命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解

1、乐博思命题、证明及平行线的判定定理知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（

2、1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果那么”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为

3、公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一（3）“平行公理的推论”

4、也叫平行线的传递性.2平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：32abcd（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：12abcd（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：42180abcd（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学

5、过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果，那么；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：；结论：.它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是

6、假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.a若，则 b若ab，则ambmc两个等腰三角形必定相似 d位似图形一定是相似图形类型二、公理、定理及证明3证明：等角的余角相等【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：12，1+390，2+4=90.求证：34.证明：1+3=90，2+4=90，（已知）3=90-1，4=90-2.（等式的性质）1=2（已知），3=4（

7、等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.a定义 b定理 c公理 d不是命题类型三、平行线的判定定理4. （2016淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中1=50，2=50，3=130，找出图中的平行线，并说明理由【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明obac，根据同旁内角互补，两直线平行证明oabc【答案与解析】解：oabc，obac1=50，2=50，1=2，obac，2=50，3=130，2+3=180，oabc【总结

8、升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键举一反三：【变式】（2015宁城）如图，下列能判定abcd的条件有（）个（1）b+bcd=180；（2）1=2；（3）3=4；（4）b=5a1b2c3d45.（2015日照期末）如图，abcd，ae平分bad，cd与ae相交于f，cfe=e求证：adbc【答案与解析】证明：ae平分bad，1=2，abcd，cfe=e，1=cfe=e，2=e，adbc【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理【高清课堂：平行线及判定 例5】举一反三：【变式】已知，

9、如图，efeg，gmeg，1=2，ab与cd平行吗？请说明理由【典型例题】类型一、定义与命题1说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）在同一个三角形中，等角对等边；（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.【答案与解析】解：（1）先把这个命题写成“如果那么”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题.（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.条件：两

10、个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真命题.（3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：这两个三角形相似.它是假命题，反例：如下图：【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题? (1)三角形的三条高交于一点；(2)解方程； (3)123.【变式2】下列

11、真命题的个数是 ( )（1）直线a、b、c、d，如果ab、cb、cd，则ad.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 a1个 b .2个 c3个 d4个类型二、公理、定理及证明2证明：对顶角相等.【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：如图，直线ab，cd相交于点o，1和2是对顶角.求证：12.证明：1和2是对顶角（已知），oa与ob互为反向延长线（对顶角的意义）.aob是平角

12、（平角的定义）.同理，cod也是平角.1和2都是aoc的补角（补角的定义）.12（等角的补角相等）.【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.举一反三：【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比类型三、平行公理及平行线的判定3.（2015春无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45角的三角板ade固定不动，把含30角的三角板abc绕顶点a顺时针旋转（=bad且0180），使两块三角板至少有一组边平行（1）如图，= 时，bcde；（2）请你分别在图、图的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出，并完成各项填空：图中= 时， ；图中= 时， 【思路点拨】（1）利用两直线平行同位角相等，并求

13、得=4530=15；（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可【答案与解析】解：（1）图中=15时，bcde，bcde，1=b=60，1=d+，d=45，=15=cadcab=4530=15（2）图中=60时，bcda，bac=30，=60，dac=90=c，dac+c=180，bcda；图中=105时，bcea=105，dae=45，eab=60，b=60，eab=b，bcea故答案为：（1）15；（2）60；bc；da；105；bc；ae举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) a第一次向左拐30，第二次向右拐30 b第一次向右拐50，第二次向左拐130 c第一次向右拐50，第二次向右拐130 d第一次向左拐50，第二次向左拐1304.（2016春太仓市期末）如图，四边形abcd中，a=c=90，be平分abc，df平分adc，则be与df有何位置关系？试说明理由【思路点拨】根据四边形的内角和定理和a=c=90，得abc+adc=180；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和be与df两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行【答案与解析】 解：bedf理由如下：a=c=90，abc+adc=180be平分abc，df平分adc，1=2=abc，3