计算机图形变换与输出

1、 图形变换：通过图形的几何变换可以产生新 的图形。 图形不动，坐标系变动 坐标系不动，图形移动 所谓齐次坐标法，就是用n+1维向量来表示一个n维向 量。对n维向量用其n个坐标分量(p1,p2,pn)表示， 是唯一的，若用齐次坐标表示，则有n+1个分量，即 (hp1,hp2,hpn，h)，且不唯一。 二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规 格化的齐次坐标，即取h=1。(x,y) 的规格化齐次坐 标为 (x,y,1) 齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为 常数的一平面上的二维向量。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐 标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3） 变换为齐次

2、坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐 标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n 维坐标。 (, )xyh hh 0,hhyyhxx hh hz hyy hxx h h h 基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内 的平移、旋转和变比的规律。 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 一、基本变换一、基本变换 平移平移(translation) x x = = x x+ +x x y y = = y y+ +y y (x, y) (

3、x, y) (tx,ty) x (x,y) (x,y) c o s s in x y cos()cos cossin sincossin sin()sin coscos sinsincos xxy yxy 是逆时针旋转角度 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 一、基本变换 旋转(rotation) 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 一、基本变换一、基本变换 旋转旋转(rotation) x x = = x xr r+(+(x x x xr r)cos)cos ( (y y y yr r)sin )sin y y = = y yr r+(+(y y y

4、yr r)cos)cos +(+(x x x xr r)sin)sin x y f f (x, y) (x, y) 1、把旋转中心平移至坐标原点，、把旋转中心平移至坐标原点， 2、进行旋转变换、进行旋转变换 3、将坐标系平移回原来的原点、将坐标系平移回原来的原点 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 一、基本变换一、基本变换 变比变比(scaling) x = x sx y = y sy (x, y) (x, y) x y 固定点变比固定点变比(scaling relative to a fixed point)(scaling relative to a fixed poi

5、nt)。以。以a a为为 固定点固定点 1 1(1)(1)作平移作平移t tx x= = x xa a，t ty y= = y ya a； 2 2(2)(2)按式按式(3.3)(3.3)作变比；作变比； 3 3(3)(3)作作1)1)的逆变换，即作平移的逆变换，即作平移t tx x= =x xa a，t ty y= =y ya a。 当比例因子sx或sy小于0时，对象不仅变化大小，而 且分别按x轴或y轴被反射 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 一、基本变换 变比(scaling) 二维几何变换矩阵可以表示如下： ifc heb gda t d2 t2d可看作三个行向量，其

6、中 1 0 0：表示x 轴上的无穷远点 0 1 0：表示y 轴上的无穷远点 0 0 1：表示原点 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 二、变换矩阵 是对图形进行平移变换； 是对图形进行投影 变换，g的作用是在x轴的1/g处产生一个灭点，h的作 用是在y轴的1/h处产生一处灭点；i是对整体图形作 伸缩变换 fc h g 从变换功能上可以将变换矩阵分为 4个子矩阵，其中 是对图形进行缩放、旋转、 对称、错切等变换 eb da ifc heb gda t d2 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 二、变换

7、矩阵 1 平移的矩阵运算表示为 (3.2) 简记为p=pt(tx, ty)。其中，p=x y 1，p=x y 1。 100 11 010 1 xy x yx y tt 100 (,)010 1 xy xy t t t t t 表示平移矩阵。 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 二、变换矩阵 旋转的矩阵运算表示为 (3.2) 简记为p=pr()，其中r()表示旋转矩阵。 cossin0 11sincos0 001 x yx y 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 二、变换矩阵 变比的矩阵运算表示为 (3.3) 简记为p=ps(sx, sy)，其中(sx,

8、sy)表示变化矩阵。 0 0 11 00 00 1 x y s x yx ys 3.比例变换 1 100 00 00 11 * ysxss s yxyx yxy x 以坐标原点为放缩参照点 当sx=sy=1时：恒等比例变换 当sx=sy1时：沿x,y方向等比例放大。 当sx=sy1 x y sx=sy1x y sx1,sy=1 4.对称变换 1 100 0 0 11 * eydxbyaxeb da yxyx q当b=d=0，a=-1，e=1时，有 x*=-x，y*=y，产生与y轴对称 的反射变换 x yx y q当b=d=0，a=1，e=-1时，有 x*=x，y*=-y，产生与x轴对 称的反射

9、变换 q当b=d=0，a=e=-1时，有x*=- x，y*=-y，产生与原点对称的 反射变换 q当b=d=1，a=0，e=0时，有 x*=y，y*=x，产生与直线y=x 对称的反射变换 x y x y 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 三、级联变换三、级联变换(composite transformation) (composite transformation) 对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联 才能实现。这里特别要注意的是才能实现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序矩阵级联的顺序，由于矩阵，由于矩阵 的乘法

