点线面位置关系典型例题

1、点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例 1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线 a 平面 ，直线 b a A，则 b 和 的位置关系如何？（2）直线 a，直线 b / a ，则直线 b 和 的位置关系如何？分析：（1）由图（ 1）可知： b或 bA ；说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法 典型例题二 例 2 P是平行四边形 ABCD所在平面外一点， Q是PA的中点，求证： PC/平面 BDQ 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平 行就可以了证明：如图所示，连结 AC，交 BD于

2、点 O， 四边形 ABCD 是平行四边形 AO CO ，连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ OQ 是 APC 的中位线，PC /OQ PC 在平面 BDQ 外， PC/ 平面 BDQ 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平.下载可编辑行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能 证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结 为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行典型例题三例 3 经过两条异面直线 a ， b之外的一点 P ，可以作几个平面都与 a

3、， b平行？并证明你的 结论分析：可考虑 P 点的不同位置分两种情况讨论解：（ 1）当P点所在位置使得 a ， P（或b ， P ）本身确定的平面平行于 b（或 a ）时，过P 点再作不出与 a ， b都平行的平面；（2）当 P点所在位置 a ， P （或b ， P ）本身确定的平面与 b（或 a ）不平行时，可过点 P 作a/a ，b /b由于a，b异面，则a ，b不重合且相交于 P由于 a b P，a ，b 确定的平面 ，则由线面平行判定定理知： a/ ，b/ 可作一个平面都与 a， b平行 故应作“ 0 个或 1 个”平面说明：本题解答容易忽视对 P 点的不同位置的讨论，漏掉第（ 1）种

4、情况而得出可作一个平面 的错误结论可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另 已知：直线 a/b， a/ 平面 ，b 求证： b/ 证明：如图所示，过 a 及平面 内一点 A作平面 c， a/ a/c .下载可编辑又 a/b， b/c b， c ， b/ 说明：根据判定定理，只要在 内找一条直线 c / b ，根据条件 a/ ，为了利用直线和平面 平行的性质定理，可以过 a 作平面 与 相交，我们常把平面 称为辅助平面，它可以起到 桥梁作用，把空间问题向平面问题转化和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要

5、确认这个平面是存在的，例如， 本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的典型例题五 例 5 已知四面体 S ABC 的所有棱长均为 a 求：1）异面直线 SC、AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长；2）异面直线 EF 和 SA所成的角分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、 AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移构造法求解解：（ 1 ）如图，分别取 SC、AB 的中点 E、F ，连结由已知，得SAB CABSF、 CF SF CF ， E 是 SC 的中点， EF SC 同理可证 EF AB EF 是 SC、AB 的公垂线段.下载可编

6、辑SF 3a SE 1a在 Rt SEF 中，2 ， 2 EFSF2 SE23 2 1 2 aa442）取 AC 的中点 G ，连结 EG ，则 EG / SA EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和 SA 所成的角1aEF1EG a GF 连结 FG ，在 Rt EFG 中， 2 ， 由余弦定理，得cos GEFEG2 EF2 GF 22 EG EF1 2 2 2 1 2 aaa4442 12aGEF 45 故异面直线 EF 和 SA所成的角为 45说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来， 然后再求值典型例题六例 6 如果一条直线与一个

7、平面平行， 那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在 这个平面内已知：直线 a/ ， B ， B b， b/a求证： b 分析：由于过点 B与 a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过 B与 a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法.下载可编辑，且证明：如图所示，设 b ，过直线 a和点 B 作平面 a/ ， b /这样过 B点就有两条直线 b 和 b同时平行于直线 a ，与平行公理矛盾 b 必在 内说明： (1) 本例的结论可以直接作为证明问题的依据(2) 本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式 如上图，过直线 a及点B作平面 ，设 b a/

8、，b/ 这样， b与 b都是过 B点平行于 a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， b 与 b 重合 b， b典型例题七例7 下列命题正确的个数是( )(1) 若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l / ；(2) 若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l / ；(3) 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任一直线平行；(4) 若直线 l 在平面 外，则 l / A0 个B1个C2 个D3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的准确理解是解本题 的关键要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按 照直线是否在平面内来

