【配套Word版文档】第八章8.4

1、东方工昨莖核Z8.4空间中的平行关系2014 高 考 会 这 样1. 考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2解答题中证明或探索空间的平行关系.A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷复 习 备考要 这样做1熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理 和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全 而失分；2学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢 记解决问题的根源在“定理”.东看工咋堂核2备课纽制件1 平行直线(1) 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2) 基本性质4(空间平行线的传递性):平行于同一条直线的

2、两条直线互相平行.(3) 定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.(4) 空间四边形：顺次连接不共面的四点 A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形.2 直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面;东方工咋塞核2备裸U制件判定定理：a? a, b? a,且 a / b? a / a(3)其他判定方法：all 3, a? a? aU.3. 直线和平面平行的性质定理：a ll a, a? 3, an 3= I? a / I.4. 两个平面平行的判定（1）定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行;(2) 判定定理：a? a

3、, b? a, an b= M, al 3, b / 3? a/ 3(3) 推论：a n b= M, a , b? a, an b= M , a, b ? 3, a/ a, b/ b ? a/35. 两个平面平行的性质定理(1) all 3, a? a a / 3; all 3 , 丫门 a= a, Yn 3= b? a / b.难点正本疑点清源1. 平行问题的转化关系:2. 证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.往往3. 辅助线（面）是解（证）线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，需要

4、作辅助线（面）.A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷1.已知不重合的直线a ,b和平面 a,若 a / a, b? a,则a / b；若 a /a,b / a,则a / b；若 a / b , b? a,则a / a；若 a / b , a / a,则b / a 或 b? a上面命题中正确的是.（填序号）答案解析 若a / a, b? a,贝U a, b平行或异面；若a/ a, b/ a,贝U a, b平行、相交、 异面都有可能； 若a / b, b? a,则a / a或a? a2. 已知a、B是不同的两个平面，直线a? a,直线b? 3,命题p： a与b没有公共点；命题q： a/ 3,贝U

5、 P是q的条件.答案必要不充分解析 a与b没有公共点，不能推出a/ 3而a/ 3时，a与b 一定没有公共点，即pD? /q, q? p，二p是q的必要不充分条件.3. 已知平面a/平面3直线a? a,有下列命题：a与3内的所有直线平行；a与3内无数条直线平行；a与3内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是 .答案解析 因为a/ 3 , a? a,所以a / 3在平面3内存在无数条直线与直线a平行，但不* % X1EX是所有直线都与直线 a平行，故命题 为真命题，命题 为假命题.在平面 B内存在无 数条直线与直线 a垂直，故命题 为假命题.4. （2011浙江）若直线I不平行于平面 a且l?a

6、,则（）A . a内的所有直线与I异面B . a内不存在与I平行的直线C. a内存在唯一的直线与I平行D . a内的直线与I都相交答案 B解析 由题意知，直线I与平面a相交，则直线I与平面a内的直线只有相交和异面两 种位置关系，因而只有选项B是正确的.5. （2012四川）下列命题正确的是（）A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C .若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D .若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析 A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两

7、条母线相交；B错误， ABC的三个顶点中，A、B在a的同侧，而点C在a的另一侧，且 AB平行于 a,此时可有A、B、C三点到平面a的距离相等，但两平面相交；C.D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选东方工咋愛樓2备棵纽剧冷题型一直线与平面平行的判定与性质例* f： x-cx东方工昨窒核2备裸爼制件1正方形ABCD与正方形 ABEF所在平面相交于 AB，在AE、BD上各有一点 P、Q,且AP= DQ.求证：PQ/平面BCE.思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质.证明方法一如图所示.作 PM / AB 交 BE 于 M ,作Q

8、N / AB交BC于N , 连接MN.正方形 ABCD和正方形 ABEF有公共边 AB, / AE= BD.又 AP= DQ , PE = QB ,又 PM / AB / QN ,.PM_ PE_QB _ QNAB = AE= BD = DC， PM_QNAB = DC， PM綊QN,即四边形PMNQ为平行四边形, PQ / MN .又MN?平面BCE, PQ?平面BCE , PQ / 平面 BCE.血牟看JM 方法如图，连接AQ,并延长交BC延长线于K,/ AE = BD , AP= DQ , PE = BQ , AP_ DQPEBQ又 AD / BK , DQ BQ =AQ =QK , A

