2018年浙江省杭州高级中学高考数学仿真试卷

1、2018 年浙江省杭州高级中学高考数学仿真试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 40.0分）1.已知集合 P= xN|0 x 3， Q= x|x2 -1 0 ，则 PQ=（）A. 1，3B. （1， 3C. 2 ，3D. 1 ，2， 32.f x）=12），则函数f（x2）的定义域是（）已知函数 （的定义域为（ ，A. （ 1，2）B. （1，4）C. R22D. （-， -1） （1， ）3.）已知 p：直线 y=2x+m 与圆 x +y =1 至少有一个公共点， q：m ，则 p 是 q 的（A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不

2、必要条件4.已知实数 x， y 满足 lnx ln|y|，则下列关系式中恒成立的是（）A.B. 2x 2yC.D.（）x（ ） ysinx siny5.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a2=b2+c2 -bc，且 sinB=cosC，则下列结论中正确的是（）A. A=B. c=2 aC. C=D. ABC 是等边三角形6.若（2x+1） 5=a0+a1（ x+1）+a2（ x+1 ） 3+a4（ x+1） 4+a5（ x+1 ） 5，则 a4=（）A. -32B. 32C. -80D. 807.若正数 x， y 满足 x2+2 xy-1=0，则 2x+

3、y 的最小值是（）A.B.C.D.8.已知实数x， y 满足，则 xy 的最大值是（）A.B.C.4D.9. 已知函数 f（ x）满足： f（ 1-x） =f（ 1+ x），且当 x1时， f（ x）=x2+a（ aR），若存在实数 t0， 1，使得关于 x 的方程 |f（x） |=t 有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是（）C. （D. （A. （-2， ）B. （，）， ），1- 1- -2- 110. 在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD沿BDC位置，且使得三棱锥 C1-ABD 体积最大，则 AD 长为（）翻折到 1BD第1页，共 18页

4、A. 2B.C. 3D. 4二、填空题（本大题共7 小题，共42.0 分）11. 若复数 z 满足12. 已知等差数列其前 n 项和为z（ 1+ i） =3- i，则 z 的虚部是 _， |z|等于 _ an 中，a1+a3=7，设其前 n 项和为 Sn，且 S4=S6，则其公差d=_，Sn 取得最大值时n=_13.一个盒子中有大小形状完全相同的m 个红球和6 个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球， 设摸到红球的个数为X，若 EX=3 ，则 m=_，P（ X=2）=_14.已知某几何体的三视图的外围都是边长为1cm 的正方形， 如图所示， 则该几何体的表面积是 _cm2，体积是

5、_cm315.已知双曲线 - =1的两个焦点为 F 1，F 2，以 F2 为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点 P，若PF2 的中垂线过原点，则离心率为 _16.记 min a，b=，已知向量 ， ， 满足 | |=1，| |=2，且 ? =1，若 = +（ ， 0，且 +2=1），则当 min ? ， ? 取最大值时， | |=_17.若关于 x 的不等式（ x2-a）（ 2x+b）0在（ a， b）上恒成立，则2a+b 的最小值为_三、解答题（本大题共5 小题，共74.0 分）18.已知函数 f（ x） =sinx（ sinx-cosx）（ xR）（ ）求函数 f（ x）的最小正周期及

6、最大值；（ ）若 x0， ，求 f （x） =1 的所有根的和第2页，共 18页19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为边长为 2 的菱形， ADC=60 ， PCCD， E为 PC 的中点， PC=1， PA=（ ）求证： PABDE ；（ ）求直线BE 与面 PBD 所成的角的正弦值20. 已知函数 f（ x） =ln （ 1+ex） -2x， g（x） =ex（ ）求 f（ x）的单调区间；（ ） F （ x）=f （x） +g（x），记 M=F（ x） min，求证： M 21. 已知椭圆 C： + =1（ m 为常数且 m 2）与直线 l： ax+by=1 有且只有一

7、个公共点P，a， bR（ ）当点 P 的坐标为（ 2， 1）时，求直线 l 的方程；（ ）过椭圆 C 的两焦点 F1，F 2 作直线 l 的垂线，垂足分别为 A，B，求四边形 ABF 2F 1面积的最大值（用m 表示）第3页，共 18页22.已知无穷数列 an 满足： a1=a，an+1=2an-（ ）若 a=2（ 1）求证： 2n-1+1 an（ ） n-1+1 ；（ 2）数列 bn 的前 n 项和为 Sn 且 bn=-，求证： 1-（ ） n Sn 1；（ ）若对任意的nN* ，都有 an0，写出 a 的取值范围并说明理由第4页，共 18页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：集合 P=x

