（新课标）2020版高考数学总复习 第四章 第六节 简单的三角恒等变换课件 文 新人教A版

1、第六节简单的三角恒等变换第六节简单的三角恒等变换 1.公式的常见变形 2.辅助角公式 教教 材材 研研 读读 考点一 三角函数式的化简 考点二 条件求值 考点三 三角恒等变换的综合应用 考考 点点 突突 破破 教材研读 1.公式的常见变形公式的常见变形 (1)1+cos =2cos2 ; 1-cos =2sin2 . (2)1+sin =; 2 2 2 sincos 22 1-sin =. (3)tan=. 2 sin 1 cos 1 cos sin 2 sincos 22 2.辅助角公式辅助角公式 asin x+bcos x=sin(x+)(为辅助角),其中sin = , cos = . 2

2、2 ab 22 b ab 22 a ab 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( ) (2)设(,2),则=sin.( ) (3)在非直角三角形ABC中,有tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( ) (4)设3,且|cos |=,那么sin的值为.( ) (5)公式asin x+bcos x=sin(x+)中的取值与a,b的值无关.( ) 1cos() 2 2 5 2 1 52 15 5 22 ab 答案答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.已知cos =,(,2),则cos等于() A. B.- C.

3、 D.- 1 32 6 3 6 3 3 3 3 3 答案答案 B由cos =,得2cos2-1=, 即cos2=. 又(,2), cos0,故cos=-. 1 32 1 3 2 2 3 2 , 2 2 2 6 3 B 3.的值为() A.1 B.-1 C. D.- 2 2sin 351 cos103sin10 1 2 1 2 答案答案 D原式=-. 2 2sin 351 13 2cos10sin10 22 cos70 2sin20 1 2 D 4.sin 15+cos 15= . 3 答案答案 2 解析解析 sin 15+cos 15 =2 =2(sin 15cos 30+cos 15sin

4、30) =2sin(15+30)=. 3 31 sin15cos15 22 2 5.已知24,且sin =-,cos 0,则tan的值等于 . 3 52 答案答案-3 解析解析24,且sin =-,cos 0, 3,cos =-, tan= =-3. 3 5 7 2 4 5 2 sin 2 cos 2 2 2sin 2 2sincos 22 1 cos sin 4 1 5 3 5 6.的值是 . 2cos10sin20 sin70 答案答案 3 解析解析原式= = =. 2cos(3020 )sin20 sin70 2(cos30cos20sin30sin20 )sin20 sin70 3co

5、s20 cos20 3 三角函数式的化简三角函数式的化简 考点突破 典例典例1(1)已知0,则= . (2)化简:= . (1sincos ) sincos 22 22cos 42 2 1 2cos2cos 2 2tansin 44 xx xx 答案答案(1)-cos (2)cos 2x 1 2 解析解析 (1)原式= =cos=. 因为0,所以00,所以原式=-cos . (2)原式= = = 2 22 2 1 2cos(cos1) 2 2tancos 44 xx xx 22 4cossin1 4sincos 44 xx xx 2 1 sin 2 2sin2 2 x x =cos 2x. 2

6、 cos 2 2cos2 x x 1 2 规律方法规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根 号中含有三角函数式时,一般需要升次. 1-1化简:= . 2 2sin()sin2 cos 2 答案答案4sin 解析解析 = =4sin . 2 2sin()sin2 cos 2 2sin2sin cos 1 (1cos ) 2 2sin (1cos ) 1 (1cos ) 2 条件求值条件求值 命题方向一给角求值命题方向一给角求值 典例典例2(1)= .