10、运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的乘法运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到 的变换结果也不相同。的变换结果也不相同。 q复合平移复合平移 1 010 001 1 010 001 1 010 001 21212211 21 yyxxyxyx ttt tttttttt ttt q复合比例 100 00 00 100 00 00 100 00 00 21 21 2 2 1 1 21yy xx y x y x sst ss ss s s s s ttt q复合旋转 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 100 0cossin 0sincos 100 0coss

11、in 0sincos 2121 2121 22 22 11 11 21 rrt ttt ff ff yxtyx yx yxyx 1 1 010 001 11 11 tyxyxyx1 100 0cossin 0sincos 11 221122 ff ff yxtyx yx yxyx1 1 010 001 11* 2222 ffff yxttyxtyx yx 1 1* 100 0cossin 0sincos r 100 0cossin 0sincos r 100 010 001 2 t 10 010 001 3 a t 321 trtrtt 比例、旋转变换是和参考点有关的，若 相对于任意参考点(x

12、f,yf)作比例、旋转变 换，其变换过程是先将坐标系平移到参考 点上，变换后，再将坐标平移回来 注意: 3.1.1 二维图形几何变换二维图形几何变换 (续续) 四、二维几何变换的指令 建立变换矩阵的指令为 creat_transformation_matrix(xf, yf, sx, sy, xr, yr, , tx, ty, matrix)； 积累变换的指令为 accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); 坐标变换的指令为 set_segment_transformation(id, matrix); ),(hzyx

13、hhh 0,hhzzhyyhxx hhh 3.1.2 三维图形几何变换三维图形几何变换 44434241 34333231 24232221 14131211 3 aaaa aaaa aaaa aaaa t d 1 1 0100 0010 0001 11 * zyx zyx tztytx ttt zyxzyx 1000 000 000 000 z y x s s s 考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换， 其步骤为： a. 将平移到坐标原点处； b. 进行缩放变换； c. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置 xy z (y,z) (y z) y z o o (y z) (y,z

14、) z 1 0 0 0 0 cos sin- 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 1 zy x 1 z y x xy z (x,z) (x z) x z o o z 1 0 0 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin- 0 cos 1 zy x 1 z y x xy z (x,y) (x y) x y o o 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin- 0 0 sin cos 1 zy x 1 z y x 1 0100 0010 0001 aaa a zyx t 1000 0cossin0 0sincos0 0001 x r 1000 0cos0sin 0

15、010 0sin0cos y r 1000 0100 00cossin 00sincos z r 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 1 y r 1000 0cossin0 0sincos0 0001 1 x r 1 0100 0010 0001 1 aaa a zyx t 可以通过下列步骤来实现p点的旋转： a. 将a点移到坐标原点。 b. 使ab分别绕x轴、y轴旋转适当角度与z 轴重合。 c.将ab绕z轴旋转角 d.作上述变换的逆操作，使ab回到原来位 置。 3.1.2 三维图形几何变换三维图形几何变换 (续续) 四、三维几何变换的指令 建立变换矩阵的指令为 creat

16、_transformation_matrix(xf, yf, zf ,sx, sy, sz, xr, yr, zr , xt, yt, zt , , tx, tz , ty, matrix)； 积累变换的指令为 accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); 坐标变换的指令为 set_segment_transformation(id, matrix); 3.1.3 参数图形几何变换参数图形几何变换 (续续) 圆锥曲线的几何变换圆锥曲线的几何变换 圆锥曲线的二次方程是圆锥曲线的二次方程是axax2 2+ +bxybxy+

17、+cycy2 2+ +dxdx+ +eyey+ +f f=0=0，其相应的矩阵表，其相应的矩阵表 达式是达式是 简记为简记为xsxxsxt t=0=0。 22 10 22 1 22 bd a x be x ycy de f 平移变换。若对圆锥曲线进行平移变换，平移矩阵是平移变换。若对圆锥曲线进行平移变换，平移矩阵是 trtr= = ， 则平移后的圆锥曲线矩阵方程是则平移后的圆锥曲线矩阵方程是xtrstrxtrstrt tx xt t=0=0。 100 010 1mn 3.1.3 参数图形几何变换参数图形几何变换 (续续) 圆锥曲线的几何变换圆锥曲线的几何变换 旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点

18、作旋转变换，旋转旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点作旋转变换，旋转 变换矩阵是变换矩阵是 r r= =， 则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是xrsrxrsrt tx xt t=0=0。 若对圆锥曲线相对若对圆锥曲线相对( (m m, , n n) )点作旋转点作旋转 角变换，则旋转后角变换，则旋转后 的圆锥曲线是上述的圆锥曲线是上述trtr、r r变换的复合变换，变换后圆锥曲线的变换的复合变换，变换后圆锥曲线的 矩阵方程是矩阵方程是 xtrrsrxtrrsrt ttrtrt tx xt t=0=0。 cossin0 sincos0 001 3.1.3 参数图形几何变换参数

