数列知识点总结及题型归纳

1、数列一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第 2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：印,a2, a3,an ,，简记作。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3,-1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。(2) 通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么 这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,数列的通项公式是 an = n( n

2、 7, n N ),1数列的通项公式是 an= - ( n N)。n说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式;1 n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=(k Z);1, n 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N (或它的有限子集) 的函数f (n)当自变量n从1开始依次 取值时对应的一系列函数值 f(1), f (2), f(3

3、),f(n),通常用 an来代替f n，其图象是一群孤立点。例：画出数列an 2n 1的图像.(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之 间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6，(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：anS (n 1)Sn Sn 1(n 2)例：已知数列an的前n项和Sn 2n2 3，求数列a.的

4、通项公式练习：1 根据数列前4项，写出它的通项公式:(1)(2)(3)1, 3, 5, 7,22 1211*29, 99,32 1312*342 1413*4521 .514*5 999, 9999(5) 7, 77, 777, 7777,(6) 8, 88, 888, 88882 12数列an中，已知an - 口（n N ）3(1)与出 Q, a2, a3, an 1 ,；（2）79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33. （2003京春理14,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白）内。4、由前几项猜想通项

5、:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写 出点数的通项公式.5.观察下列阅读下面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多）,其通项公式为(7).A. 40 个 B . 45 个 C . 50 个尺徑、等列题型一、等差数列定义：一般地, 数，那么这个数列就叫等差数列， 式表示，为，a“ tan 1 d（n 2）n 2n 1 , 差数列的通项公式：(.55个2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母叫噪直线相d（n 1）。an an 1交,最多有1）d;交，最多有A P数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d

6、 0为式表示为直线相“ 1例：等差数列a题型二说明：等差数列（通常可称为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于（）表示。用递推公4条直线相A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a11，公差d3的等差数列,如果an2005，则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 6703.等差数列an 2n增数列”或“递减数列”) 题型三、等差中项的概念：1,bn 2n则an为bn为(填“递定义：如果a， A，b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa,A,b成等差数列例：1. (06全国I )设anA 口2

7、是公差为正数的等差数列,即：2an 1 anan 2(2anan m若a1a2a315,a2 a380，A. 120.105C.90.752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48，则它的首项是()题型四、等差数列的性质:(1) 在等差数列 an(2) 在等差数列 a中,中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列 an中,对任意m , n N , anam(n m)d， d(4)在等差数列an中，若 m , n , p ,q，贝9 amana p aq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式:n an)Sn3d

8、丄n2 (a12 2(Sn An2 Bn(代B为常数)a.是等差数列递推公式：Sn (a1 an)n (am an(m1)n235例：1.如果等差数列(A) 142. （2009湖南卷文）中，a3 a4 as(B) 21Sn是等差数列12，那么82a7(C) 28(D)的前n项和，已知a2a6 11 ,则S7等于（）A. 13.35.49633. （2009全国卷I理）设等差数列的前n项和为Sn，若S972 ,则a? a4 a9 =4. （2010重庆文）（2）在等差数列an中，a1 a9 10，则as的值为（）（A） 5（ B） 6（C） 8（ D） 105. 若一个等差数列前3项的和为34

9、,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有（）项项项项6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S12 21, 贝V a2 a5 as an 7. （ 2009全国卷U理）设等差数列an的前n项和为Sn，若氏5氏则nS5 8 . （ 98全国）已知数列 bn是等差数列，b1=1，4+32+4。=100.（I）求数列 bn的通项bn；D.9. 已知an数列是等差数列，a10 10，其前10项的和S 70，则其公差d等C.10. （2009陕西卷文）设等差数列an的前n项和为Sn,若a6 S3 12,则an11. （00全国）设 an为等差数列，Sn为数列 an的前n项和，已知 S

10、 =7, S5 = 75, T；为数列空的前n项和，求Tn。n12. 等差数列3n的前n项和记为Sn，已知310 30, 320 50求通项3n ;若Sn =242，求n13.在等差数列an中，（1 ）已知S8 48,S12 168,求印和d ； （ 2 ）已知 a610, S55,求和 S ; （3）已知 a3 知 40,求 $7题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd ; 鱼 旦;$禺 an 1（2） 若项数为奇数，设共有2n 1项，则S奇S偶an a中； 鱼 。S偶n 1 题型七.对与一个等差数列，Sn , S2n Sn , Ssn S?n仍成等差数列。