8、 N|0x3=0，1，2，3 ，2P Q=2，3 故选：C先求出集合 P、Q，由此能求出 PQ本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 D【解析】【分析】由已知函数的定 义域可得 1x2 2，求解不等式组得答案本题考查函数的定 义域及其求法，关 键 是掌握 该类问题 的求解方法，是基 础题 【解答】解：数 f（x）=的定义域为（1，2），由 1 x22，得-x -1 或 1 x 即函数 f（x2）的定义域是（-，-1）（1，）故选：D3.【答案】 A【解析】解：p：直线 y=2x+m 与圆 x2+y2=1 至少有一个公

9、共点，1，解得- mq：m，则 p 是 q 的充分不必要条件故选：A线与圆2 2至少有一个公共点，可得1，解得mp：直 y=2x+mx +y =1范围即可得出 结论第5页，共 18页本题考查了直线与圆的位置关系、点到直 线的距离公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题4.【答案】 B【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性 质,由已知得 xy, 然后利用指数函数的性质即可求解 .【解答】解 : 根据足 lnx ln|y|，可得 x|y|，x y，2x 2y.故选 B.5.【答案】 D【解析】解：在ABC 中，由a2=b2+c2-bc，那么 cosA=

10、 ，A=60 sinB= cosC，sin（120-C）=cosC可得：cosC+sinC=cosC即 tanC=C=60ABC 是等边三角形故选：D利用余弦定理没 课求解出 A ，根据 sinB=cosC，利用三角形内接和即可求解 B，C 即可判断本题考查 了余弦定理的 应 用，考查 了推理能力与 计 算能力，属于基础题 6.【答案】 C【解析】55（x+1）+a（x+13（x+14（x+152x+1）=-1+2（x+1）+a5），解：（） =a0+a12+a4则 a4=-?24=-80，第6页，共 18页故选：C-1+2（x+15x+1）+a（x+13（x+14（x+15），利用二项展开式

11、的） =a0+a1（2+a4+a5通项公式，求得 a4 的值本题主要考查二项式定理的 应用，二项展开式的通 项公式，二项式系数的性质，属于基础题7.【答案】 D【解析】解：正数x，y 满足 x2+2xy-1=0，y=0，0x1，2x+y=2x+=2x+-x= x+2=，当且仅当 x=时，即x=时取等号，故 2x+y 的最小值是，故选：D正数x，y 满足 x2+2xy-1=0，可得 y=则2x+y=2x+，利用基本不等，式求出最 值本题考查 了基本不等式的 应用问题 ，考查了运算能力和 转 化能力，属于中档题8.【答案】 A【解析】解：作出实数 x，y 满足对应的平面区域如图：由 z=xy，则

12、y=为双曲线，则z0，y=为要使 z=xy 最大，第7页，共 18页线可得 x2双曲，-6x+2z=0， ，此时z=时，直线与双=36-8z 0曲线在第一象限相切，切点的横坐 标为 x=3，在可行域内，z=xy 对应的双曲线的对称轴为 y=x，此时 z 的最大值为： ，故选：A作出不等式 组对于的平面区域，由 z=xy，则 y=为双曲线，利用数形结合即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，以及双曲线的性质，利用数形结合是解决本题的关键，本题涉及的知 识点较多，综合性较强，有一定的难度9.【答案】 B【解析】解：因为函数 f（x）满足：f（1-x）=f（1+x），所以函数的 图象关于 x=1 对

13、称，当 a=1时，函数 y=f （x）=x2+11，存在实数t0 ，1 ，使得关于 x 的方程 |f（x）|=t 有且仅有 2 个不等实根，排除 D，当 a=-2 时，函数 y=f （x）=x2-2-2，函数 y=|f（x ）|的图象如图：存在实数 t0，1，使得关于 x 的方程 |f（x）|=t有且仅有 4 个不等实根，成立，排除 A，C故选：B本题是选择题，可以采用特殊值验证法判断选项即可本题考查根的个数的 应用和数形 结合思想的 应用数形结合的应用大致分两第8页，共 18页类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来 讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直 观性，形象性来揭示数之

