东北大学考研金属塑性成型力学课后答案

1、1-6已知物体内某点的应力分量为crx = cry=20MPa，Xxy=10MPa，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。解:h =0 +by + oz=4 0MPa2 2 2=-(bxb y + bybz +bzbx) +Txy + Tyz +tzx=-300 MPa132 2 2=0巧 bz + Nxy Tyz IZX 一 bxl yz 一 b ZX 一 b xy =032CT3 -40cr2 +300b =0W =30 MPa2=10 MPab3 =01-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为 MPa，（1）（2）（3）（4）注明主应力；分解该张量；给出主变形图；求出最大剪应

2、力，给出其作用面。657是回答下列问题?解：（1 ）注明主应力如下图所示:（2）分解该张量;-500、f-600、00、0-60M 0-60l+l 000 100-7丿1 00-6100-b（3）给出主变形图（4）最大剪应力T其作用面为比互* 二 =1 MPa2 21-8已知物体内两点的应力张量为a 点 1 =40 MPa，b 2 =20 MPa，3=0 ；b 点：x=by =30MP a, Txy=10 MPa,其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。解：a点 h =6 +2 + 3 = 60MPa=炉&2 +23 +3) =-800 MPaI31宁3=011=bx Py + =60 MPa

3、I22 2 2=(Dxby +byDz +Dzbx) +Txy +Tyz +Tzx=-800 MPa132 2 2= bxbybz +2TxyTyzTzx -bxyz -bylzx-bzTxy=0其特征方程一样，则它们的应力状态相同。1-10某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积（1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量；（2）画出应力状态分解图，写出应力张量；（3）画出变形状态图。F=100mm2，载荷为 P=6000N ；叫=60MPa偏差应力分量为-20丿100 A0-f60100、1i120100、40001000_ 10200+0-20000-60002000-20J/

4、4000、应力分量为0-20000则印=60MP， C2 =0 ； c3=0 ；20球应力分量为2020丿(2)应力状态分解图为20MPa(3 )画出变形状态图1-157MPaTxy,= - MPa 4=0, T =4Mia,=-8MP，z=-i5Mia。画出应力状态图，写出应力张量。解：Xf-7应力张量为-4卜8-4-8-15J1-16(1)(2)(3)(4)(5)已知某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为 -10MPa求：特征方程；主应力；写出主状态下应力张量；写出主状态下不变量；求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，并在主应力状态中绘出其11x +cry + =0+0+0=0作用面

5、。 解：(1)212132 2 2=-(bxby +cryCrz +crzCrx) +Txy +Tyz +Tzx=100= crcrcr+2tX X -cr j2 -cr j2 -cr j2 =0x y z Jxy.yzzx xyzyzx2xy特征方程为b3 100口 = 0(2)其主应力为 cr1 = 10M Pa ; CT 2=0 MPa ; cr3=-10 MPafl0(3)主状态下应力张量为-10丿(4 )主状态下不变量11=5+ 3=0+ 吓小=-(-100) =100I31叮3=0(5)最大剪应力为片3円 10- (-10 ) 2 = = 10 MPa ；2八面体正应力1 18=

6、3(1+ 2+ 3)=-(1033+ 0 - 10) = 02 2 b-b) +(0 -1)+ (b - b)= 27(10-0)+(0+10)+2(-10-10)=763MPa最大剪应力在主应力状态中绘出其作用面为:,*-10-10A/ Jy /卜/1-17已知应力状态如图1-35所示：（1 ）计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面;（2 ）绘出主偏差应力状态图，并说明若变形，会发生何种形式的变形。/S解：（1）最大剪应力变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。（1）最大剪应力 = 笃“ = 0_（ 10）二 5八面体正应力-5MFa118二 3(巧 + 2 +

7、3)= -(0 5 10)=3 3八面体剪应力1 J22215=12)+ (b2-3)+ ( CT31)=33(0+5)2+(-5+10)2+(-10+0)2= 5 763变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。（1）最大剪应力t13= 匕=竺=2.52 2八面体正应力=(3+5+8) = MP133八面体剪应力 叨 3 DUE）二百=8=31 +込 + 6)（8-5）2+（5-3）2+（3-8）2=2 厲A-4变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm h=8mm轧辊圆周速度v=2000mm/s轧辊半径R=200.试

8、求该轧制时的平均应变速率。解：轧制时的平均应变速率为：-2v Jh -h 2 X 2000“0 -8“ “，10+8W= = J = 22.22m/ sH+h N R 10+8 V 2001-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%共轧 两道次，第一道次的对数变形为 0.223 ;第二道次的压下率为0.2，试求第二道 次的对数变形和第一道次的压下率。解：第二道次的对数变形为 第一道次的压下率为1-12已知压缩前后工件厚度分别为 H=10mn和h=8mm压下速度为900mm/s试 求压缩时的平均应变速率。解：压缩的平均应变速率4 旦= g=100m/sH +

