材料力学答案第六章

1、第六章弯曲应力第六章答案6.1钢丝直径d=0.4mm,弹性模量E=200GPa,若将钢丝弯成直径 D=400mm的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。(200MPa)解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：1 Mp =1T则：M二旦，由弯曲正应力公式得 cmaMymax=-Eymax，钢丝弯成圆弧后，产生的弯pp p曲变形，其中性层的曲率半径J maxe(2)DEdD3200 100.4400-200MPa6.2矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm,试求危险截面上a、c、d三点的弯曲正应力。(20.8MPa, 10.4MPa, 0)解：由平衡方程、Ma(F) =01得

2、到：Fa 二 Fb 二丄 2 4 =4KN2危险截面在梁的中点处：maxq|2 J 2 42 = 4KNm8 8121344Iz=b h =80 120 二 1152 10 mm12 12CJMyaIz=0aMycIz4 1063041152 10= 10.42MPa机械Myd _ 4 10660I z 1152 104= 20.83M P a土木6.3从直径为d的圆木中截取一矩形截面梁,试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h和宽b。 (h=2d b=d)33解：最大弯曲正应力:MmaIzAm a x=maxWzh/b的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数：W = 1bh

3、 1b(d 2 -b2) = Bd 2b - b3)6 6 6为b为自变量的函数。dWdth = d2 - b26d36.4图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联 系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（址曲）16a3 8a3解：做出梁的弯矩图如右所示：（1）对于整体截面梁：Wzbh2a (2a)2 =2a3633故:匚maxmax1ql28Wz3ql216a38机械土木（2）对于两根方木叠置由于这是两个相同的方木叠合而成, 且其之间不加任何的联系，故有maxM1W1 1 3M ma

4、x ,Wza3,2 61 八 |2、,2 J)3ql21 _1331a68aQy = 40kN ,求截面上 a、b、c三点的弯曲剪应力。6.5某梁的矩形截面如图，弯曲剪力(a =2MPa， b =1.5MPa，.c =0)解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心上,且有 Izibh31 150 2003 = 108mm12 125=50 150 75=5.625 105mm3再有矩形截面梁的弯曲正应力FsSzT =Izb，故 p =0, a3340 10X2150 200FsSzIzb40 103 5.625 105108 150= 1.5 MPa= 2.0 MPa6.6图示简支梁由三块木板胶

5、合而成，l=1m,胶缝的许用剪应力为！-0.5MPa，木材的许用弯曲正应力为 U-10MP a，许用剪应力为I. I - 1MPa，试求许可荷载 P。( P=8.1kN)解：依题给条件，对梁进行受力分析, 由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图 和弯矩图如右所示u1o7777為w|一J1 1 50 1r nr n二 maxGFs1Pl 2机械(1)按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载11MPlP 1=4410W W 1 90 12026=P 8640N(2 )按木材剪应力强度要求确定许可荷载=驾邑=亠2P知才max 2 A 2 90 120土木=P 44010(3)按胶合面剪应力强度要求确定许可荷

6、载1 P (40 90 40)一竺吕丄0.51 zb 90 1203 9012二 P E8100N综上所述可知P=8100N=8.1KN6.7在图a中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截出一部分，如图b所示，试求在纵向面abed上由dA组成的内力系的合力，并说明 它与什么力平衡。(Q=旳(I _x)x)4h解：有剪应力互等定律可知，纵向截面上剪应力与横向截面上剪应力大小相等，中性层上剪应力变化规律为：3丨丄 ql _qx ix 一3Fs x _旳丨-2x2A2Bh4Bh纵截面abcd上剪应力合力为：F = %. x B dx 二 型 2Lb dx10 4Bh_ 3qx 丨-2x-4hi*dh

7、26.8图示梁由两根 36a工字钢铆接而成。 铆钉的间距为s=150mm,直径d = 20mm,许用剪应 力！-90MP a。梁横截面上的剪力 Fs = 40kN。试校核铆钉的剪切强度。(=16.2MPa )解：查表可得，36 a工字钢的惯性矩2I = 15800cm4，截面面积=76.48cm截面高度h = 36cm。组合惯性矩为I = 2 | d2A =215800 182 76.48 = 81200cm4一根工字钢的截面对中性轴的静面矩为：S； = 18汽76.48 =1380cm3F sZc 40 汇 103 汉 1380 汇 10铆钉连接处的纵截面上的剪力流：fzc868KN /mI

8、z81200X02Q铆有铆钉间距S-，得每个铆钉承受的剪力为：sfQ铆-23.-5 68 10 -5100N铆钉的剪应力:-16.2 MPa :!. .=90 Mpa-3.14 d24故，校核安全。6.9半径为r的圆形截面梁，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面模量增大（何 故？）。试求使 W为极值的：，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？ （:- =78）解：切掉阴影部分后剩余的面积，是由4个相同的直角三角形和 4个相同的扇形面积组成,一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为：I仪=1bh3 =丄(r sin a j(r cosa )4413. 3r cosa sin a 4一个扇型面积对水平