14、 间的某种关系，用形作 为探究解题途径，获得问题结果的重要工具10.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了空间线面位置关系、三棱锥体积计算公式、余弦定理的 应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档 题由已知求得三角形直角 边长，设 AD=x （0x 5），则 CD=C1D=5-x，把三棱锥 C1-ABD 体积用含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最 值【解答】图为等腰直角三角形，且斜边AC=5则AB=BC=，解：如 ，ABC，设 AD=x （0x5），则 CD=C1D=5-x，则 BD=要使三棱 锥 C1-ABD 体积最大，则平面 C1BD 平面 ABC ，再设 C1

15、到平面 ABC 的距离为 h，则，可得 h=三棱 锥 C1-ABD 体积 V=当 x=时，-x2+5x 有最大值，有最小值，此时 V 有最大值为第9页，共 18页AD 长为故选 B11.【答案】 -2；【解析】解：z（1+i）=3-i，z=，z 的虚部是 -2；|z|=故答案为：-2；把已知等式 变形，利用复数代数形式的乘除运算化 简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数模的求法，是基 础题12.【答案】 -1； 5【解析】【分析】本题考查了等差数列的通 项公式与求和公式、不等式的解法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题设等差数列 a n 的公差为 d，利用等

16、差数列的通 项公式、求和公式可列关于出a1 和 d 的方程，解方程求出 a1，d，最后解得 n【解答】解：设等差数列 a n 的公差为 d，a1+a3=7，2a1+2d=7，即a1+d= ， 4a，即2a1+9d=0，S4=S6 1+d=6a1+d联立 解得：a1=，d=-1an=-（n-1）=-n令 an=-n0，解得 n5第10 页，共 18页其前 n 项和为 Sn 取得最大 值时 n=5故答案为 -1；513.【答案】 9；【解析】【分析】本题考查了二项分布列的 计算公式与数学期望，考 查了推理能力与 计算能力，属于中档 题由题意可得：5=3，解得 m=9,每次摸出 红球的概率 q= ，

17、X B,即可得出 P（X=2 ）【解答】解：由题意可得：5=3，解得 m=9每次摸出 红球的概率 q=，XBP（X=2）=故答案为 9；14.【答案】；【解析】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥：由题意可知正方体的棱 长为：1cm，正四面体的棱长为cm，则该几何体的表面 积是=2（cm2）；体积是：13-= （cm3）故答案为：2； 如图该几何体是正方体的内接正四棱锥视图所示，利用三的数据求解几何体的表面 积与体积即可第11 页，共 18页本题考查了正方体的内接正四棱 锥，考查了推理能力与 计算能力，属于基本知识的考查15.【答案】【解析】解：双曲线-=1 的两个焦点 为 F1，F2

18、，以F2 为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点 P，则OPF2，是等腰三角形，PF2 的中垂线过原点，三角形是正三角形，则P（，），可得：，可得 e2-，e 1即 e4-8e2+4=0，e2=4+2解得 e=故答案为：利用已知条件求出P 的坐标，代入双曲线方程求解双曲 线的离心率即可本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及 计算能力16.【答案】 1【解析】解：向量，满足|=1，|=2，且?=1，可得 cos，=，=60，可设=（1，0）， =（1，），=（ ，），若 = + （，0，且+2=1），即有 ， ，的终点共线，设 =（x，y），可得y=-（x-1），（x1），可得 mi

19、n?，?=minx ，3-2x=x ，当 min?，? 取最大值 1，可得|=1，故答案为：1运用向量数量 积的定义可得，=60，可设=（1，0）， =（1，），=（ ，），运用向量共线定理和新定 义、直线方程，即可得到所求 值第12 页，共 18页本题考查向量共线定理的运用，以及向量的数量 积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题17.【答案】 0【解析】解：关于x 的不等式（x 2-a）（2x+b）0在（a，b）上恒成立，当 a0 时，f（x ）=（x2-a）（2x+b）的三个零点分别为 ，- ，用数轴穿根法画出 图象，如图所示；则 f（x）0在（a，b）上恒成立，2a+b a0；当 a0时

