2020版高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程课件 文

1、第八节第八节函数与方程函数与方程 1.函数零点的定义 2.函数零点的判定（零点存在性定理） 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 教教 材材 研研 读读 考点一 函数零点所在区间的判断 考点二 判断函数零点的个数 考点三 函数零点的应用 考考 点点 突突 破破 教材研读 1.函数零点的定义函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y= f(x)有零点 . 2.2.函数零点的判定函数零点的判定( (零点

2、存在性定理零点存在性定理) ) 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 0=00)的图象 与x轴的交点(x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数两个 一个 无 4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算 f(x1) : (i)若 f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点; (ii)若 f(a)f(x1)0 ,则令b=x1(此时零点x0(

3、a,x1); (iii)若 f(x1)f(b)0 ,则令a=x1(此时零点x0(x1,b). 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则, 重复第二、三、四步. 知识拓展知识拓展 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零 点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. (4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. (5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象

4、与x轴的交点.( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0. ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0; f(1)=2,f(2)=5,f(1)f(2)0; f(-2)=-, f(-1)=-,f(-2)f(-1)0; f(0)=1, f(-1)=-,f(0)f(-1)0, 易知-1,0符合条件,故选D. 35 9 2 3 2 3 D 5.函数f(x)=ex+3x的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案答案 B函数f(x)=ex+3x在R上是

5、增函数, f(-1)=-30, f(-1)f(0)0, 函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B. 1 e B 6.若函数f(x)=ax+b有一个零点,是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是 . 答案答案0,- 1 2 解析解析由题意知2a+b=0,则b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x=-,所以 g(x)的零点为0,-. a b 1 2 1 2 函数零点所在区间的判断 考点突破 典例典例1(1)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)() A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点

6、D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 1 3 1 ,1 e 1 ,1 e 1 ,1 e 1 ,1 e D (2)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点 分别位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内 答案答案(1)D(2)A A 解析解析(1)解法一:令f(x)=0,得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如 图, 显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.故选D. 1 3 1 3 1 ,1 e 解法二:当x时,函数

7、图象是连续的,且f (x)=-=0,f(1)=0,f(e)=e-10,所以函数 有唯一的零点在区间(1,e)内.故选D. (2)ab0, f(b)=(b-c)(b-a)0, 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间 (a,b),(b,c)内,故选A. 1 ,e e 1 3 1 x 3 3 x x 1 ,e e 1 e 1 3e 1 3 1 3 方法技巧方法技巧 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是 否落在给定区间上.

8、(2)图象法:把方程转化为两个函数,看它的交点所在区间. (3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 否连续,再看是否有f(a)f(b)f(0)=0,g=f=, 由图象关系(图略)可得x00),y2=ln x(x0)的图象,如图所示: 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. (2)由已知,得lg x=4-x,10 x=4-x.在同一平面直角坐标系中作出y=10 x,y=lg x 以及y=4-x的图象,其中y=10 x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y =4-x的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)=当x0时,由x2+ 4x+

9、2=x,得x=-1或x=-2;当x0时,x=2,所以方程f(x)=x的解的个数是3. 2 42,0, 2,0. xxx x 方法技巧方法技巧 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点; (2)零点存在性定理; (3)利用图象交点的个数. 特别地,若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数 的图象有几个交点问题,数形结合求解. 2-1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 2 x 1 2 x 答案答案 B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|= 的根的个数函数y1=|log0.5x

10、|与y2=的图象的交点个数.作出两个函 数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B. 1 2 x 2-2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时, f(x)=x,则 函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是() A.8 B.4 C.3 D.2 B 答案答案 B由题意知, f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的大致图象,如图. 观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点. 函数零点的应用函数零点的应用 命题方向一根据函数零点个数求参数命题方向一根据函数零点个数求参数 典

11、例典例3已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是() A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+) e ,0, ln ,0, x x x x 答案答案 C C 解析解析令h(x)=-x-a, 则g(x)=f(x)-h(x). 在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的大致图象,如图所示. 若y=g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y= h(x)的图象,可知 当直线y=-x-a过点(0,1)时,两图象有2个交点, 此时1=-0-a,a=-1. 当y=-x-a在y=-x+1上方,即a

12、-1时,两图象有2个交点, 符合题意. 综上,a的取值范围为-1,+).故选C. 命题方向二根据函数零点的范围求参数命题方向二根据函数零点的范围求参数 典例典例4函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围 是() A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 2 x C 答案答案 C 解析解析因为函数f(x)=2x-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-a的 一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,所 以0a1时,函数图象与直线y=m有交点,即函数g(x)=f(x)+ x-m有零点. ,0, e,0 x x x