11、例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）2. 一个等差数列前 n项的和为 48，前2 n项的和为 60，则前3n项的和为。3. 已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和4.设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14, S10 S7 30,则S9=5. （06全国II ）设Sn是等差数列 an的前n项和,若色=1，则鱼3S12S6A. 3B1C110.3.8D.题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法：an 1 an d（常数）（nN ） an是等差数列 中项法：2an 1 an an 2 （ n N ）an

12、是等差数列 通项公式法：an kn b （k,b为常数） an是等差数列 前 n 项和公式法：Sn An2 Bn （A,B为常数） a.是等差数列例：1.已知数列an满足an am 2，贝V数列为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2. 已知数列an的通项为an 2n 5,贝V数列a.为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断3. 已知一个数列an的前n项和sn 2n2 4，贝V数列an为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断4. 已知一个数列an的前n

13、项和sn 2n2,贝V数列an为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断5. 已知一个数列an满足an 2 2an 1 an 0 ,贝y数列an为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断6. 数列 an 满足 a1=8， a4 2，且 an 2 2an 1 an 0 （ n N ） 求数列 an 的通项公式；7. （01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，贝Uan是（）A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

14、题型九 . 数列最值（1）ai 0，d 0时，Sn有最大值；ai 0，d 0时，Sn有最小值；（2） Sn最值的求法：若已知 Sn， Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；可用二次函数最值的求法（nN ）;或者求出 耳中的正、负分界项,即:an 0 或 an0an 10an 10若已知an，则Sn最值时n的值（n N ）可如下确定例：1.等差数列an中，ai 0, S9 S12，则前项的和最大2 .设等差数列an的前n项和为Sn，已知 求出公差d的范围， 指出Si，S2， ，S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （02上海）设 an （n N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5

15、vS， s s,贝y下列结论错误.的是（）v 0= 0 S5与S?均为Sn的最大值4已知数列an的通项n 98 （ n N ）,则数列a.的前30项中最大项和 n （99最小项分别是5. 已知an是等差数列，其中ai 31，公差d 8。（1）数列an从哪一项幵始小于0?（2） 求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.6. 已知an是各项不为零的等差数列，其中a1 0,公差d 0，若0,求数列an前n项和的最大值.7. 在等差数列an中，a1 25 , S17 S9，求Sn的最大值.题型十.利用anS1（n 1）求通项.Sn Sn1 （n 2）1. 数列an的前n项和Sn n2 1 .

16、（1）试写出数列的前5项；（2）数列an是等差数列吗？（ 3）你能写出数列an的通项公式吗?2 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1则3. 设数列an的前n项和为S=2n2，求数列a.的通项公式；4. 已知数列an中，a!3,前n和&-(n 1)佃 1) 1 求证：数列an是等差数列 求数列an的通项公式5. (2010安徽文)设数列an的前n项和& n2，则a*的值为()(A 15(B) 16(C) 49( D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那么这个数列就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母

17、q表示(q 0)，即：an 1 :an q(q 0)。一、递推关系与通项公式1. 在等比数列 an中，a1 4, q 2，则an 2. 在等比数列 an中,a7 12,q 逅，则a19 .3. (07重庆文)在等比数列an中，a2= 8，a匸64,则公比q为()(A) 2( B) 3( Q 4( D) 84. 在等比数列an中，a22，as 54，则a*二5. 在各项都为正数的等比数列an中，首项ai 3，前三项和为21,则a3a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b ac，注：b2 ac是成等比数列的必要而不

18、充分条件例：1. 2.3和2.3的等比中项为()2. (2009重庆卷文)设an是公差不为0的等差数列，& 2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=()5n3C.n2 n三、等比数列的基本性质,1. ( 1)若m n p q，贝V amaPaq (其中 m, n, p,q N(2)n m an2q， an an m aa m(n N )(3)an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4)an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列1 .在等比数列an中，ai和aio是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a72. 在等比数列 an，已知a1 5 , aga

19、100，则a求an若Tnlg a1 lg a2lg an,求Tn4.等比数列an的各项为正数，且玄5玄6玄4玄718,则 log3 a1log 3 a2Llog 3 a10()A.12B. 10C . 8 D .2+log355.(2009广东卷理)已知等比数列an满足 an0,n 1,2丄，且a5 a2n 52(n 3)则当n 1时，log 2 a1 log 2 a3 Llog 2 a2n 1()A.n (2 n 1)B.(n 1)2C.n2a6D.( n 23.在等比数列an中，a133， a3a432，anan 12.前n项和公式例：1.已知等比数列an的首相a15 ,公比q 2，则其前