9、分类解： (1) 直线 l 上有无数个点不在平面 内，并没有说明是所在点都不在平面 内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要注意“无数”并非“所有”(2) 直线 l 虽与.下载可编辑内无数条直线平行，但 l有可能在平面 内，所以直线 l不一定平行 (3) 这是初学直线与 平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到当 l / 时，若 m 且 m/l ，则 在平面 内，除了与 m平行的直线以外的每一条直线与 l都是异面直线 (4) 直线l在平面 外，应包括两种情况： l / 和l 与 相交，所以 l 与 不一定平行故选 A 说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时

10、更要注意分类要完整，考虑 要全面如直线 l 、 m都平行于 ，则 l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面； 再如直线 l/m、l/ ，则 m与 的位置关系可能是平行，可能是 m在 内典型例题八例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交 已知：直线 a/b，a 平面 P 求证：直线 b与平面 相交分析：利用 a / b转化为平面问题来解决，由 a/b 可确定一辅助平面 ，这样可以把题中相 关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用解： a/b， a 和 b 可确定平面 aP，平面 和平面 相交于过点 P的直线 l 在平面

11、 内 l 与两条平行直线 a 、 b 中一条直线 a 相交， l必定与直线 b也相交，不妨设 b l Q，又因为 b不在平面 内(若b在平面 内，则 和 都过相交直线 b 和 l ，因此 与 重合， a 在 内，和已知矛盾) .下载可编辑 所以直线 b 和平面 相交说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平 面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点， 则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明） 典型例题九例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行已知： a与b是异面直线求证：过 b

12、且与 a平行的平面有且只有一个分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法解题时要理解“有且只有”的含义 “有” 就是要证明过直线 b存在一个平面 ，且 a/ ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯 一的存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论证明： （1） 在直线 b上任取一点 A，由点 A和直线 a 可确定平面 在平面 内过点 A作直线 a，使 a/a，则 a 和b为两相交直线， 所以过 a和 b可确定一平面 b， a与b为异面直线， a 又 a/a ， a， a/ 故经过 b存在一个平面 与 a平行（2） 如果平面 也是经过 b 且与 a 平行的另一个平

13、面， 由上面的推导过程可知 也是经过相交直线 b 和 a的 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面 与 重合， 即满足条件的平面是唯一的说明：对于两异面直线 a和b ，过b存在一平面 且与 a平行，同样过 a也存在一平面 且 与 b 平行而且这两个平面也是平行的（以后可证）对于异面直线 a 和 b 的距离，也可转化.下载可编辑为直线 a 到平面 的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法 典型例题十例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行已知：l ， a/ ， a/ ，求证： a/l分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力利用

14、线面平行的性质定理， 可以先证明直线 a 分别和两平面的某些直线平行， 即线面平行可得线线平行 然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明 a 与 l 平行证明：在平面 内取点 P，使 P l ，过 P 和直线 a作平面 交 于b a/ ， a， b a/b 同理过 a作平面 交 于 ca/ a c ， ， a/c b/cb ， c ，l，b/又 b b/l 又 a/b a/l .下载可编辑另证：如图，在直线 l 上取点 M ， 过 M 点和直线 a 作平面和 相交于直线 l1 ，和 相交于直线 l2 a/ ， a/l1 ， a/ ， a/l2 ， ， ， 但过一点只能作一条直线与另一直线平行

15、直线 l1和 l2 重合又 l1， l2，直线 l1、 l2 都重合于直线 l ， a/l 说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体 几何中非常重要典型例题十一例 11 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE 、BD 上各取一点 P 、Q ， 且 AP DQ 求证： PQ /面 BCE 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行关键是在平面BCE 中如何找一直线与 PQ 平行可考察过 PQ的平面与平面 BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找 的交线也不同证明一：如图，在平面 ABEF 内过 P 作 PM /