9、P AQ PE = QK , PQ /EK.又PQ?平面BCE , EK?平面BCE, PQ / 平面 BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PM / BE, PM / 平面 BCE,又/平面ABEF n平面BCE = BE, PM / BE , AP AM PE = MB ,又 AE= BD,AP= DQ , PE = BQ , AP DQ PE = BQ, AM DQ MB = QB, MQ / AD ,又 AD / BC , MQ / BC , MQ / 平面 BCE ,又 PM n MQ = M, BEn BC = B,平面PMQ /平面BCE，又 PQ?平面PMQ . PQ

10、/ 平面 BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a? a, b? a, a/ b? a / a ； (3)利用面面平行的性质定理(a/ B,a? a? a/ B； (4)利用面面平行的性质 (all B a?B a /o? a /东看工昨窒核z备课纽*-!作如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是菱形，/ BAD = 60 AB= 2, PA= 1 , PA丄平面 ABCD , E 是 PC 的中点,F是AB的中点.求证：BE/平面PDF.证明 取PD中点为M，连接ME , MF , E是PC的中点, ME是厶P

11、CD的中位线，1 ME 綊 2CD ./ F是AB的中点且四边形 ABCD是菱形，AB綊CD , ME綊FB, 四边形MEBF是平行四边形， BE / MF./ BE?平面 PDF , MF?平面 PDF , BE /平面 PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质2如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，E, F,G, H分别是AB, AC,A1B1, A1C1的中点，求证：(1) B, C, H , G四点共面；(2) 平面 EFAi / 平面 BCHG .思维启迪：要证四点共面，只需证 GH / BC;要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1) / GH 是厶

12、AiBiCi 的中位线， GH / BiCi.又 BiCi / BC , GH / BC, B, C, H , G四点共面.东方工咋愛樓2备棵纽剧冷(2) / E、F 分别为 AB、AC 的中点， EF / BC,/ EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG , EF / 平面 BCHG.v AiG 綊 EB,四边形AiEBG是平行四边形， AiE / GB.T AiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG.- AiE / 平面 BCHG. AiEn EF = E, 平面 EFAi /平面 BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1) 面面平行的定义；(2) 面面平行的判定定理：如果

13、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4) 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5) 利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线.解 已知：直线a /平面 a直线a /平面3, an 3= b.求证：a / b.证明:思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截如图所示，过直线 a作平面y 3分别交平面 a， B于直线m, n（m, n 不同于交线b）,由直线与平面平行的性质定理，得a/ m, a/ n，由平行线

14、的传递性，得 m/ n,由于n?a, m? a,故n/平面a.又n? 3, aA 3= b,故 n / b.又 a / n,故 a/ b.题型三平行关系的综合应用AC3平行于对棱 AB和CD ,试问截面在什么位置时其截面面积最大?如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH面形状，再建立目标函数求最值.东方工 咋衰核2 备课纽昨解 / AB /平面 EFGH , 平面EFGH与平面 ABC和平面 ABD分别交于 FG、EH. AB / FG , AB / EH , FG / EH，同理可证 EF / GH ,截面EFGH是平行四边形.设AB= a, CD = b, / FGH = a（a即为异面

15、直线 AB和CD所成的角或其补角）.又设FG = x, GH = y,则由平面几何知识可得 -=,a bcy- bBG bc，两式相加得-11=y_ b+by = a(a x),S?efgh = FG GH sin abbsin a=x (a x) sin a= x(a x). aa/ x0, a x0 且 x+ (ax) = a 为定值,当且仅当x= a x时,bsin ax(a x)=absin a4，此时x=2by= 2.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.探究提高 利用线面平行的性质， 可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中,常用

16、来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图，在正方体ABCD AiBiCiDi 中，0 为底面 ABCD的中心，P是DDi的中点，设Q是CCi上的点，问：当点 Q在什 么位置时，平面 DiBQ/平面PAO?解 当Q为CCi的中点时，平面 DiBQ /平面PAO.证明如下： Q为CCi的中点，P为DDi的中点， QB / PA. P、0 分别为 DDi、DB 的中点， DiB / P0.又 Di B?平面 PAO , P0?平面 PAO,QB?平面 FAO, PA?平面 FAO,- DiB /平面 FAO, QB /平面 FAO,又 DiB n QB= B, DiB、QB?平面 D

