第2章MATLAB运算基础.

1、第2章 MATLAB 运算基础 （1）主要内容： 变量的定义及赋值； 数值数组、字符串数组、元胞数组和构架数组等数据类型； 矩阵运算的定义和规则； 数组运算的定义和规则。2.1.2 数据类型?数据类型包括数值型、字符串型、 元胞型、 构架型等。数值型有单精度型、 双精度型和整数型。整数型有ui nt 8, ui nt 16, ui nt 32和ui nt 64等无符号型和 i nt 8, i nt 16, i nt 32和i nt 64等符号型整数。?数值型数据可以用带小数点的形式和科学计数法表示, 数值 的表示范围是10-30910+309。?-20、1.25、2.88e-56（表示2.88

2、X 10-56）、7.68e204（表示7.68X 10204） 都是合法的数据表示。 。? 一般在 计 算 时采用双精度型,在输出时有多种数值显示格式 可供选 择。数值显示格式的设置通过 format 命令,格式如下：?f ormat short 默认设置,以5位数字形式输出 ?format l ong 以15位十进制数形式输出?f ormat short e 以5位十进制数加指数形式输出?format l ong e 以16位十进制数加指数形式输出? f or mat short g 从format short禾口format short e中自 动选择最佳输 出形式2.2 变量 2.2.

3、2变量的赋值 变量的赋值通常有两种形式：1 变量 =表达式2 表达 式 ?其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结 果是一个数组。?形式1中，=代表的是赋值操作，将表达式的值赋给MATLAB 的变量；形式2中，将表达式的值赋给MATLAB的临时变量ans。例 2-1 在命令窗口输入下述语句，并按回车键执行，分别给变 量a、b、c赋值：a = 1 % a为标量b = 0 1% b为行向量c = 1 2; 3 4; 5 6% c为矩阵即二维数组2.2.3 特殊变量?eps?Real max?Real mi nMATLAB定义的正的极小值2. 2204e-16最大的正实数1. 7977e

4、+308最小的正实数2. 2251e- 308?Pi内建的n值?i , j虚数单位i =j =V -1?Infoo?NaN无法定义一个数目? Nar gi n函数输入参数个数? Nar gout函数输出参数个数?Fl ops浮点运算次数2.2.4内存变量的管理1 内存变量的显示与删除1 ) who用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。2) whos 在给出变量名的同时，还给出 它们 的大小、所占字节数及数据类型等 信息。3) cl ear 删除MATLAB工作空间中的变量。注 意，特殊变量不能被删除。例2-2 查询例 2-1 中语句执行后工作空间中的变量情况。2 工作空间浏览器

5、?工作空间浏览器窗口用于显示所有MATLAB工作空间中的 变量名、数据结构、类型、大小和字节数，也可以对变量进 行观察、编辑、提取和保存。3 内存变量文件例2-3: 例2-1 中语句执行后，在命令窗口 依次输入下述命令：2.3 数值数组2.3.1数值数组的建立1 赋 值语句建 立数组? 矩阵的建立可以通过赋值语句实现，赋值符号左边为变量 名，右边为矩阵元素。 矩阵元素应用 方括号( )括住，元素 可以是数值或表达式元素，表达式可以由数字、变量、运算 符和函数等组成。? 矩阵同行内的元素间用逗号或空格隔开，行与行之间用 分号或回车键隔开。例 2-4 在命令窗口输入语句：a=1,2,3;4,5,6

6、;7,8,9例 2-5 在命令窗口输入语句：x=-1.3 1+2+3 sqrt(5)例 2-6 在命令窗口输入下述语句，建立复数数组：b=1+2*i,2+3*i;2-i,3-2*ielfun函数库中提供一系列复数函数real复 数的实数部分real (b)1 mag复 数的虚数部分i mag( b)abs绝 对值或模abs( b)angl e幅 角angl e(b) 结果为弧度angl e(b)*180/pi 结果为角度conj 共 轭conj (b)2 简捷表达式例 2-7简捷表达式建立向量和矩阵2)使用linspace 和logspace函数生成向量 例2-8 用linspace 和log