16、 AB 交 BE于 M ， 在平面 ABCD内过 Q 作 QN / AB 交 BC于 N ，连结 MN .下载可编辑PM PE PM / AB ， AB AE 又 QN / AB / CD ，QN BQ QN BQ DC BD ，即 AB BD 正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ， AE DB AP DQ ， PE BQ ， PM QN 又 PM /AB，QN/ AB， PM /QN 四边形 PQNM 为平行四边形PQ/MN又 MN 面 BCE ， PQ / 面 BCE .下载可编辑AQ DQ BS/ AD ， QS QB 又正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB

17、，AEDB，APDQ ， PE QBAPDQAQPEQBQS PQ/ES，ES面 BEC ， PQ / 面 BEC 说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平 行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法 要视条件而定此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩 形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点a，b，求证：a 、 b 、 c 互相平行或相交于一点已知：分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条

18、交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系证明：a，b，a、b a 与 b 平行或相交.下载可编辑，b又 c， a ， a/c a/b/c又 aOc，又直线a、b、c 交于同一点 O 说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中，N 的平面与正方体各面的交线，并说M、N分别是 CC1、A1B1的中点，画出点 D、M、明截面多边形是几边形？DF 是 BCD典型例题十三 例 13 已知空间四边形 ABCD， AB AC ，AE是 ABC的 BC边上的高，的 BC 边上的中线，求证： AE 和 DF 是异面直线由题设条件可知点 E 、 F

19、不重合，设 BCD 所在平面.下载可编辑DFAEEDFAE 和 DF 是异面直线证法二：(反证法)若 AE 和 DF 不是异面直线，则 AE 和 DF 共面，设过 AE 、 DF 的平面为(1) 若 E、F 重合，则 E是 BC的中点，这与题设 AB AC相矛盾(2) 若 E 、 F 不重合， B EF ， C EF ， EF ， BC A， D， A、 B、C、 D四点共面，这与题设 ABCD是空间四边形相矛盾 综上，假设不成立故 AE 和 DF 是异面直线说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装

20、双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清 楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 9 个 单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题典型例题十四 例 14 已知 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段， E、F 、G 分别是 AB、 BC、 CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行分析：欲证明 AC / 平面 EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面 EFG

21、内的一条直线，由图可知，只须证明AC / EF .下载可编辑证明：如图，连结 AE 、 EG 、 EF 、 GF在 ABC 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点 AC/ EF 于是 AC /平面 EFG 同理可证， BD / 平面 EFG 说明： 到目前为止， 判定直线和平面平行有以下两种方法： (1) 根据直线和平面平行定义； (2) 根据直线和平面平行的判定定理典型例题十五例 15 已知空间四边形 ABCD， P、Q分别是 ABC和 BCD 的重心，求证： PQ /平面ACD 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明 PQ 与平面 ACD 中的某条直线平行，根据条 件，此直线

22、为 AD ，如图证明：取 BC的中点 E P 是 ABC 的重心，连结 AE ，则 AEPE 31 ，连结 DE ， Q 为 BCD 的重心， DEQE 31 ，在 AED 中， PQ/ AD .下载可编辑又 AD 平面 ACD ， PQ 平面 ACD ， PQ/ 平面 ACD 说明： (1) 本例中构造直线 AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件： P、Q分别是 ABC 和 BCD 的重心，借助于比例的性质证明 PQ/ AD ，该种方法经常使用，望注意把握(2) “欲证线面平行， 只须证线线平行” 判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法 根 据问题具体情况要熟练运用典型例题十六 例 16

23、 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 、 G 分别是 BC 、 C1D1 的中点如下图求证： EG/平面 BB1D1D分析：要证明 EG /平面BB1D1D ，根据线面平等的判定定理， 需要在平面 BB1D1D 内找到与 EG 平行的直线，要充分借助于 E 、 G 为中点这一条件证明：取 BD的中点 F ，连结 EF、D1F E为 BC的中点，1EF CD EF 为 BCD 的中位线，则 EF / DC ，且 2 G为 C1 D1的中点，1D1G CD D1G /CD 且 1 2 ， EF / D1G 且 EF D1G ，四边形 EFD1G 为平行四边形，.下载可编辑D1F / EG

