一函数及其表示

1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示【最新考纲】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 .2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法)表示函数 .3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）1函数与映射的概念函数两集合 A、设 A、B 是两个 非空的数集B如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的对应关系任意一个数 x，在集合 B 中f：AB都有唯一确定 的数 f(x)和它映射设 A、B 是两个非空的集合如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一

2、确定 的元素 y 与对应之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数合 B 的一个映射记法函数 yf(x)，xA映射： f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf(x)，x A 中，自变量 x 的取值范围 (数集 A)叫做函数的定义域；函数值的 集合 f(x)|xA叫做函数的值域(2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函数为相等函数3函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分

3、段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集，分段函数虽由几个部分组成， 但它表示的是一个函数1 (质疑夯基 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“” )(1)函数 与y0 是同一个函数 ()y 1x(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点 ()(3)函数 211 的值域是 y|y1()yx(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等 ()答案： (1)(2)(3)(4)2 (2015 庆卷重 )函数 f(x) log2(x22x3)的定义域是 ()A3，1B(3，1)C(， 31， )D(， 3)(1， )解析：要使函数有意义，只

4、需 x22x3 0，即(x3)(x1)0，解得 x 3 或 x1.故函数的定义域为 (， 3) (1， )答案： D3下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是 ()Af(x) |x|Bf(x)x|x|Cf(x) x1Df(x) x解析：将 f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于 A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于 B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于 C，f(2x)2x12f(x)；对于 D，f(2x) 2x2f(x)，故只有 C 不满足 f(2x)2f(x)答案： C1，x0，1，x为有理数，4设f(x)0，x0，的值则g(x)0，x为无理数，f(g

5、( )1，x0，为()A1B0C1D解析：根据题设条件， 是无理数，g()0，f(g()f(0)0.答案： B5给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)x32 x是一个函数；函数 y2x(x N)的图象是一条直线； f(x)lg x2 与 g(x)2lg x 是同一个函数其中正确命题的序号是 _解析：由函数的定义知 正确x30，满足的 x 不存在，不正确2x0又 y2x(x N)的图象是位于直线y2x 上的一群孤立的点， 不正确又 f(x)与 g(x)的定义域不同，也不正确答案： 两点注意1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优

6、先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行两点要求1用换元法解题时，应注意换元前后的等价性2分段函数问题要用分类讨论思想分段求解四种方法函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法。一、选择题1 (2016 唐山期末 ) 函数yx（3x）x1的定义域为()A0， 3B 1，3C1， )D3， )x（3x）0解析：要使函数有意义，需要保证，x100x3，1x3.x1答案： B2 (2015陕西卷 )设 f(x)1 x，x0，则 f(f(2)()2x，x0，1A 1B.413C.2 D.2解析：因为 20，所以 f(2)2 2140，1111所以

7、f 4 14122.答案： C3现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间 t 变化的函数关系的是()解析：由球的形状可知，当不超过半球时，水的高度增加由快到慢，当超过半球时，水的高度增加越来越快答案： C4若 f(ln x)3x4，则 f(x) 的表达式为 ()Af(x)3ln xBf(x)3ln x4Cf(x)3exDf(x)3ex4解析：令 ln x t，则 xet，故 f(t) 3et4，得 f(x)3ex4.答案： D5(2017)已知函数f(x)x21，x1，安徽示范高中一联2x若ax，x 1.f(f(1) 4a，则实数 a

8、 等于 ()14A.2B.3C2D4解析：因为 f(1) 2，所以 f(f(1) f(2)42a4a，解得 a2.答案： Cx22x，x0，6已知函数 f(x)若|f(x)|ax，则 a 的取值ln（x1）， x0.范围是 ()A(， 0 C2，1B(， 1D2，0解析：画出 f(x) x22x，x0，的图象如下图ln（x1）， x0.由 f(x)的图象得到 |f(x)|的图象如下图|f(x)|ax观察 yax 的图象总在 y|f(x)|的下方，则当 a0 时，不合题意；当 a0 时，符合题意；当 a0 时，若 x0，f(x) x22x0，所以 |f(x)|ax 化简为 x22xax，即 x2

9、(a2)x，所以 a2x 恒成立，所以 a2.综上 2a0.答案： D二、填空题7已知函数 f(x) 的定义域为 (1，0)，则函数 f(2x1)的定义域为_解析：要使函数 f(2x 1)有意义，需满足12x10，解得11，11x2，即所求函数的定义域为2 .1答案： 1， 28函数 11x2的定义域为 _yln 1x11x0，x 1或x0，解析：由? 0x1.1x201x1该函数的定义域为 (0，1答案： (0， 19 (2014 江卷浙 )设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0，若 f(f(a) 2，则 a_解析：当 a0 时， f(a)a2 2a2(a1)210，于是 f(f(a)

10、 f(a22a2) (a22a2)2，令 (a22a2)22，显然无解；当 a0 时， f(a) a20，于是 f(f(a) f(a2)(a2)22(a2)2a4 2a22令 a42a222，解得 a2(a0，2舍去 )综上， a 的值为2.答案：2三、解答题10二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0) 1.求 f(x) 的解析式解：设二次函数 f(x) ax2 bxc(a0)f(0) 1，c1.把 f(x)的表达式代入 f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1， b 1.f(x)x2x1.11已知 f(x)x21，g(x)(1)求 f(g(2)和 g(f(2)的值；(2)求 f(g(x)的解析式x