7、space函数生成向量 t 1 =l i nspace( 0, 2* pi , 5) %从0到2*pi 等分成5个点l i nspace( 1, 8, 8)l i nspace( 1, 8, 1)t 2=l ogspace( 0, 2, 3)%从1到100(即100到102)按对数等分成3个点3 内建函数1 ) 通用特殊矩阵函数库el mat提供的常用的通用特殊矩阵 生成函数：?zeros?ones?eye?rand2)用于专门学科的特殊矩阵(1) 魔方矩阵magi c(n)( n=3)功能：魔方矩阵的元素由1到nx n的自然数组成，其对角 线上的元素为1；每行、每列及对角线上的元素之和均等于

8、 (n3+n)/ 2。魔方矩阵的每行、每列及两条对角线上的元素和 都相等。对于n阶魔方阵,其元素由1,2, 3,n2共n2个整数组 成。例2-9 产生 3阶魔方阵。?m=magi c( 3)%产生3阶魔方阵(2) 范得蒙矩阵vander(V)?生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵，矩阵元素最后 一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列 是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向 量生成一个范得蒙矩阵。例2-10 产生范得蒙矩阵。?v1=vander(1; 2; 3; 5 )(1:3)( 3)希尔伯特矩阵4 通过 MAT 数据文件加载矩阵2.3.2数组 (矩阵或向量 )元素的标识2矩阵

9、的标识例2-17 演示矩阵元素的标识和扩充矩阵的 方法a = 1 2; 3 4; 5 6 ;%建立一个2 x 3的矩阵a12=a(1, 2)%引用a( 1,2)的值a(3, 3)%引用a(3,3)的值，(3,3)超出 矩阵的 大 小， 出 错a( 3, 3) =9%扩充2x 3的矩阵为3X 3的矩阵，并给a( 3, 3)赋值2) 单下标方式 ( 按照列优先存储 )例：A=1 1 42308 7 2A(3,2)=7A(6)=7例2-18 演示矩阵元素的全下标标识和单下标标识的转换2.3.3 子数组2 矩阵一般情况如下：A(:, j )数组A的第j列全部元素A( i ,:)数组A的第i行全部元素A

10、( i , j )数组A的第i行第j列的元素A(:, j : L: j + n)数组A的第j列-第j +n列(下标增量为L)全部元素A( i : k: i +m):)数组a的第i行-第i +m行(下标增量为k)元素A( i : k: i +m, j : L: j +n)数组a的第i 行-第i +m行(下标增量为k)并在第j列-第j+n列(下标增量为L)全 部元素例2-19 演示建立行向量并取子数组的方法。a1=1.1, -2.2, 3. 3, -4. 4, 5.5;al ( 3)%取al的第三个元素a1( 1 4 ) %取a 1的第一个和第四个元素a1(1:2:5) %取a 1的第一个、第三个

11、和第五个元素，等价语句为：a1( 1: 2: end)例2-20演示建立3X 4的矩阵并取子数组的方法 。a= 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12 ;a( 1, : )a( : , end)a24=a( 2, 4) %取a的第二行、第四列的元素a( 1: 2: 4, : )a( : , 1: 2: end)a1=a( 1, 2 , 2, 3, 4 )a2=a( 1, 2 , 2, 3, 1 )a3=a( 3, 1 , : )a( 1, 3 , 2, 4 ) =zer os( 2)%对a(1,3 ,2,4)赋值2.3.4数组元素的删除数组元素的删除是简单地通过赋值为空( 用

12、 表示) 实现的。 通过赋值为空，可以实现删除一行元素、 一列元素、子数组和 整个数组。注意区分空矩阵和零矩阵：空矩阵是0X0的数组，而零矩阵是元素为零的mx n的数组。例2-23建立3X 3的数组，实现数组元素的删除。a= 1 2 0; 3 4 0; 5 6 9 ;a( : , 3) = %删除第三列元素a( 2, : ) = %删除第二行元素a( 1) = %删除一个元素，则矩阵变为行向量a= %删除所有元素为空矩阵2.3.5 多维数组例 2-24 演示全下标元素赋值方式建立三维数组的方法。b= 1 1; 2 2 ;%先创建二维数组b( : , : , 2) =5%扩展数组例2-25 演示