17、iBQ,平面DiBQ /平面FAO.答遇模板系列11立体几何中的探索性问题典例：(i2分)如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是棱DDi的中占I 八、(i)求直线BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值；东方工弁宝.核2 备课 U制昨A X-CX(2)在棱CiDi上是否存在一点 F，使BiF /平面 AiBE?证明你的结论.审题视角(1)可过E作平面ABBiAi的垂线、作线面角；(2)先探求出点F，再进行证明BiF /平面AiBE.注意解题的方向性.规范解答解 如图 所示，取AAi的中点M，连接EM,BM.因为E是DD i的中点，四边形ADDiAi2分为正方形，所以 EM / A

18、D.图(a)又在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AD丄平面ABBiAi,所以EM丄平面ABBiAi,从而BM为直线BE在平面ABBiAi上的射影，/ EBM为BE和 平面ABBiAi所成的角.4分设正方体的棱长为 2,则 EM = AD = 2, BE=02+ 22 + i2= 3.于是，在 Rt BEM 中，sin / EBM =器=|,5 分2即直线BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值为 6分在棱CiDi上存在点F，使BiF /平面AiBE.事实上，如图(b)所示，分别取 CiDi和CD的中点F, G,连接BiF, EG, BG, CDi, FG.京看工昨裳榻业备课tn *-作图(

19、b)因AiDi/ B1C1/ BC,且AiDi= BC,所以四边形 AiBCDi是平行四边形， 因此DiC / A1B. 又E, G分别为DiD, CD的中点，所以 EG/ DiC，从而 EG / AiB.这说明Ai, B, G, E四点共面.所以 BG?平面AiBE.8分因四边形 CiCDDi与BiBCCi皆为正方形，F, G分别为 CiDi和CD的中点，所以FG / CiC / BiB，且 FG = CiC= BiB,因此四边形BiBGF是平行四边形，所以 BiF / BG, i0分而 BiF?平面 AiBE, BG?平面 AiBE,故 BiF / 平面 AiBE.i2 分答題模板对于探索

20、类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置.第二步：证明符合要求.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾查看关键点，易错点和答题规范.另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法.A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷温馨提醒 （1）本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力.第问常见错误是无法作出平面 ABBiAi的垂线，以致无法确定线面角.（3）第（2）问为探索性问题， 找不到解决问题的切入口，入手较难.（4）书写格式混乱，不条理，思路不清晰.方法与技巧1 .在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理

21、和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用.2 .直线与平面平行的主要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）推论；（4）a丄a, a丄价all 3-失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2 .在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线“模式化平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于3.解题中注意符号语言的

22、规范应用.东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）、选择题（每小题5分，共20分）1.若直线m?平面a,则条件甲:“直线1 / a”是条件乙：“ 1/ m”的( )A .充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D .既不充分也不必要条件答案 D2.已知直线a, b, c及平面a,3,下列条件中，能使 a/ b成立的是( )A . a / a, b? aB . a / a, b / aC. a / c, b / cD. a / a, aCl 3= b答案 C解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面.B中a, b可能相交或异面,D中a,b可能异面.3.在梯形AB

23、CD中，AB / CD , AB?平面a, CD?平面a,则直线CD与平面a内的直线的 位置关系只能是（）A 平行B 平行和异面C .平行和相交D .异面和相交答案 BAB / CD解析AB? a ? CD / a,CD?a东方工昨窒核2备课M制作 CD和平面a内的直线没有公共点.4.设 m、n 表:示/不同直线，a、3表示不冋平面，则下列结论中正确的是A .若m /a,m /n,则n/aB .若m?a,n?3, m /3n / a,贝9 a/ 3C .若all3m /a, m /n,则 n/ 3D .若all3m /a, n /m,n? 3 贝U n / 3答案D解析D 中,易知m / 3或

