不定积分求解方法及技巧小汇总0001

1、 砂伤8 不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个 别典型例子，运用技巧解题。 一.不定积分的概念与性质 定义1如果F(X是区间I上的可导函数，并且对任意的xel,有r(x)=f(x)dx则称F (X)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上一定有 原函数，即存在可导函数F(X),使得F(X)=f(x) (XGI) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F(X)是f(x)在区间I匕的一个原函数，则 (1) F(X)+C也是f(x)在区间1上的原函

2、数，其中C是任意函数； (2) f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F(X)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(X)+C称为 f(x)在区间I上的不定积分，记为J f(x)d(xb即J f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号J称为积分号，f(x)称为被积函数，f(xM(X)称为被积表达式，X称为枳分变 量，C称为积分常数。 设函数 f(x)和 gM存在原函数，则 J f(x)g(x)dx=J f(x)dx J g(x)dx. 性质1 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数,则J kf(x)dx=kj f(x)dx. 换元积分法的定理

3、如果不定积分J g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f(x) 0). 做变量代换片0(x),并注意到0，(x)cJx=d0(x),则可将变量X的积分转化成变量U的积分, 于是有 J g(x)dx=J f0(x) 0(x)dx=J f(u)du. 如果J f(u)du町以枳出，则不定积分J g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换 元法。第一类换元法就是将fi合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=0(x)可导，则有换元公式 J f0(x) 0(x)dx二J f(u)du=F(u)+C=F)6Zr=J f(axb)daxb) (

4、a 工 0) 2 J /(艾严)文严】心=2 ”(*)(*)(“工0) 3 J f (五)十 dx = 2 j /(VxZa/x 4些一”(M 5j /)v仏二J f3)d0 6 J y*(lnx)= J /(InAXZln x 7j/(存).仏=打(严加 &J /(sin x)*cosxtc = J /(sinx)rfsiii x J/*(cosx)*sln xdr=J/(cosx)/cosx H = ax+b H二对 I4 = yx =i u=a H =nx =少 u =sinx = cosx J /(tan xsexxdx = J /(tan x)rf tan x J f (cotxXe

5、-xz/x = - J /(cotxcotx 9.Jsin mxcosnx改 fsinz/tvsin/rxdv U = tan X tf =cotx 利用积化和差 公式进行变换 员加挣8 cos MX cos 磁仮 （加为奇数） Jco屮pZr (加为偶数) 12.J/(arctanx) dx = J/(arctanx)(/(arctanA) j f (aresinX)-=i=d!r 二 J/(aicsinx)r/(aicsinx) 用公式，f lsin-x = eoyrx 1 cx-x = sin-A 进行变换 化为倍角的三角函 数降幕后再积分 tf = arctanx u =arcsinx

6、 四.解不定积分的基本方法 四.求不定积分的方法及技巧小汇总 1. 利用基本公式。（这就不多说了） 2. 第一类换元法。（凑微分） 设f(U)具有原函数F( H )o则 x)dx = J fp(x)y/ j* 2x +1. 11 x(X- +1)- 心(X- +1)- J %*(X- +1)- J (丄 - 7= j- -丄+ C = + C J /(“ + 1)“ + 1 “x-x +1) 故不定积分求得。 (2)三角函数有理式的积分 万能公式： 2tan 2 sin X = 1 + tau 2 1 一 tan- 2 cosx= 1+ tail- 2 P(sinx,cosA；)dx可用变换丄化为有理函数的积分，但由于计算较烦，应 g(siiix,cosx)2 尽量避免。 对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成竺或竺竺。再用待定系数 sinx COSX A(acosx+bsin.x)+Sacosx + bsin!x)來做 acosx+bsinx (3)简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现石和71石时，可令x=tair/；同 时出现77和Jl-x时,可令x = siii-Z ；同时出现J1-亍和arcsuLV时,可令x=sint； 同时出现Jl-x和arccoar时