20、 ，x2-a0恒成立，f（x）0时只需 2x+b0恒成立，又 x（a，b），2a+b0；2a+b的最小值为 0故答案为：0设 f（x）=（x2-a）（2x+b），x（a，b），讨论 a0 和 a0时，f （x）0在 x（a，b）恒成立，求出2a+b的最小值 本题考查了不等式在某一区间上恒成立的应用问题题，是中档 18.【答案】 解：（ ）函数 f（ x） =sinx（ sinx-cosx）=sin 2x-sinxcosx=- sin2x=-sin（ 2x+ ）， xR；函数 f（ x）的最小正周期为T=，当 sin（2x+）=-1 时， f（ x）取得最大值为；（ ） x0，时， 2x+ ，

21、，令 f（ x） =1，得 sin（ 2x+ ）=- ，2x1+ +2x2+ =2 =3， x1+x2= ，第13 页，共 18页f（x） =1 的所有根的和为【解析】（）化函数f（x）为正弦型函数，求出 f （x）的最小正周期和最大值；（）根据x0 ，时 f （x）=1，结合三角函数的 对称性求得 f（x）=1 时所有根的和本题考查了三角函数的 图象与性质的应用问题，是基础题19.【答案】证明：（1）连结 AC，交 BD 于 O，连 EO，则 EOPA，PA? 面 BDE ，EO? 面 BDE ，PABDE 解：（ ）取 AB 的中点 F，连 PF，FC ，作 PH CF ，由 AC=CB，

22、得 ABPF ，ABFC，PF FC =F ，AB面 PFC ， ABPH， PH面 ABC ，在 PAB 中， PA=PB= ， PF= ， PH=，由 Vh=，P- BDC=VC-PBD ，得点 C 到面 PBD 的距离为则 E 到面 PBD 的距离为 d= ，在 PBC 中，得到 EB=，设直线 BE 与面 PBD 所成的角为 ，则 sin = =，直线 BE 与面 PBD 所成的角的正弦值为【解析】（1）连结 AC ，交BD 于 O，连 EO，则 EOPA 由此能证明 PABDE （）取AB 的中点 F，连 PF，FC，作 PHCF，推导出 AB PF，AB FC，从而AB 面 PFC

23、，AB PH，PH面 ABC ，由V P-BDC =V C-PBD ，得点C 到面 PBD 的距离为 h=，E 到面 PBD 的距离为 d=，在PBC 中，得到 EB=，由此能求出直 线 BE 与面 PBD 所成的角的正弦 值本题考查线面平行的证查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、明，考第14 页，共 18页线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.【答案】 解：（ ），f（x）单调递减区间是（ - ， +），无单调递增区间（ ）证明： F （x） =f（ x） +g（ x） =ln （ 1+ex） -2x+ex，F （ x）=+ex=，当 x

24、时， F（ x） 0， F（ x）单调递减，当时， F（ x） 0， F（ x）单调递增，M=Fx）min=ln （ 1+ ） -2ln+ =+ ，（因此： M【解析】本题考查了利用导数研究函数的 单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（），即可得出单调性（）F（x）=f（x ）+g（x）=ln（1+ex）-2x+ex，可得 F（x）=+ex=单调性可得 M=F （x）（），即可得出，利用min =F21.【答案】 解：（ ） 点 P（ 2，1）在椭圆 C： +=1（m 为常数且 m 2）上，=1，解得m=8，联立，得：（ b2+4） x2-8ax+4-8b2=0，此

25、方程有且只有一解x=2 ，解得a= ， b= ，直线 l 的方程为： x+2 y-4=0 （ ）联立，得：（ 2b2+a2m）x2-2amx+m-2b2m=0 ，22222，由 =4 a m -4（ 2b +a m）（ m-2b m） =0，得由 a2 0，得 0 b2，第15 页，共 18页原点 O 到直线 l： ax+by=1 的距离 d=， |AF 1|+|BF2 |=2d，线段 F1F2 在直线 l： ax+by=1 上的投影长：|AB|=|F1F2|?=2?，四边形 ABF 2F1 的面积为：S=2?=2?，?把代入可得： S=2?，令 f（ x） =（ m-2） x+ ，（ 0 x ），由函数的单调性可知：（ ）当 m4时， ABF 2F 1 的面积 S 的最大值为 m；（ ）当 2 m 4 时， ABF 2F1 的面积 S 的最大值为 2（ 10 分）【解析】本题考查直线方程的求法，考查椭圆线线的距离公式等基、直 方程、点到直础知识查查函数与方程思想，是中档题，考 运算求解能力，考椭圆C：+=1（m为常数且 m联（）由点P（2，1）在2）上，得m=8， 立222b（x=2，列，得