9、直径的惯性矩为:2I2X 二.y dAA= （Psin& 2 （P d日 dP ）r3 a2r4 a1=I P3dP sin2 日 d = - -sin a i00424当切掉适当的小因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料而离中性轴远处的材料却较少,弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大，因而抗弯截面系数笔增大。剩余面积对I x - 4I 1x 4I 2x水平直径的惯性矩为:sin2a p r4cosa sin3a 二一 4a-sin4a f 4 丿8抗弯截面系数:WxIx184asin4a r34a-sin4a4si na8si nadWxr3 1-4 -4 cos4a sin a -

10、(4a - sin4 a bos a I2 sin a二 4 - 4 cos 4a sin a - 4a - sin 4a cos a = 0=a = 0 或者 a = 78Wcmax =0.791r3，lx - 0.77 44133Wx3.14 r3=0 785r3未切前4144I x 3.14 r 0.785r4比较后可知，切后抗弯截面系数增大，而抗弯刚度降低, 变形能力降彳氐因而使梁的抗断能力提高，抗弯曲6.10试求图示梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应 力。（提示：.max发生在中性轴上。）（6ax =9.00MPa05MPa )解:Fs,max 2ql 103=15KNM maxql2

11、10 32=11.25KNmIz1(2004 -1004)12-1.25 108mm4Sz= 100 200 50-100 50 25 = 875000mm2二 maxMmax11.25 106maxIzymaxFs,max SzI zb1.25 108109.00MPa15 103 8750叭 1.05MPa1.25 108 100机械土木6.11图示铸铁梁，材料的许用拉应力 tJ=40MPa，许用压应力 tJ=100MPa , Iz =5965cm4 ,Yc =157.5mm。试校核梁的强度。（Gmax =52.8MPa ,20 110 2 5= 30KNFb =20 3410 2 1=

12、10KNF=20kN1H 111 f厂易FaFbEclfI电!-:-t max 26.4MPa )M1 =20KNm,M2 =10KNm% =230-157.5 = 72.5mm1 ,max-1 ,maxt- 2,max2,max20 106M1y45965X072.5 =24.31MPaIzM1 ycIzMiIzyiMiIzyc20 10 4 157.5 =52.81MPa5965 1010 10 4 157.5 = 26.40MPa5965 1010 1065965 1047212.16MPa%,max =52.81MPa 十 c-t,max =26.40MPa6.12图示一铸铁梁，材料的

13、许用拉应力与许用 压应力之比为 4 /匕1/3，试求水平翼缘板的合理宽度 b。（ b=316mm）y1 =34060 b 30 340 30 (260 b 340 3060)30b 170 230b 170* M *wy2y1y2=400 - y1= 400 -30b 170 230b 170370b 170 170b 170G,max 晋 十tI zy2十c* 6y2；cc ,maxI30b170 2301370b 170 1703370b170 170 = 90b170 690170 690 -170 170370 90二 315.72mmM z,max6.13图所示矩形截面悬臂梁， 承受

14、载荷Fy 和Fz作用，且Fy = Fz = F = 1.0 kN,截面高度h = 80 mm，宽度b = 40 mm，许用应力1-160 MPa ，a = 800 mm。试校核梁的强度。M z,max = Fya =1.0x800 =800KNmmM y,ma = F 2 = 1.160 = 1600KNmm乙maxmaxM y,maxWy800 1031600 103+1 2 1 240 80280 4026 6= 18.75 75 =93.75MPa 十6.14简支梁受力如图，求梁上最大正应力，并求跨中点的总挠度。已知弹性模量E = 100GPa。(cfnax= 9.83 MPa ,fma

15、x =6mm)解：内力F cos15 I410cos1534F sin15 I410si n1534M zM ymaxWzWy6 67.244 101.941 10150 2002200 1 5026 6=7.244 2.588 =9.83MPa1F=10kN1.5m*Mz11K= 7.244KNm= 1.941KNmMyF cos15 I310 103 cos15 30003=0.54mm31348 100 103150 20031210 103 sin15 300030.26mm31348 100 10200 1501248EI zFsin15 I348EIywmax 二 wz2 wy2

16、二.0.542 0.26 0.60mmcmax = 140 MPa )FN =F =144KNM z = F 60 = 144 60 = 8640 KNmm My = F 30 =144 30 = 4320KNmmtmaxFn M z M y 云WT W1440008640000120 60 1 60 120264320000 +1 2-60 12026=20 60 60 = 140 MPa 6.16试求图示具有切槽杆的最大正应力。1010亠10解：本题为弯曲和拉压组合问题由截面法:内力：FN =F -1KNMzMy-maxAWzWy500025001 2 1 25 10210 526 6=20 6060 =140 MPa100010 56.17简支折线梁受力如图，横截面为 F=8KN，求梁上的最大正应力。B截面）解：本