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文档简介
1、 一、中考动态 纵观近年全国中考试题,操作型问题已逐渐成为中 考热点之一。 1、三年中考数据分析表(不完全统计): 年 份试卷数有操作问题的试卷 数 操作问题的试卷所占比 例 2003年72份23题33 2004年94份46题49 2005年96份63题65 2、为什么实验操作题如此备受青睐? 随着新课程的实施,考试内容不仅仅关注“基 础知识与基本技能”,还把“数学活动过程”、 “数学思考”和“解决问题”作为考查的主要方面。 数学学业考查,非常关注以下四个方面: (1)能否通过不同的方式探索研究对象的有关性质包括观察、折叠、 变换、图形的分解与组合、逻辑推演等。 (2)能否在自己的头脑里进行数
2、学实验借助图形、想象和逻辑推演 从事几何对象的各种“操作”。 (3)能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想,并证明猜 想的正确性。 (4)能否积极有效地观察所探索的对象通过对若干具体情况的观察 而发现存在于探索对象背后的数学现象。 由此可见,数学试题在“知识立意”、“能力立意” 基础上加入“过程立意”。 操作问题能让学生经历观察、操作、实验、猜想、 验证的探究过程,可以有效地培养学生的动手能力, 发展学生的空间观念,和理性精神,为考查学生观察、 实验、归纳、探索、推理论证能力提供了平台。 操作问题“易入手,难深入”的特点为考查不同层 次的学生的学习风格、学习状况和思维水平提供了平 台
3、。 二、问题分类解析 (一)基本作图和格点作图 尺规作图统领作图题的局面,近年有所改变。其他 工具作图、格点作图问题,提供了一个问题情景,要求 学生自主选择所学知识解决问题,具有很大的思考空间, 能够有效地考查学生的实践能力和解决问题的能力。 例1 作AOB的平分线。 (1)给你一把带有刻度的直尺,你能作出图1中AOB的 平分线吗?请写出三种方法。并以其中一种作法为例,说 明理由。 (2)如果只有一把没有刻度的直尺,你又如何作图2中 AOB的平分线呢? (3)如图3,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正 方形,AOB画在方格纸上,请作出AOB的平分线。 A B O A B O 图1图2 图3
4、思路点拨: (1)中的有刻度直尺可以量、可以作直线的平行线。所以 可以用全等三角形、等腰三角形的知识解决问题。(如图4、 5、6) (2)中的直尺没有刻度,故只能作平行线,所以作OA、 OB的平行线交于点P,作射线OP即可。因为OMPN是菱形。 (如图7) OA B OA B OA B M P N M N R S P OA B M N P MP N 图4 图5 图6 图7 (3)在图8中OAOB,可以找到P1、P2、P3到A、B 的距离相等,由全等的知识可知作射线OP,则OP平分 AOB。 图8 例2(2004年苏州)正方形网格中,小格的顶点 叫做格点。小华按下列要求作图:在正方形网 格的三条
5、不同的实线上各取一个格点,使其中任 意两点不在同一条实线上;连结三个格点,使 之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中 作出了RtABC。请你按照同样的要求,在右边 的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并 使三个网格中的直角三角形互不全等。 例3(2002年吉林)如图,正方形网格中的每个 小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形: (1)使三角形的三边长分别为3、 (在图 (1)中画一个即可); (2)使三角形为钝角三角形且面积为4(在图 (2)中画一个即可)。 2 25、 二、展开与折叠 折叠和展开是认识、研究立体图形的一个重要 方法。折叠和展开
6、是一个互逆的操作过程过程,解 决这类问题可以直接操作,也可以通过头脑想象操 作的过程(思维实验),从而解决问题。 例4(2003年仙桃)如图,是一个正方体的展 开图,每个面内都标注了字母,则展开前与面 E相对的是( ) (A)面A (B)面B (C)面C (D)面D 例5(2003年陕西)将一张矩形纸对折再对折 (如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到、 两部分,将展开后得到的平面图形是 ( ) (A)矩形 (B)三角形 (C)梯形 (D)菱形 例6 图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而 成的,过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N, MN与CC2交于点G,且图被直线MN分成面积相等的
7、上、下两部分。(1)求 的值;(2)求MB、 NB的长;(3)将图沿虚线折成一个无盖的正方 体纸盒(图)后,求两点M、N间的距离。 图 M G D1 A1 B1 C1 D A B C N C D E C2 D2 A1 D1 C1 A B F 图 B1 M NBMB 11 C C1 B1 BN M 图中BN等于图中的EN的长, 所以 BNEN 2 53 MB1 ,所以 MN1。 三、几何变换 翻折、平移和旋转是基本的全等变换,题目条件的 给出简单,但隐含的信息较多,解决这类问题,要帮助 学生理清基本关系,抓住问题的本质,归纳一般的规律。 解题时需要我们把计算、推理与合情想象有机结合起来。 例7(