24、 ，而 D1F平面BDD 1B1 ， EG 平面 BDD1B1， EG / 平面 BDD1B1典型例题十七例 17 如果直线 a/ 平面，那么直线 a 与平面 内的（）A一条直线不相交B两条相交直线不相交C无数条直线不相交D任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A、B对于 C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线， C 也不正确，应排除 C与平面 内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面 平行， D正确应选 D说明：本题主要考查直线与平面平行的定义典型例题十八例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A一定平行B一定相交解：如图中的甲图，分别与

25、异面直线a 、 b平行的两条直线 c、d 是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线 a 、 b平行的两条直线 c、 d是相交关系 综上，可知应选 D说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力 典型例题十九 例 19 a 、 b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个平面与 a 、 b 平行B过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个直线与 a 、 b 相交C过不在 a 、 b上的任一点，可作一个直线与 a、 b都平行.下载可编辑D过 a 可以并且只可以作一平面与 b 平行解： A错，若点与 a所确定的平面与 b平行时，就不能使这个平面

26、与 平行了B 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平等时，就不能作一条直线与 a ， b 相交C错，假如这样的直线存在，根据公理4 就可有 a / b ，这与 a ， b异面矛盾D正确，在 a上任取一点 A，过 A点做直线 c/b，则c 与a确定一个平面与 b平行，这个平面是惟一的应选说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念典型例题二十例 20 (1) 直线 a / b， a /平面 ，则 b与平面 的位置关系是 (2) A是两异面直线 a 、 b外的一点，过 A最多可作 个平面同时与 a 、b平行解： (1) 当直线 b 在平面 外时， b/ ；当直线 b 在平面 内时， b

27、 应填： b/ 或 b (2) 因为过 A点分别作 a， b 的平行线只能作一条，(分别称 a，b)经过 a ， b的平面也是惟一的所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面经过 a或 b 时，这个平面就不满足条件了应填： 1说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键典型例题二十一例 21 如图， a/ ，A是 的另一侧的点， B,C,D a，线段 AB，AC，AD交 于 E， F ， G ，若 BD 4，CF 4， AF 5，则 EG =.下载可编辑平面 ABD a/ EG，即 BD/ EG，EFFGAFEFFGEG AF BCCDACBCCDBD AF FCEG 则

28、AFBD5420AFFC54920应填：9说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力二，面面平行的性质与判定典型例题一例 1 ：已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 求证：平面 AB1D1 /平面 C1BD证明： ABCD - A1B1C1D1 为正方体，D1A/C1B ，又 C1B平面C1BD故 D1A/ 平面 C1BD 同理 D1B1 / 平面 C1BD 又 D1A D1B1 D1 ，.下载可编辑平面AB1D1 / 平面 C1BD说明：上述证明是根据判定定理 1 实现的本题也可根据判定定理 2 证

29、明，只需连接 A1C 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离 典型例题二例 2：如图，已知/ ， A a ， Aa/求证：证明：过直线a作一平面，设/ a1 /ba1又 a/a/b在同一个平面 内过同一点 A有两条直线 a, a1与直线 b 平行 a 与 a1 重合，即 a说明：本题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3 ：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交 已知：如图， / ， lA求证： l 与 相交证明：在 上取一点 B ，过 l 和 B 作平面 与 、 都相交设 a，b /，由于.下载可编辑 a/b又l 、a、b都在平面 内，且 l 和a交于 Al 与b相交

30、所以 l 与 相交典型例题四例 4 ：已知平面 / ， AB ，CD 为夹在 a ，中点求证： EF / ， EF / 证明：连接 AF 并延长交 于G AG CD F且 AC ，AG ， CD 确定平面 ，DG / ，所以 AC/ DG，ACF GDF ，又AFC DFG ， CFDF ， ACF DFG AF FG 又 AE BE ，EF /BG， BG故 EF /同理 EF /说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.下载可编辑典型例题六例 6 如图，已知矩形 ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、C1、D1，且 A1、B1、 C1、 D1互不重合，也无三点共线 求证：