9、h 10+81-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。 证明：设某物体由I 0延长一倍后尺寸变为21 0.其工程变形为2L Le=X100% =100%L如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为 0.5I 0,则工程变形为0 5L - Le = X100% = -50%L物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。而用工程变形表示拉压 程度则数值相差悬殊。因此工程变形失去可以比较的性质。用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。拉长-倍的对数变形为2L名=In = In 2L缩短一半的对数变形为0.5LS= In = In 2 L所以对数变形满足变形的

10、可比性。Ty = 15 (应力2-4.某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为QX=75 , Oy=15 , oz=0,单位为MPa,若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则：1+6(篇 +工：+工：9得该材料的屈服应力为: 6 =护75-15) +(15-0) +(0-75) +6(152 +O + o9 = 73.5 MPa2-5.试判断下列应力状态弹性还是塑性状态?匚4耳00 -0.2s00、c =0-5耳0;b =0-0.电000-5bss丿I 00-。.灭0.5c)Wj0解：a)由屈雷斯加屈服准则：由密席斯屈服准则舌-1.5迅丿5- C3=

11、(Ts得：-4 os- ( -5 cs) = os。应力处于塑性状态。一旺 2 f +(3 -2 f +(4-3 f =Crs。应力处于塑性状态。b)由屈雷斯加屈服准则：o- c3= c得：-0.2 0+0.8 c =0.6 c,应力处于弹性状态。由密席斯屈服准则应力处于弹性状态。13.4 ssc)由屈雷斯加屈服准则：01-0=0得：-0.5 0-(-1.5 c) =0,应力处于塑性状态。应力处于弹性状态2-15 已知应力状态 g=-50MPa , (2=-80 MPa , 妒-120 MPa , os=1Os/79 MPa,判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准则简化形式。解：a

12、)由屈雷斯加屈服准则：01-03= 03得：-50- (-120) =70 MPa10j79 MPa。应力处于 弹性状态。由密席斯屈服准则= 10737 MP a 10/79 MPa。白= 2 i + 炉3 2 ) + (W 3 )2应力处于弹性状态。“00偏差应力分量为10110丁丿密赛斯屈服准则简化形式如下:-80-50-120-50 - (-120)27)27c =3 73?2-14绘出密赛斯屈服准则简化形式, 答：密赛斯屈服准则简化形式“指出参数的变化范围和k与屈服应力的关系。2参数巴变化范围为-1 巴兰1，1 P 3m)=d(0-b)=-d Z ” bd 聲=-d 3-pds=J9

13、的 1P -d毎 j2 L d聲=-d名3屈V3d 皆=d( b - CT m=d(0+2 .亍）=2aTd 武=d( b2-=d(- b +2 CT)=-3cdZ2d 弩二d( b3-二d(- O + c)=-3d EP =-2 d s2 =-2 d 名3-pd名=J2 (gP d名；)+ (d名；de3 )十(de31 1=d3=-d2d=d=-号13)=d( b-21一 0)= dZtj332d 磧二d(b2-bm=d(b- _ c)322d 3 =d(53m)=d(0- b)二-_d几33-pd z=J9 (d眉-d222 q)+ (d 罠 一 d 磧)+ (de* - 1p ) j=

14、2d聲=2d磧=-d眉3-1镦粗圆柱体, 方程。并假定接触面全黏着，试用工程法推导接触面单位压力分布答：接触面全黏着,Tf = -k及屈服公式d crr = d crz代入微分平衡方程式drdr2k边界条件r = R, crza一企则接触面表面压力曲线分布方程为企餐(R-r)则接触面单位压力分布方程为P兀R23-2平面变形无外端压缩矩形件，并假定接触面全滑动（即Tf = pf ），试用近似力平衡方程式和近似塑性条件推导确定平均单位压力P的公式。d c答:将 Tf - pf代入力平衡微分方程式Xdxd c再将屈服准则式dcTx=dcry代入上式 一y +2fdx严X积分上式by = Ce h ,

15、由边界条件a点bxa = 0, Txya = 0 ,由剪应力互等，J = 0 ,则由(bx-by)2 + 4Txy2 = 4k2，边界处 bya = -K常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程为cy =-KeS- 2平均单位压力为p =-lF bydX22整个接触面均为常摩擦系数区条件下pex-1fl=，x =K x ， h 3-3在* 750X 1000mm勺二辊轧机上冷轧宽为590mm勺铝板坯，轧后宽度为610mm已知该铝的近似硬化曲线该铝板退火时板坯厚为 H=3.5mm压下量分配为3.5mm2.5mm 1.7mm 1.1mmJ = 6.8 + 8.2 S，摩擦系数f=0.3，试用斯通公式