8、2002年滨州)如图,矩形A1BlC1D1沿EF折叠,使B1点 落在A1D1边上的B处;沿BG折叠,使D1点落在D处且BD过F点, (1)求证:四边形BEFG是平行四边形; (2)连结B1B;判断B1BG的形状,并写出判断过程。 例8(2003年上海)如图20,在正方形ABCD中,AB 1,弧AC是点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。 点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合), 过E作弧AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点: (1)当DEF45时,求证:点G为线段EF的中点; (2)设AEx,FCy,求y关于x的函数解析式,并 写出函数的定义域; (3)将DEF沿直线EF翻折后
9、得DEF,如图,当EF 时,讨论ADD与EDF是否相似,如果相似,请 加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出 理由。 A BC D D E F / M A BC D D E F / M 当 AE 2 1 x 时,ADD DFEDFE。AE EDED ,ADDEDF90也可以通过证明 FE FD DA DD / 。故AD DEDF;当 AE 3 1 x 时, 类似地研究。 例9(2004年台州温州)已知矩形ABCD的长AB=4,宽 AD=3,按如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转 动一周时( A到A/),顶点A所经过的路线长等于 。 例10(2004年山东)如图,正三角形AB
10、C的中心O恰好为 扇形ODE的圆心,且点B在扇形内,要使扇形ODE绕点O 无论怎样转动,ABC与扇形重叠部分的面积总等于 ABC的面积的,扇形的圆心角应为多少度?说明你的理 由 3 1 四、图形割补 分割图形和图形的重新组合问题由于解 题策略多样,方法多样,剪裁线的不定性, 使得组合图形变得多姿多彩,分割和组合 其实是思考的结果,理性的思考是解题的 关键。解决问题的方法有实验法、分析法、 类比法、联想法和验证法。 例11(2003年镇江)已知,如图,ABC中, AB=AC,A=360,仿照图(1),请你再设计两种 不同的分法,将ABC分割成3个三角形,使得每 个三角形都是等腰三角形,(图(2)
11、、图(3) 供画图用,作图工具不限,不要求写出画法,不 要求证明;要求标出所分得的每个等腰三角形三 个内角的度数) 图 (1) A C 360 B A C 360 B 360 A C 360 B 360 360 360 720 1080 1080 720 图 (3) 图 (2) A BC A BC A BC A BC A BC 例12(2002年宁波)如图,把大小为44的正方 形方格图形分割成两个全等图形,例如图1。请在 下图中,沿着虚线画出四种不同的分法,把44 的正方形方格图形分割成两个全等图形全等图形。 例13(2002年连云港)现有一块形如母子正方形 的板材,木工师傅想先把它分割成几块
12、,然后适 当拼接,制成某种特殊形状的板面(要求板材不 能有剩余,拼接时不重叠、无空隙),请你按下 列要求,帮助木工师傅分别设计一种方案: (1)板面形状为非正方形的中心对称图形; (2)板面形状为等腰梯形; (3)板面形状为正方形。 请在方格纸中的图形上画出分割线,在相应的下 边的方格纸上面拼接后的图形。 (1) (3) (2) 五、图案设计 完成方案和图案设计问题的关键是看清要 求,大胆思索,仔细验证。 例14(2004年淄博)请你在下面3个网格(两相 邻格点的距离均为1个单位长度)内,分别设计1 个图案,要求:在中所设计的图案是面积等于 的轴对称图形;在中所设计的图案是面积等于 2 的中心
13、对称图形;在中所设计的图案既是 轴对称图形又是中心对称图形,并且面积等于 3 将你设计的图案用铅笔涂黑 3 3 3 例15 在一次实践活动中,某课题学习小组用测角 器、皮尺测量旗杆高度,他们设计了如下方案: (1)在测点A处安置了测角仪器,测得旗杆的顶 部M的仰角MCE ; (2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN ; (3)量出测角仪器的高度AC 。根据上述条 件测量数据,即可求出旗杆的高度MN。 m h A C E M N 例15 在一次实践活动中,某课题学习小组用测角 器、皮尺测量旗杆高度,他们设计了如下方案: (1)在测点A处安置了测角仪器,测得旗杆的顶 部M的仰角MCE ; (2)
14、量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN ; (3)量出测角仪器的高度AC 。根据上述条 件测量数据,即可求出旗杆的高度MN。 m h A C E M N 如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量 某小山高度的方案: (1)在图35中画出测量小山高度MN的示意图(添上适当 的字母); (2)写出你设计的方案。 M N M N AB CD E 量出 ABm,MCD,MDE ,ACn, 可以求出 n m MN tantan tantan 。 M N E D C B A 量出 ABBCm,MBD,MCE ,可求 出 MN tantan tantan2 mm 。 六、操作探究 操作探究题通过提供实验
15、操作的情境,让学 生探索图形变化过程中,线段、角、三角形的位 置或数量之间的关系。这类问题已成为几何综合 的一个亮点和方向,它能考查学生综合应用代数、 几何知识解决问题的能力,能考查学生对方程、 函数、数形结合等数学思想的领悟情况。这里操 作是理解题意的重要措施,正确作图是解题的关 键,认真分析、大胆猜想、小心求证是解题的核 心。 例16 操作:在ABC中,ACBC2,C90, 将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的 中点P处。将三角板绕P点旋转,三角板的两直角 边分别交射线AC,CB于D、E两点。图38、39、40 是旋转三角板得到的图形中的3种。 探究: (1)三角板绕P点旋转,观察线段PD和PE之间有 什么大小关系?它们的大小关系是 ,
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