31、四边形 A1B1C1D1 是平行四边形 证明： AA1， DD1 AA1 / DD1不妨设 AA1和 DD1 确定平面 同理 BB1 和 CC 1确定平面 又 AA1 / BB1 ，且 BB1 AA1 /同理 AD /又 AA1 AD AB1C/A1D1 ，A1D1 / B1C1同理 A1B1 /C1D1 四边形 A1B1C1D1 是平行四边形典型例题七例 7 设直线 l 、 m ，平面 、 ，下列条件能得出 / 的是（ ）Al，m ，且 l/ ，m/Bl，m ，且 l/m.下载可编辑Cl， m ，且 l /mDl / ， m/ ，且 l /m分析：选项 A是错误的，因为当 l /m时， 与

32、可能相交选项 B是错误的，理由同 A选 项 C是正确的，因为 l， m/l ，所以 m ，又 m ， / 选项 D也是错误的，满足条件的 可能与 相交答案： C说明：此题极易选 A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致 本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的 准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八 例 8 设平面 平面 ，平面 平面 ，且 、 分别与 相交于 a 、 b ， a/b 求 证：平面 / 平面 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们证明：在平面 内作直线 PQ 直线 a，在平面 内作

33、直线 MN 直线 b 平面 平面 ， PQ 平面 ， MN 平面 ， PQ/MN 又 a/ p， PQ a Q， MN b N ，平面 / 平面 说明：如果在 、 内分别作 PQ ，MN ，这样就走了弯路， 还需证明 PQ、MN 在、 内，如果直接在 、 内作 a 、 b 的垂线，就可推出 PQ / MN 由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出“线线平行” 、“线面平行” ，最后得到“面面.下载可编辑其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非平行”，最后得到“面面平行” 常重要典型例题九例 9 如图所示，平面 /平面，点 A 、 C，点B、D， AB a 是的公垂线， CD是斜

34、线若 AC BD b， CDN 分别是 AB 和 CD 的中点，取 AD 的中点 P ，只要证明(1) 求证： MN / ；MN 所在的平面 PMN / 为此证明 PM / ， PN / 即可 (2) 要求 MN 之长，在 CMA 中， CM 、 CN 的长度易知，关 键在于证明 MN CD ，从而由勾股定理可以求解证明： (1) 连结 AD ，设 P 是 AD 的中点，分别连结 PM 、 PN M 是 AB的中点， PM / BD又 BD， PM / 同理 N 是CD的中点， PN / AC AC ， PN / / ， PN PM P ，平面 PMN / MN 平面 PMN ， MN / (

35、2) 分别连结 MC 、 MD 1AM BM a AC BD b ，2 ，.下载可编辑又 AB 是的公垂线， CAMDBM 90 Rt ACM Rt BDM ， CM DM ， DMC 是等腰三角形又 N 是 CD 的中点， MN CD MN CM 2 CN 2 1 4b2 a2 c2在 Rt CMN 中， 2 说明： (1) 证“线面平行”也可以先证“面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面 平行”，这是一种以退为进的解题策略(2) 空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3) 面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线

36、平行典型例题十 例 10 如果平面 内的两条相交直线与平面 所成的角相等， 那么这两个平面的位置关系是 分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解：设 a、 b是平面 内两条相交直线(1) 若a 、 b都在平面 内， a、b与平面 所成的角都为 0 ，这时 与 重合，根据教材 中规定，此种情况不予考虑(2) 若a 、 b都与平面 相交成等角，且所成角在 (0 ,90 ) 内； a 、 b 与 有公共点，这时 与 相交若 a 、 b 都与平面 成 90 角，则 a/b ，与已知矛盾此种情况不可能(3) 若 a 、b都与平面 平行，则a 、b与平面 所成的角都为 0 ， 内有两条直线与平面平行

