人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷(二)

1、人教版必修4第二章平面向量2020 年单元测试卷 （二）一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）?=(31? ，则锐角 ?为 ( )1. 设2, ?)= (?,)，3 ，且 ?/?A. 30B. 60C. 75D. 452. 下列命题正确的是 ( )A. 单位向量都相等B. 若 ?与 ? 共线， ?与 ?共线，则 ?与 ?共?线?C. 若 | ?+ ?|= | ?- ?| ，则 ?= 0D. 若 ?与 ? 都是单位向量，则 ?= 1?3. 设向量 ?= (? -? 的夹角大于 90，则实数2, ?+ 3) ，?= (2? + 1, ? -2) ，若 ?与 ?m 的取值范围是 ()A.

2、C.4(-3 ,2)4(-2,3)B.D.4(- ,- 3) (2, +)4(- ,2) ( 3 , +)4. 平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，?， ?= (1,3)，则? ? 等= (2,4)? ?于 ( )A. 6B.8C. -8D. -65.已知| ?| = 1，?，则向量 ?与向量?的夹角是 ( )|?| =6?(?- ?)? =?2?A. 6B. 4C. 3D. 26.关于平面向量?，有下列四个命题：?, ?,? 若?/?,? 0，则存在?，使得 ?=；? 若 ?=0，则 ?=0或?= 0； 存在不全为零的实数?，? ；?使得 ?= ?+ ? 若?=?(?- ?)?，

3、则其中正确的命题是 ()A. B. C. D. 7.已知 | ?| = 5，| ?| =3，且?= -12上的投影等于 ()，则向量 ?在向量 ?1212A. -4B.4C. -5D. 5?()8.已知 O、A、 M、 B 为平面上四点，且?= ?+ (1 -，?(1,2)，则?)?A. 点 M 在线段 AB上B. 点 B在线段AM 上C. 点A在线段BM上D.O、 、M、B四点一定共线A9.P 是?内的一点?1? ?)?= 3(?+ ?)，则 ?的面积与 ?的面积之比为 (3A. 2B.3C. 2D. 610. ?中， ?= ?2，?= ?2，若?= ?+ ?，则?+ ?= ( )278D.

4、A. 3B. 9C. 9111. 已知 3 ?+?()4 ?+ 5 ?= 0，且 | ?| =|?| = |?| =1 ，则 ?(?+ ?)? =A. 0B.3C.3D.4- 55-5第1页，共 11页12. 定义平面向量之间的一种运算“”如下： 对任意的?，令 ?= (?, ?),?= (?,?)?= ?-，下面说法错误的是( )? 共线，则 ? ?A. 若 与?= 0B. ?= ? ?C. 对任意的 ?，有 (?) ?= ?(? ?)? 2? 2=2?2D. (? ?) + (?)| ?| ?|二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.?，若向量?与向量 ?= (-4,-7)共线

5、，则 ?=_设向量 ?= (1,2) ，?= (2,3)?+ ? ?的夹角为 120， = 1 ，= 3? =_14.?已知 与?，则 5 ?- ?1?垂直，则直线 l15.2 )，直线 l 过点 ?(3,-1)，且与向量?+ 2已知 ?= (6,2) ，?= (-4,?的一般方程是 _ 16.?(5,1) ，设 M 是直线 OP 上任意一点 (为坐已知向量 ?= (2,1) ，?= (1,7) ，?=标原点 ) ，则 ?的最小值为 _ ?三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17. 如图所示，以向量 ?= ?， ? ? 为边作= ?， ? 表示 ?、?、 ?AOBD?1?1?，又，?

6、，用?= 3= 318. 已知 ?， ? 的夹角为 120，且 | ?| = 4， | ?，求：?|=2? ? ；(1)(? - 2 ?) ?(?+ ?)(2)| ?+ ?|；(3)|3 ?- 4 ?|.19. 已知 ?= ( 3, -1)?13kt2?， ?=， ?= (2,2 ) ，且存在实数和 ，使得 ?= ?+ (? -3) ?2?+?-? ?+ ?，且 ?，试求的最值?第2页，共 11页20. 已知?，?，?，在?上是否存在点M，使 ?，= (2,5)?= (3,1)= (6,3)若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由、?满足 | ?、?的夹角为21. 设两向量 ?21| =

7、 2，|?| = 1，?2121向量 ?1 + ?2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围60，若向量 2? + 7 ?与1222. 已知线段 PQ 过 ?的重心 G，且 P、Q 分别在 OA、OB 上，设 ? ，? ? ，?= ? ?= ?， ?1+1，求证：?= 3=?= ?第3页，共 11页答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】直接利用向量的平行，向量的坐标运算，推出?的三角函数值，求出锐角?本小题考查向量的平行，三角函数的值求角，考查计算能力【解答】解：因为 ?= (3?1? ，2,?，?)= (?,)，?/3?31所以 ?-1，所求角 ?为锐角，23= 0 ，即 ?2?=所以 2?=

