐标.解：()由椭圆的定义，点p的轨迹是以m、n为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，

16、长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为 ()由得 因为不为椭圆长轴顶点，故p、m、n构成三角形.在pmn中， 将代入，得 故点p在以m、n为焦点，实轴长为的双曲线上. 由()知，点p的坐标又满足，所以 由方程组 解得 即p点坐标为问题九：四点共线问题例题9、设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点q、a、b的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又a，p，b，q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点a、b在椭圆c上，即 （

17、1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆c上，将（1），（2）分别代入c的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上问题十：范围问题（本质是函数问题）设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满

18、足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）设椭圆e: （a,b0）过m（2，） ，n(,1)两点，o为坐标原点，（i）求椭圆e的方程；（ii）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且？若存在，写出该圆的方程，并求|ab |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆e: （a,b0）过m（2，） ，n(,1)两点,所以解得所以椭圆e的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交