16、计算第三道次轧制力P。_ 解：解：按斯通公式 h=(H +h) = 1 x(1.7 +1.1) =1.4mm2 2I = VRih = 75 天(1.7-1.1) _ fl -_h=P =K =15mm0.3 X 15nb1.4X“e -1=3.213.21e 一 1 =7.43.21轧件在变形区的平均变形程度-h+1( H0- H 十 H04(H0H0H。-h1H。H0 - hH00+3.5 心 +3.53.53.5-1.7十337.14%+ 8.2 X 0.3714 = 9.85 MPa则该合金的平均变形抗力6.8+ 8.2 名=6.8-= 11.38 MPa2bf + bbK - b =

17、 1.155 X 9.85=7.4 X 11.38=84.2 MPa铝板坯平均变形宽带为B = B前中耳后=600mm则第三道次轧制力P3-4在500轧机上冷轧钢带，H=1mm h=0.6mm, B=500mm f=0.08 ,bb解:=200MPabf = 300MPa os = 1 h = (H +h) 2=Jh = J250 X (1-0.6) = 10mm fl 0.08 X10 彳X = = = = 1_h0.8pex -1e1 - 1n =二=b _ K _ X _1按斯通公式=1.73600MPa试计算轧制力。1=-M +0.6)2=0.8 mm=P X B X I = 84.2

18、 天 600 X 15 = 757.8kN轧件在变形区的平均变形程度20%=443 MPaIH。-HH。-hz = -( +)=2H0H0则该合金的平均变形抗力K =K-bf 5= 1.155 . 600 _ 200 + 300_ 2 2P = 1.73 X 443=766.4MPa铜带平均变形宽带为B = B B后 500mm2则轧制力P = P X B 咒1 = 766.4 X 500 X 10 = 3832kN 3-5试推导光滑拉拔时，拉拔应力的表达式。答：光滑拉拔时，无摩擦力f,先将分离体上所有作用力在x轴向的投影值求出, 然后按照静力平衡条件，找出各应力分量间的关系。作用在分离体两个

19、底面上作用力的合力为氏二工 D(Ddcrx + 2crxdD)4作用在分离体锥面上的法向正压力在轴方向的投影为2兀Dr兀 rNx=.0 bndxtan a 2 d 二評曲 a dx二 2 nDdD作用在分离体锥面上的剪力在轴方向的投影为 0; 根据静力平衡条件气花；D Ddbx + xdD) + : bnDdD = 0 整理后得Ddx + 2bxdD + 2cndD = 0将塑性条件近似屈服准则代入上式町 + bx =dbx =2dD -CTsD积分上式，得bx = 2耳 |nD当D = Db，bx=Ob 代入上式=cTb + 2crsl nDbx = 一 2耳1 nD + bbs1 nDb

20、= % + 2crs|n Dbb + 2cjsln D=bsD=xa， D = Da，SZb +=bxaIn昏代入上式得巴 +ln (R)2 耳 耳DaD2D；因为A5xaQ-sbb+ In几 迅bb +bsln 几Ja3-7-轧板时假定接触面全滑动， 途径。答：轧板时假定接触面全滑动卡尔曼做了如下假设：1）把轧制过程看成平面变形状态；2）bx沿轧件高向、宽向均匀分布；3）接触表面摩擦系数f为常数.将作用在此单元体上的力向x轴投影，并取得力平衡试建立卡尔曼方程，并指出解此方程的这个主要(cTx +x)( hx + dhx) 2pxrd a sin a 2fpxr cosa = 0展开上式，并略

21、去高阶无穷小，得bxdhx + gd bx - 2pxrd a sin a 2fpxr cos a = 0dghx) =2PxHsin f cosg式中+号为前滑区，-号为后滑区 此方程为卡尔曼方程原形。解此方程的主要途径将单元体的上、下界面假设为斜平面，另外将屈服准则的近似式 px -bx = K代入到方程中来。分别对前滑区和后滑区的边界条件代入到前滑区和后滑区的方程中，求出常数项C来。3-8试任举一例子说明工程法的基本出发点和假定条件以及用此法求解变形力 的主要步骤。答：举例如下：圆柱体周围作用有均布压应力，如图所示。用主应力求镦出力P和单位流动压力。 设 T =mk。6工程法的基本出发点