37、，这时 / 综上，平面 、 的位置关系是相交或平行典型例题十一.下载可编辑例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知： A 平面 ，求证：过 A 有且只有一个平面 / 分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一 证明：在平面 内任作两条相交直线 a 和 b ，则由 A 知， A a 点 A 和直线 a 可确定一个平面 M ，点 A 和直线 b 可确定一个平面 N 在平面 M 、 N 内过 A分别作直线 a / a 、 b /b ， 故 a、 b 是两条相交直线，可确定一个平面 a， a， a /a ， a / 同理 b / 又 a， b， a b

38、A， / 所以过点 A 有一个平面 / 假设过 A点还有一个平面 / ，则在平面 内取一直线 c ， A c ，点 A、直线 c 确定一个平面 ，m ， n ， m/c， n/c ，又 A m， A n ， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面 只有一个所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行典型例题十二例 12 已知点 S是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA SB 高， D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC的中点，试判断 SG与平面 给予证明的，缺一不可 A b 由公理 2 知：SC ， SG 为 SAB上的DEF 内的位

39、置关系，并.下载可编辑 分析 1：如图，观察图形，即可判定 SG/ 平面 DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG与平面 DEF 内的一条直线平行观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线 怎样证明 SG/ FH ？只需证明 H 是 CG 的中点证法 1：连结 CG 交 DE 于点 H ， DE 是 ABC 的中位线， DE / AB 在 ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH / AG ，H 为CG的中点 FH 是 SCG 的中位线， FH /SG 又 SG 平面 DEF ， FH 平面 DEF ， SG/平面 DEF 分析 2：要证

40、明 SG/ 平面 DEF ，只需证明平面 SAB /平面 DEF ，要证明平面 DEF / 平 面 SAB ，只需证明 SA/ DF ， SB/ EF 而 SA/ DF ， SB/ EF 可由题设直接推出证法 2： EF 为 SBC的中位线， EF /SB EF 平面 SAB， SB 平面 SAB ， EF / 平面 SAB 同理： DF / 平面 SAB， EF DF F ，.下载可编辑平面 SAB/ 平面 DEF ，又 SG 平面 SAB SG/平面 DEF 典型例题十三于ACF例 13 如图， 线段 PQ分别交两个平行平面 、 于 A、B 两点，线段 PD 分别交C、D两点，线段 QF

41、分别交 、 于F 、E两点，若PA 9，AB 12，BQ 12 ，的面积为 72，求 BDE 的面积分析：求 BDE 的面积， 看起来似乎与本节内容无关，事实上， 已知 ACF 的面积，若BDE与 ACF 的对应边有联系的话，可以利用ACF 的面积求出 BDE 的面积解：平面 QAF AF ，平面 QAF BE ，又 / ， AF / BE 同理可证： AC/ BD， FAC 与 EBD相等或互补，即 sin FAC sin EBD 由 FA/ BE ，得 BEAF QBQA 1224 12 ，1BE AF2 由 BD/ AC ，得： ACBD PAPB 921 37 ， BD 3 AC1 A

42、F AC sin FAC 72 又 ACF 的面积为 72，即 2S DBE 1BE BD sin EBD2.下载可编辑1 1 7AF AC sin FAC2 2 371AF AC sin FAC627 72 846 BDE 的面积为 84 平方单位说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问 题注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相 平行典型例题十四例 14 在棱长为 a 的正方体中，求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离 分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和 b 是两条异面直线，则过 a且平行于b 的平

43、面必平行于过 b 且平行于 a 的平面 我们知道， 空间两条异面直线， 总分别存在于两个 平行平面内因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来 解决具体解法可按如下几步来求：分别经过BD和 B1C找到两个互相平等的平面；作出两个平行平面的公垂线；计算公垂线夹在两个平等平面间的长度解：如图，根据正方体的性质，易证：A1B/ D11C1平面A1BD/平面CB1D1连结 AC1 ，分别交平面 A1BD 和平面 CB1D1于M 和 N因为 CC1和 AC1分别是平面 ABCD的垂线和斜线， AC 在平面 ABCD内， AC BD 由三垂线定理： AC1 BD ，同理： AC1