20、n项和Sn2. 已知等比数列an的首相ai 5 ,公比q -，当项数n趋近与无穷大时，2 其前n项和Sn 3. 设等比数列an的前n项和为Sn，已a2 6, 6a1 a3 30，求an和Sn4. (2006 年北京卷)设 f(n) 2 24 27 210 L 23n 10 (n N)，则 f(n)等于 ()A. 2(8n 1)B. -(8n 1 1) C . -(8n3 1) D . -(8n 4 1)77775. (1996全国文，21)设等比数列 an的前n项和为S，若S+2S， 求数列的公比q；6. 设等比数列an的公比为q，前n项和为S，若S+1,Sn，S+2成等差数列，则q的值为3.

21、若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.如下图所示：S6例：1. (2009辽宁卷理)设等比数列 an的前n项和为Sn，若S3=3，则S6 =78A. 2 B.3 C. 32. 一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为()A. 83 B . 108 C . 75 D . 633. 已知数列an是等比数列，且Sm 10, S2m 30,则S3m 4.等比数列的判定法(1)定义法:也q (常数)an为等比数列;an(2)中项法：an / an an 2(an 0)an为等比数列;（3） 通项公式法：an k qn

22、（k,q为常数）an为等比数列；（4） 前n项和法：Sn k（1 qn） （k,q为常数）an为等比数列Sn k kqn （k,q为常数） an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n，贝y数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D无法判断2.已知数列an满足an12 an ar1 2（an 0），贝y数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D无法判断3.已知一个数列afJ的前n项和Sn2 2n 1，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D无法判断5.利用anS(n求通项.SnSn 1(n2

23、)例：1. （2005 北京卷）数列an的前 n 项和为 Sn, 且 ai=1, an 1 -Sn, n=1,32, 3, ，求a2, a3, a4的值及数列an的通项公式.2. （2005山东卷）已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn ,且Sn 1 Sn n 5（n N*），证明数列a. 1是等比数列.四、求数列通项公式方法（1）.公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 ay 26,求an ；2.已知数列an满足a1 2, an an 1 1（n 1），求数列an的通项公式；3. 数列an满足a1 =8,a42,且 an22an 1a

24、n0 （ n N ）,求数列an的通项公式；4. 已知数列an满足a1 2,丄 丄 2，求数列a.的通项公式； an 1 an5.设数列a.满足务0且 1 an 11 an1，求an的通项公式6. 已知数列an满足an 1 2?J,a1 1，求数列a.的通项公式 an 27. 等比数列an的各项均为正数，且2a1 3a? 1 , as 9a2a6，求数列an的通项公式8. 已知数列an满足a1 2, an 3an 1(n 1)，求数列an的通项公式；9. 已知数列an满足a12,a?4且an2anan1( n N )，求数列a“的通项公式；10. 已知数列an满足a12,且an15n125n)

25、( nN)，求数列an的通项公式；11. 已知数列an满足 a12,且 an152n 123(an 52n2) ( n N )，求数列an的通项公式；12. 数列已知数列an满足a1右an 4am 1(n 1).则数列k的通项公式=_ (2)累加法1、累加法适用于：an 1 an f (n)a2 a1f (1)若 an 1 anf (n) (n 2)，则as a2 fan 1 anf(n)n两边分别相加得an 1 a1 f(n)k 1例: 1.已知数列an满足a1an 1an14n2 1求数列an的通项公式2.已知数列an满足an1an2n 1，a11，求数列an的通项公式3.已知数列an满足

26、an 1 an1,ai3，求数列an的通项公式。4.设数列an满足a12， a. 1 a3 221，求数列an的通项公式(3)累乘法适用于：an 1 f(n)aan 1anf(n),则亞a1a3f(1),f(2)丄a2an 1anf(n)两边分别相乘得,an 1a1a1k 1nf(k)例：1.已知数列 an满足 an 12(n1)5an, ai3，求数列an的通项公式。2.已知数列3.已知 a13， an 1an满足a133n 1 an 3n 2(nnan，求 an 11)，求 an。(4)待定系数法适用于an 1 qan f(n)解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列an1f (n)，

27、公比为3、列出关系式an 11f(n 1)2an2 f(n)4、比较系数求5、解得数列an1f(n)的通项公式6、解得数列an的通项公式例：1.已知数列an中，4 1,an 2am 1(n 2)，求数列的通项公式。2. (2006,重庆,文,14 )在数列an中，若ai 1 1 2a. 3(n 1)，则该数列的通项a. 3. ( 2006.福建.理22.本小题满分14分)已知数列an满足a11,a. 1 2a. 1(n N*).求数列a.的通项公式；4. 已知数列a.满足a.1 2an 3 5n,印6，求数列an的通项公式。解：设 a. 1x5“12(a. x5打5. 已知数列a.满足a.13