22、：简化为平面圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力CT、囚和OZ视为主应力，且与对称轴Z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体 沿径向的静力平衡方程为：（丐+ 碍）（尸+出）加 - r 血+ 21 qF加“F 2 祕加（则广=0令sin（d02）di/2，并忽略二次微分项，则得迥 I 印 I 2Tjg dr rh由于轴对称条件，（r=。此时平衡方程简化为22 z3-1d 0 =drh根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为J -br = 2KdCTr= dbz代入式（3-1），得db因此边界条件:Ge当r =R时,2 mkrh3-200。由近似屈服条件知，此时的bz =2

23、K+，代入方程式（3-2）,可得c/RCi代入式（3-2），得=(2K + 00 e_2 mkRh2mk(2)= (2K +讥 h3-3cz所需变形力p为：压板上的平均单位压力用P表示，则- PP = 兀R4-1如图所示，已知滑移线场和屈服剪应力k的方向，试判断一下哪个是a线,哪个是3线。解：a线是使单元体具有顺时针旋转的趋向，则图中a线和B线如下图所示。4-2如图所示，已知a线上的a点静水压力200MPa 15度，由a点变化到b点时，其夹角的变化为15 度, 水压力是多少？2）写出b点的应力张量。解:通过汉基应力方程，a-b （沿a线）,Pa+2k* = Pb+2kqPa + q = Pb

24、+k*b,15经a的切线与x轴的夹角 设k=50MPa,求：1）b点的静=173.8 MPapb=pa+2k 代沁）=200+25* 面）b点的应力张量6=4 P + k Sin24)b)=-173. 8 - 50 x sin (2 x 30)= -217. 1MPacTy = 4 p k sin24b)=-P + k sin 2 = -173.8 +50 x sin(2 x 30)= -130. 5MPa=k cos 2b = 50 X cos (2 X 30) = 25MPabx + by-217. 1 - 130. 5glyxbzTxz= Gx = Tyz=Tzy = 0则b点的应力张量

25、为217.12525 130.5=-173. 8MPa= pb-173.8 丿4-3如图所示，已知滑移线场,试判断一下a 3的方向。4-4,如图所示，已知滑移线场的主应力的方向,4-5试推导沿B线汉基应力方程式P- 2k* =C2答：滑移线的微分方程为 对B线Jby代入平面应变问题的微分平衡方程=0= tg（ + 亍）=-ctg=-P ksin2 = -p ksin2 =-p + ksin2 0= -p + ksin2 0=kcos2 0+si n2 列丿 -2k Isin2*-cos2* exIXcy 丿 取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和P轴。这样，滑移线场中任何一点的位置， 可用坐标值a

26、和P表示。当沿着a坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值P不变, 当然沿着坐标轴P从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。(空 dx + 空 dy) + 2k空 dx(cos2 * + sin 2* 巴)1+2k竺 dx(sin2 * -cos dyJ = 0 &exexdx匕ydx巴一 ctg*dxdp =即 dx + 印 dy&点ydp +2k型dx(cos2$ -sin 2ctg) l + 2k越dx(sin2$ +cos2ctg)l= 0Lcos2 sin 2$ctg = 1si n2 +cos 2$ctg = -ctgdp 2kdx +2k dxctg =0&cydp -2kdx -2k

27、dxctg =0, 拠c*d e =dx +dyex勿dp -2kd0 =0p -2k* =C2同族的两条滑移线与另一族滑移线相交，其相交处两切线间的夹（例如a族）的两条滑移线（例如 a 1和a 2线）与另一族（例如 B族） （例如3 1和B 2线）的两个交点上，其切线夹角与静水压力的变化 P4-6试叙述并证明汉基第一定理。 汉基第一定理： 角是常数。 证明：在同一族 的任一条滑移线 均保持常数，如下图所示：A-B（沿a线）Pa + 2Sa = Pb +2k% B-C（沿3线）Pb -2kB = Pc +2kcQ-P A=2k仲 A +c-2%)A-D(沿3线)Pa -2Ma = Pd -2k

28、%D-C(沿a线)PC +2k% = Pd +2k%Pc-pA=2k(2%-2-忧4-7试滑移线理论证明接触面光滑情况下压缩半无限体问题的单位压力公式。 证明：按Henchy应力方程，沿 b线DFGCTPd 2Md = Pc 2k 也Pc = Pd 2k(D -)Pd =kPc=k 2輕pc是接触面4,而我们要求的是sy，由by= -Pc +ksin2%by= _k(1 +兀)+ksin竺12丿= -k(1+町-k=-5.14k单位压力P = -by = 5.14k总压力1.21/2P =2( Pdx = 2 (-cry)dx=5.14kl平均单位压力P =-=5.14k l4-8用光滑平锤头压缩顶部被削平的对称楔体，楔体夹角为25 ，试求其平均单压力并解出6 =30o、90o时的P为多少。2k解：如上图所示 沿B线Pa2k% = Pd 2k