24、m? 3,若 m? B,又 n / m, n? 3, - n / B,若m / 3过m作平面 丫交平面3于直线P,则m / p,又n / m,. n / p，又n?3, p? 3 n /3二、填空题（每小题5分，共15分）5.过三棱柱ABC AiBiCi的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBiAi平行的直线共有条.答案 6解析 过三棱柱ABCAiBiCi的任意两条棱的中点作直线，记AC, BC, AiCi, BiCi的中点分别为 E, F, Ei, Fi,则直线 EF, EiFi, EEi, FFi, EiF, EFi 均与平面 ABBiAi平行，故符合题意的直线共 6条.6.如图所示，A

25、BCD AiBiCiDi是棱长为a的正方体，M、N分别是下a底面的棱AiBi、BiCi的中点，P是上底面的棱 AD上的一点，AP = 3,过P、M、N的平面交上底面于 PQ, Q在CD 上,贝U PQ =答案2 .,23 aDQyir:* Ra11* IiL：一一1At解析平面 ABCD / 平面 AiBiCiDi, MNa/ PQ.T M、N 分别是 AiBi、BiCi 的中点，AP= 3, CQ，从而 DP = DQ =彊 PQ = a.*宾工诈亶东看工作窒核2备课纽制件7.如图所示，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H分别是棱CCi、C1D1、DiD、DC的中点，N是

26、BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则 M满足条件 时，有MN /平面 BiBDDi.答案 M 线段HF解析 由题意，得HN /面BiBDDi, FH /面BiBDDi./ HN n FH = H , 面 NHF / 面 BiBDDi.当M在线段HF上运动时，有 MN /面BiBDDi.三、解答题洪22分）（iO分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点， M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面，交平面BDM 于GH.求证：PA / GH.证明如图，连接AC交BD于点O,连接M0 ,四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点，又M是PC的中点, AP

27、 / OM .则有FA/平面BMD .平面 FAHG n 平面 BMD = GH , FA / GH .（i2分）如图，已知平行四边形 ABCD中，BC= 6，正方形ADEF所在 平面与平面 ABCD垂直，G , H分别是DF , BE的中点.（1）求证：GH /平面CDE ;若CD = 2, DB = 4?2,求四棱锥 FABCD的体积.(1)证明 方法一 / EF / AD , AD / BC, EF / BC.又EF = AD = BC, 四边形EFBC是平行四边形, H为FC的中点.又 G是FD的中点， HG / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE ,A % H魅亶东

28、讶工作窒核2备课纽制件 GH / 平面 CDE.方法二连接EA, / ADEF是正方形， G是AE的中点.EAB 中，GH / AB.又 AB/ CD , GH / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE, GH / 平面 CDE.（2）解 /平面 ADEF丄平面ABCD，交线为 AD ,且FA丄AD， FA丄平面ABCD.AD = BC = 6, FA = AD = 6.又 CD = 2, DB = 4.2, CD2+ DB2= BC2, BD 丄 CD.T S?abcd = CD BD = 8 2, Vfabcd = s?abcd FA =8詁：2 X 6= 16,23 3B

29、组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）一、选择题（每小题5分，共15分）1. m, n是平面a内的两条不同直线；|1, |2是平面B内的两条相交直线，则a/ 3的一个充分而不必要条件是（）A . m / 3且丨1 / aB. m / I1 且 n / I2C. m / 3 且 n / 3D . m / 3 且 n / I2答案 B解析 对于选项A，不合题意；对于选项B,由于h与l2是相交直线，而且由|1/ m可得|1/ a同理可得|2/ a,故可得a/ 3,充分性成立，而由 a/ 3不一定能得到l1 / m, 它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B;对于选项 C,由于m, n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于n / |2可转化为n/ 3,同选项C,故不符合题意.综上选B.2 .下面四个正方体图形中，A, B为正方体的两个顶点， M , N, P分别为其所在棱的中点,东方工咋盒核心备棵纽剧冷能得出 AB/平面 MNP的图形是()A .B .C.D .答案 A解析由线面平行的判定定理知图可得出AB/平面MNP.3. 给出下列关于互不相同的直线I、m、n和平面a伙丫的三个命题： 若I与m为异面直线，I? a, m? 3,则a/ 3； 若 all 3 I? a m? 3 贝U I / m； 若 ad 3= I,盯尸 m,沪 a= n ,1 / y 贝