28、a.52“4，31，求数列a.的通项公式。解：设 a. 1x2.1y 3(a.x2“ y)6. 已知数列 a.中，a1 5 , a. 1 - a. (/ 1，求 a.6327. 已知数列a.满足a. 1 2a. 3.2 4. 5，a1 1，求数列a.的通项公式。解：设 a. 1x(. 1)2y(. 1) z 2(a. x.2 y. z)8. 已知数列a.满足a.1 2a. 4 3. 1,印1，求数列a.的通项公式。递推公式为 a. 2 pa.1 qa.(其中p，q均为常数)。先把原递推公式转化为a.sa. 1t(a. 1sa.)其中s，t满足S t pst q9.已知数列a.满足a5a. 16

29、 a., a112，求数列a.的通项公式。(5) 递推公式中既有S.分析：把已知关系通过a.1. S. 1,.Si,.S.2转化为数列a.或S.的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. (2005北京卷)数列an的前n项和为S,且ai=11，an1 3Sn，日，2,3,求a2, a3, a4的值及数列an的通项公式.2.( 2005山东卷)已知数列an的首项a15,前n项和为Sn ,Sn 1Sn n 5(n N*)，证明数列a.是等比数列.3 .已知数列an中，印3,前n和Snai12(n 1)(an 1)求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式4.已知数列an的各项均为正数，且前n项和S

30、n满足S,a2,a4,a9成等比数列，求数列an的通项公式。(6) 根据条件找n 1与n项关系例1.已知数列an中，a1 1, an 1 C ，若Canan七，求数列b通项公式a 1,a2. (2009全国卷I理)在数列an中，1 (1-)ann 12nb 亚(I )设n n，求数列bn的通项公式(7) 倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1.已知数列an满足am 公，印1，求数列务的通项公式 an 2(8) 对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. ( 2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列a.满足ai 1, a. ai 2a? 3a3 L (n 1)a.

31、 i(n 2)，求an的通项公式。2.设数列a.满足a13a?3乜3n1a.- , a N* .求数列a.的通项；3(9) 、迭代法例：1.已知数列an满足an 1 a3(n1)2n, a 5，求数列an的通项公式。解：因为am a：，所以n( n 1)又a1 5,所以数列an的通项公式为an尹2。(10) 、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例：已知数列an满足an 1 2 3n a5，內7，求数列的通项公式。解：因为 an 1 2 3n a；,印 7，所以 a. 0, a. 1 0。两边取常用对数得lg an 1 5lg an nlg3 Ig 22、换元法 适用于含根式的递推

32、关系1 例：已知数列a.满足an 1 (1 4an . 1 24an), a1 1，求数列a.的通项公式16齐1解：令 b .1 24a.，则 a. (b. 1)24五、数列求和1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a a )(1)na1(q 1)Sn 1 亠口 一 dSna1 (1 qn), 八 公比含字母时一定要讨论22- (q 1)1 q(理)无穷递缩等比数列时，S旦1 q例：1.已知等差数列an满足a1 1, a2 3，求前n项和Sn2.等差数列an中，ai=1, a3+a5=14，其前 n 项和 S=100,则 n=(A. 9 B . 10 CD . 123.已知等比数列an满

33、足a1求前n项和Sn4.设 f(n) 2 24 27210 LQn 10,2 (nN)，则f(n)等于()A”) B. 2(8n1 1)2.错位相减法求和：如：C.2(8n731) .|(841)an等差，bn等比，求a1b1a2b2anh的和.例：1 .求和 Sn 1 2x 3x2 L nxn 12. 求和：Sn 1电a a3. 设an是等差数列3n3naa,bn是各项 都为正数的等比数 列，且a1bi1 ,a3 b521 ,85(I)求an , bn的通项公式；(U)求数列旦的tn前n项和Sn .3裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项常见拆项：洁(2n1)(2 n 1)1 12(2n 1数列a是等差数列，数列的前n项和an an 1例：1.数列an的前n项和为Sn ,若an盘，则S等于(5A. 1 B . 5 C6D .302.已知数列an的通项公式为an n(n 1)1 ，求前n项的和;3.已知数列an的通项公式为an