13、生成函数 ones、zeros、rand和randn直接创建多 维数组的方法。ones( 2, 3, 4)例2-26演示cat和repmat函数的功能。a=1 2 ;3 4;b= 56;78;cat(1,a,b)a=1 2 ;3 4;b= 56;78;cat(2,a,b)2 多维数组的信息例2-27 演示ndims , size和numeI函数的功能。x = ones( 1, 8) ; n = l engt h( x)%建立任意的1 x 8的数组xy=zer os(3, 5) ; d=si ze( y)%建立任意的3 x 5的数组y m n =si ze(y), ndi ms(y),numel

14、 (y),mm=si ze(y,1),nn=si ze(y,2) z= r and(2, 10, 3) ;%建立任意的2 x 10x 3的数组yn = l engt h(z)矩阵的合并C=A；BA和B的列数必须相同，B补在A的下面C=A，BA和B的行数必须相同，B补在A的右面矩阵转置A=B矩阵展开C=A(:) 把内存中实际存放形式展开,按列存放的格式? 矩阵行列式? 矩阵与行列式是两个完全不同的概念 .矩阵仅仅是一个矩形的 “数表 ”,行列式是在一个方形数表中根据定义规则进行运算的代数式，这是基本的区别.?逆矩阵对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E。等价于 AA=A，A=E

15、.（E为单位阵eye（n）主对角线元素为1,其余元素为0） 则称矩阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆阵（i nverse matrix）。A是可逆矩阵的充分必要条件是|A| = 0教材P106107页?从已知矩阵生成新的矩阵? diag(A)生成有A对角线元素组成的列向量? diag(A，k)?k=0为主对角线?k0为主对角线以下第k条对角线? diag（X）生成以向量X为主对角线，其余元素为零的矩阵X的长度+|K|? diag（X，K）生成以向量X为第k条对角线元素，其他元素为零的 阶方阵?triu（A）生成一个主对角线及以上元素是A的元素，其余元素为0的 上三角矩阵?triu（A，K）生成

16、一个第K条对角线及以上元素是A的元素，其余元素 为0的上三角矩阵?tril（A）生成一个主对角线及以下元素是A的元素，其余元素为0的下 三角矩阵?tril（A，K）生成一个第K条对角线及下上元素是A的元素，其余元素 为0的下三角矩阵? blkdiag （a，b，c）以a，b，c为主对角线，?其余元素都为零的方阵? compan (u)生成以向量X为多项式系数向量的多项式的伴随矩阵?(第一行元素为-u(2:n)/u(1)2.4 MATLAB 运算 p1162.4.1算术运算1.基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：+ (加卜-(减)、*(乘)、 /(右除)、(左除)、八(乘方)。注意，运算是

17、在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。矩阵的基本运算p116? (1)矩阵的基本运算A实数矩阵的转置，若A复数计算的A的共轭矩阵(每个元素取共轭, 再转置)A .复数的共轭rot90(A,k)将矩阵A逆时针旋转90啲k倍，当k为1时可省略。fliplr(A)对矩阵实施左右翻转180oflipud(A)对矩阵A实施上下翻转180oflipdim (A, dim)dim=1= flipud (A)dim=2= fliplr (A)?repmat(A,m,n)将A作为一个子矩阵,复制一个m*n的矩阵教材例P11722, 23, 24, 25(2)矩阵加减运算运算规则是:a. 若A和B

18、矩阵的维数相同,A+B, A-B实现矩阵的加减运算，是矩阵的相应元 素相加减。b. A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信 息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。P121 表4-5 矩阵的 乘法运算 正常乘法 A* B假定有两个矩阵A和B,若A为m x n矩阵，B为n x p矩阵，贝2 = A*B为m x p矩阵。 数乘 a*A a为标量，A为矩阵，用a乘以A的每一个元素 点乘 A.*B要求两矩阵维数必须相同， 为对应元素相乘标量积dot ( A，B) A.*B后，各各列元素相加，得到一个行向量dot( A， B， dim)A.* B后，dim=1 各列元素相加，得到一个行向量dim=2各

19、行元素相加，得到一个列向量(4) 矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：和/，分别表示左除和 右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A B和B/A运算可以实现。一般A B 工 B/A。A B=inv(A)* B， AX=BA为n*n方阵，B为n*1列向量，求解X为n*1列向量B/A=B*inv(A)， XA=BA为n*n方阵，B为1*n列向量，求解X为1*n行向量? 元素左除 .? 计算两矩阵的元素左除矩阵? A. B是指B的各元素除以A的对应元素? 元素右除 ./? A./B是指A的各元素除以B的对应元素此时要求两矩阵维数相同?P124 例题 3031（5）逆矩阵?方阵A的逆矩阵A-1=i