44、 A1D AC1 平面 A1BD ，同理可证： AC1 平面 CB1D1.下载可编辑平面 A1BD 和平面 CB1D1间的距离为线段 MN 长度 如图所示：在对角面 AC1中， O1为A1C1的中点， O为 AC的中点AM MN NC1 1 AC13 a33a、b3 a BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1BD 和 CB1D1 的距离为 3说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：转化为线面距设 是两条异面直线，作出经过 b而和 a平行的平面 ，通过计算 a和 的距离，得出 a和b距离，这样又回到点面距离的计算；转化为面面距，设a 、b 是两条异面直线，作出经过 b 而

45、和 a平行的平面 ，再作出经过 a 和b 平行的平面，通过计算 、 之间的距离得出 a和b 之间的距离典型例题十五例 15 正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 a ，求异面直线 AC 与 BC1 的距离 解法 1：（直接法）如图：取 BC 的中点 P ，连结 PD 、 PB1 分别交 AC 、 BC1 于 M 、 N 两点，易证： DB1 / MN ， DB1 AC ， DB1 BC1.下载可编辑MN 1DB13 a MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证：3 3小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时， 难度较大解法 2：（转化法）

46、如图： AC/ 平面 A1C1B AC与 BC1的距离等于 AC与平面 A1C1B 的距离，在 Rt OBO1 中，作斜边上的高OE ，则 OE 长为所求距离，OB2aOO1 a ，2，O1B3aOE OO1 OB3a2，O1B3解法 3：（转化法）如图：小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离平面 ACD1 / 平面 A1C1B ， AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD1 与平面 A1C1B 的距离 DB1 平面 ACD1 ，且被平面 ACD1和平面 A1C1B 三等分；13B1Da所求距离为 3 3 .下载可编辑小结：这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4：（构造函数法）如图：任取点

47、 Q BC1，作 QR BC于 R点，作 PK AC于 K 点，设 RC x，则 BRQR ax， CKKR ，且 KR2CK 2 CR2KR21CR2212x2QK 2 则12x2(ax)232(x2223a)212a312a3，3 a 故 QK 的最小值，即 AC 与 BC1 的距离等于 3小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到 二异面直线之间的距离解法 5：（体积桥法）如图：当求 AC与 BC1的距离转化为求AC 与平面 A1C1B 的距离后，设C 点到平面 A1C1 B的距离为h，则VCA1C1BVA1 BCC113h 43 ( 2a)21 1

48、 2aa32.下载可编辑33h a a 3 即 AC 与 BC1 的距离等于 3 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后 用体积公式求之这种方法在后面将要学到说明：求异面直线距离的方法有：（1）（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段， 是求异面直线距离的关键（2）（转化法） 把线线距离转化为线面距离， 如求异面直线 a、b 距离，先作出过 a且平行于 b的平面 ，则 b与 距离就是 a 、 b距离（线面转化法）也可以转化为过 a平行 b的平面和过 b平行于 a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线 距离（面面转化

49、法） （3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的 问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求典型例题十六例 16 如果 / ，AB和 AC 是夹在平面与 之间的两条线段， AB AC ，且 AB 2 ，直线 AB 与平面 所成的角为 30 ，求线段 AC 长的取值范围解法 1：如图所示： ABBD， ACDC，AB2AC2BC2，在BDC中，由余弦定理，得：cosBDCBD2CD2BC2AB2AC2

50、BC 2作 AD 于 D ，连结 BD 、 CD 、 BC02BD CD2BD CDADABD 是 AB 与所在的角又 /.下载可编辑ABD也就等于 AB 与 所成的角，即 ABD 30 AB2， AD1， BD3 ， DCAC2BC 4 AC2 ，AC223 AC2 1 4 AC22 3 AC2 10，即：1AC2233 ，即 AC 长的取值范围为 如图：233解法 2： AB AC AC 必在过点 A且与直线 AB 垂直的平面 内设 l ，则在 内，当 AC l 时， AC 的长最短，且此时 AC AB tan ABCAB tan30233而在 内， C 点在 l 上移动，远离垂足时， AC 的长将变大，AC从而23即 AC 长的取值范围是233说明： (1) 本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间 想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习(2) 解法 1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主(3) 解法 2 从几何性