19、图形几何变换 (续续) 圆锥曲线的几何变换 比例变换。若对圆锥曲线相对(m, n)点进行比例 变换，比例变换矩阵为 st=， 则变换后圆锥曲线的矩阵方程是xtrstsstttrtxt=0。 00 00 001 x y s s 3.1.3 参数图形几何变换参数图形几何变换 (续续) 参数曲线、曲面的几何变换 若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点p都 平移t。对平移后的点p*有 p* = p+t 对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵b和代数系数矩阵a，可以直 接实现平移变换，即有 b* = b+t，t = t t 0 0t b*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。 3

20、.2.1 坐标系统坐标系统 1. 世界坐标系(w world c coordinates) 为了描述被处理的对象，要在对象所在 的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长 度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象 的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标 系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手 三维笛卡儿坐标系。 2. 局部坐标系 x y z o 3.2.1 坐标系统坐标系统（续）（续） 3. 观察坐标系(v view c coordinates) 产生三维物体的视图，必须规定观 察点(视点)和观察方向。 好比照相时选择拍摄的位置和方向。 左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标 系的原点通常设置在观察点(

21、视点)，z轴作 为观察方向。 右手笛卡儿坐标系：视点确定在z轴 上的某一个位置，z轴仍为观察方向(下图)。 x y z o x y z o 视点 视点 3.2.1 坐标系统坐标系统（续）（续） 4. 设备坐标系(d device c coordinates) 与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。 例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左 上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在 左下角。 5. 规格化设备坐标系(n normal d device c coordinates) 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟 设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是

22、按照一种虚拟设 备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0x1， 0y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换规格化变换与设备坐标变换 规格化变换规格化变换 从窗口到视区的变换，称为规格化变换从窗口到视区的变换，称为规格化变换(normalization (normalization transformation)transformation)。 x y o w(窗口) x y o v(视图区) wxlwxr wyb wyt vxlvxr vyb vyt (wx,wy)(vx,vy) 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换规格化变换与设备坐标变换 (续续) 规

23、格化变换 vx vxl wx wxl 由两图的比例关系： vxr vxl wxr wxl vy vyb wy wyb vyt vyb wyt wyb 可得： vxr vxl wxr wxl vyt vyb wyt wyb = = vx = ( wx wxl ) + vxl vy = ( wy wyb ) + vyb 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换规格化变换与设备坐标变换 (续续) 窗口操作 视野的变化(zooming)。 摇镜头(panning)。 多重窗口(multiple window)。 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换规格化变换与设备坐标变换 (续续) 从规格化坐标(ndc)

24、到设备坐标(dc)的变换 通常采用的公式 xdcsxxndcdx，ydcsyyndcdy 方向的考虑 对设备坐标中像素中心的变换 3.2.3 投影变换投影变换 投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可 描述为project(object(x, y, z)object(x, y) 投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。 按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法： 平行投影(parallel projection)。 它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。 透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中 心产生的放射投影线，将三

25、维对象投影到投影平面上去。 投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为无限 投影中心与投影平面之间的距离为有限投影中心与投影平面之间的距离为有限 根据投影 方向与投 影平面的 夹角 根据投影 平面与坐 标轴的夹 角 3.2.3 投影变换投影变换 (续续) 1 1 平行投影平行投影- -正交平行投影正交平行投影(orthographic p. p.) 正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该 坐标轴的方向一致。坐标轴的方向一致。 正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实 物保持一

26、致，因此，常用于工程制图。物保持一致，因此，常用于工程制图。 y x z 主视图主视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 10 0010 0000 0001 11 zx tbta zyxwvu 10 0000 0010 0001 11 yx tbta zyxwvu 俯视图： 10 0010 0001 0000 11 zy tbta zyxwvu 3.2.3 投影变换投影变换 (续续) 2 平行投影-斜交平行投影(oblique p. p.) 投影线与投影平面成交角 投影平 面法向 投影方向 投影平面 (a)斜等测(b)斜二测 7-16 斜平行投影 p o p 投影方向 投影平面 p o p 投影平 面

27、法向 3.2.3 投影变换投影变换 (续续) 3 透视投影变换 3.2.3 投影变换投影变换 (续续) 3 透视投影变换 3.2.3 投影变换投影变换 (续续) 3 透视投影变换 设投影中心在坐标原点，投影面与 z 轴垂直，在 z = d 的 位置。点 p( x, y, z )在投影面上的投影为 p ( xp, yp, d )。 xp x yp y d z d z x z y z = , xp = yp = d d z x y o p(x,y,z) p d y z p p o oz p p d 3.3.1 二维图元输出二维图元输出 图元是图形软件用语组织和操作画面的基本素材。 常用图元有 line,polyline,text,fillarea,polymarker,move,cell array,circle. 图元命令包括：输出图元命令 图元性质定义命令 (1)move (x,y) (2)line(x,y) (3)polyline(n,x_array,y_array) 3.3.1 二维图元输出二维图元输出 用户定义的二维图元的窗口区到视图区的输出过程如下所示： 应用程序得到的坐标(uc)对窗口区进行裁剪(wc) 窗口区到视图区的规格化变换(ndc) 视图区的规格化坐标系到设备坐标系的变换(dc) 调用基本图元生成算法在图形设备上输出图形 3.3.2 输