7、(2)= .(用数字作答) 2 3tan123 (4cos 122)sin12 cos103cos( 100 ) 1 sin10 答案答案(1)-4(2) 32 解析解析(1)原式= = = =-4. 2 sin12 33 cos12 2(2cos 121)sin12 13 2 3sin12cos12 22 cos12 2cos24 sin12 2 3sin( 48 ) 2cos24 sin12 cos12 2 3sin48 sin24 cos24 2 3sin48 1 sin48 2 3 (2)= =. cos103cos( 100 ) 1 sin10 cos103cos80 1cos80

8、cos103sin10 2sin40 2sin(1030 ) 2sin40 2 命题方向二给值求值命题方向二给值求值 典例典例3(1)已知cos=,则sin= . (2)已知cos=,若x0, 所以0,2, 根据同角三角函数基本关系式,可得cos 2=, 4 1cos 2 2 2 1 10 2 2 4 5 4 5 4 10 10 0, 2 4 0, 2 3 5 由两角差的正弦公式,可得sin=sin 2cos -cos 2sin =- =. (2)= = =sin 2x=sin 2xtan. 2 3 3 3 4 5 1 2 3 5 3 2 43 3 10 2 sin22sin 1tan xx

9、x 2 2sin cos2sin sin 1 cos xxx x x 2sin (cossin ) cossin cos xxx xx x 2sin cos (cossin ) cossin xxxx xx 1tan 1tan x x 4 x 因为x,所以x+0, 所以x+0. 又,+, +=. (2)tan =tan(-)+ 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 , 2 3 ,2 2 7 4 = =0, 且(0,), 00, tan()tan 1tan()tan 11 27 11 1 27 1 3 2 2 2tan 1tan 2 1 2 3 1 1 3 3 4 02, ta

10、n(2-)=1. tan =-0,(0,), ,-2-0, 2-=-. 2 tan2tan 1tan2 tan 31 47 31 1 47 1 7 2 3 4 规律总结规律总结 1.“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数 值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系. 2.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函 数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选 正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数;若角的范围为 ,选正弦函

11、数. 0, 2 , 2 2 3.解决上述两类问题时,常会用到角的变形,如:=2,=-(-),=(+)- ,=(+)+(-),+=-等. 2 1 24 2 4 2-1已知为第二象限角,且tan +tan=2tan tan-2,则sin= . 12 12 5 6 答案答案- 3 10 10 解析解析由已知可得tan=-2, 为第二象限角, sin=,cos=-, 则sin=-sin =-sin =cossin-sincos 12 12 2 5 512 5 5 5 6 6 124 12 4 12 4 =-. 3 10 10 2-2计算:-= . 3 cos10 1 sin170 答案答案-4 解析解

12、析 -=-= =-4. 3 cos10 1 sin170 3 cos10 1 sin10 3sin10cos10 cos10 sin10 2sin(1030 ) 1 sin20 2 2sin20 1 sin20 2 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的综合应用 典例典例5已知函数f(x)=sin+cos. (1)求函数f(x)在区间上的最值; (2)若cos =,求f的值. 2 44 x 6 44 x 3 , 42 4 5 3 ,2 2 2 3 解析解析(1)由题意得f(x)=sin+cos = =-sin. 因为x,所以x-, sin, 2 44 x 6 44 x 2 2 13 sincos

13、 2424 xx 2 2 7 12 x 3 , 42 7 12 11 , 312 7 12 x 3 ,1 2 所以-sin, 即函数f(x)在区间上的最大值为, 最小值为-. (2)因为cos =, 所以sin =-, 所以sin 2=2sin cos =-, 2 2 7 12 x 26 , 24 3 , 42 6 4 2 2 4 5 3 ,2 2 3 5 24 25 cos 2=cos2-sin2=-=, 所以f=-sin =-sin =-(sin 2-cos 2) =(cos 2-sin 2) =. 16 25 9 25 7 25 2 3 2 2 7 2 312 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 724 2525 31 50 方法技巧方法技巧 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,注意公式的 逆用和变形使用. (2)把形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+),可进一步研究函数的 周期、单调性、最值与对称性. 22 ab 3-1已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,xR. (1)求f的值; (2)若sin =,且,求f. 6 3 5 , 2 224 解析解析(1)f=cos2+sincos =+=. (2)因为f(x)=cos2x+sin xcos x =+sin 2x =+(sin 2x+c