20、nv （A）（6） 矩阵 的 乘方矩阵的乘方AAb一个矩阵的乘方运算可以表示成AAx,要求A为方阵，x为标量矩阵元素的乘方 A.Ab2,4.A3 ans=8 64数的矩阵元素乘方 b.AA3.A2,4ans=9 81（ 7）矩阵行列式、秩，迹?行列式：一一det（A） A为方阵?秩：矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或 列秩，不为零的行数或列数rank （A）?迹：主对角线元素之和成为矩阵的迹 trace （A）2.4.2 关系运算MATLAB提供了 6种关系运算符：（小于）、（大于）=（大于或等于）=（等于）=（不等于）。关系运算符的运算法则为：a. 两个比 较量是标量时:直接比

21、较两数的大小。若关系 成立，关系表达式结果为1，否则为0。b. 两个维数相同的矩阵时:比较是对两矩阵相同位 置的 元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它 的元素由0或1组成。c. 一个是标量，一 个是矩阵时:则把标量与矩阵的每 一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结 果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵， 它的元素由 0或1组成。示例（1）23ans=0（2）21 2;3 4ans=1000（3）0 2;474) 显示的是 大于4的元素的单下标值disp(A4) 满足条件的 用1表示，不满足条件的

22、用0xor(x,y)异或运算，x和y都是零或都是非零时为假0，不同时 为真1any(x) 如果在一个向量中， 任一元素是非零，返回1；矩阵 x中的每一列有非零元素，返回1，否则返回零all(x) 如果在一个向量中， 所有元素非零， 返回 1 ；矩阵x中的每一列所有元素非零，返回1，否则返回零? A=1 2;34? B=01;07 ? xor(A,B) ?ans= 1 0 ?1 ?any(A) ? ans=1,1 ?any(B) ? ans=0, 1 ?all(A) ? ans=1 1 ?all(B) ? ans=0,1P141 矩阵的特征值和特征向量概念：?特征值：这设矩阵A是一个n阶方阵，如

23、果存在数a和一个非零列向量 X，使得AX=aX,则数a成为A的特征值特征向量：向量X称为A对应于特征值a的特征向量 特征值向量：n阶方阵A的n个特征值组成的向量?eig(A)计算n阶方政A的特征值向量?X,D=eig(A)?X的列对应A的特征向量?D的对角线元素是A的特征值A=1 2; 34eig(A)? ans= -0.3723? 5.3723 X,D=eig(A)?X=? -0.8246 -0.4160? 0.5658 -0.9094?D=? -0.3723 0? 0 5.3723 矩阵的分解 p144? 又称为矩阵的因式分解，就是把一个复杂的矩阵分解成两个或两个以 上特殊矩阵或简单矩阵的

24、乘积。? (1) LU分解(三角分解)，把一个方阵A分解为同阶的一个下上角L 和上三角U, IPA=L*U? (2)Cholesky分解是一个对称的正定方阵A分解为上三角矩阵与其转置 矩阵的乘积，? 即 A=L*L? L为上三角矩阵? 注：正定矩阵特征值都为正数L,U=lu(A) 例:50L=chol(A)例 51P167多项式运算?1 、多 项 式的表 示和输入 多项式用一个向量表示，按照多项式系数的降幂排列分配个各 项，没有的系数补零。例：xA5-3xA4+2x+10p=1,-3,0,0 ,2,10?矩阵的特征多项式：?|aE-A|为矩阵A的特征多项式?P=poly (A)求A特征多项式的系数?poly2sym ( P)具体显示A的特征多项式表达式?p168 例1，2，3?2.多项式的值和根? polyval (p, x)计算多项式p的值，在x处的值，x为标量，一个值，?X为向量，既是求多项式在 每个X处的值? roots(p)计算多项式p的根，即? p( x) =0的解?P169 例 4 , 73. P172 多项式拟合和插值 ?多项式的拟合：根据已知的数据点寻找最接近数据点的多项式曲线。用函数polyfit实现?多