8、 90，?= 45 故选 D2.【答案】 C【解析】【分析】本题考点是向量的共线与相等， 属于对基础概念考查的题目， 解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除【解答】解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A 不对；是零向量时，若 ?与? 共线， ? 与 ?共?线，则 ?与 ?共?B 选项对三个非零向量是正确的，若?线不一定成立当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C 选项是正确的若 ?与 ?都是单位向量，则 ?= 1不一定成立，当两者垂直时，数量积为零故选： C3.【答案】 A【解析】解：由

9、 ?与 ? 的夹角大于 90，得到两个向量的夹角的余弦值小于0?，即? ? 0，?所以 (? - 2)(2? + 1) + (? + 3)(? -2) 0 ，整理得 3?2 - 2? - 8 =， 可能?=0，而 |?； ?|cos ?,0cos ?,? 0, |? 0即 ?，且 |?|? 0, |? 0， 该命题错误；| |? 不共线时，便不存在不全为0 的实数 ?， ?使得?， ? 0，且 |? 当?= 0|0，且 ?, ? ， 该命题错误；?= ?+ ? 若 ?= ? ?则 ?- ?= ?(?- ?)? = 0；?(?- ?)?， 该命题正确；正确的命题是 故选 B7.【答案】 A【解析

10、】 解： | ?| = 5， | ?，且?= -12，则向量 ?在向量 ? 上的投影等于 | ?| ?| = 3?-12?= | ?| ?|?|?|=3=-4故选： A?根据投影的定义，应用公式| ?|cos =|? 求解本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用8.【答案】 B【解析】【分析】?将已知等式变形，利用向量的运算法则得到=?，利用向量共线的充要条件得到第5页，共 11页两个向量共线，得到三点共线，据 ?(1,2) ，得到点 B 在线段 AM 上本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线【解答】解： ?=?+(1-即 ? ?= ?，M

11、，B 共线点 B在线段 AM上故选 B9.【答案】 B?)?,?(1,2)?-= ?( ?-)?/?(1,2)【解析】 解：设1? ? ，则 D 是 BC 的中点，2(?+ ?)= ?1?，?= 3 (?+ ?)?2 ? ，?=?3如图，过D 作 ?/?，交 AC 于 E，过 P 作 ?/?，交 AC于 N，交 BC于 M，设 ?在AB边上的高为hAB1，则 ?在边上的高为 3 ?，21 |?|?的面积与 ?的面积之比 = 11= 32 |?|3 ?故选： B1? ?，则 D 是 BC 的中点，由?1? ?2?，设 ?设?(?+ ?)，知 ?=32(?+ ?)= ?= 3?在 AB 边上的高为

12、h，则 ?在 AB 边上的高为 13 ? ，由此能求出 ?的面积与 ?的面积之比三角形面积性质：同 ( 等) 底同 ( 等 )高的三角形面积相等；同 ( 等 ) 底三角形面积这比等于高之比；同 ( 等) 高三角形面积之比等于底之比10.【答案】 B【解析】 解： ? ?，? ?，?= 2= 2?+?，?=+?= 2?，?= 3 ? ?= 3 ?，?= ?+? ? ?，?2 ?+ ?= ?(?+)?+?(2?+ 3?)= (3? + 2?) + 3?43? + 2?=2，?= 93?=11?= 3417?+ ?= ?9 + 3 = 9故选： B2 ? ?由向量的运算法则和题设条件知? ?+?=?

13、(?+)?+?(2 ?+ 3?)=第6页，共 11页(3? + 2?)?+ 3?，所以 3? + 2?= 2 ，由此能得到 ?+ ?的值3?= 1本题考查平面向量的运算，解题时要根据实际情况灵活地运用公式进行求解11.【答案】 B【解析】 解： | ?| = | ?| = | ?| = 1，设向量 ?， ?， ?分别是向量 3 ?， 4 ?， 5 ?的?单位向量，由3?+ 4 ?+ 5 ?= 0， 5 ?构成一个封闭的三角形ABC，向量 3 ?， 4 ?，向量 ?，?= 4?= 3?= 5?根据勾股定理，?是直角三角形，且 ?= 90，cos =- 3，5?，?，?= 0?(?+ ?)? =

14、?+ ?= ?= | ?| ?| ?|? ?cos 3 3= 11(- 5) = - 5故选： B由已知条件推导出向量3 ?，4 ?，5 ?构成一个封闭的三角形ABC ，由勾股定理可得?是直角三角形，且?= 90，展开 ?(?+ ?)?，利用数量积公式求得答案本题考查平面向量数量积的运算，合理地构造三角形，用勾股定理解题是关键，属中档题12.【答案】 B【解析】 解：对于A，若 ?与?共线，则有 ? ?= ?- ?= 0，故 A 正确；对于 B，因为 ? ?= ?- ?，而 ? ?= ?-?，所以有 ? ? ? ?，故选项B 错误，对于 C，(?)? ?= ?- ?，而 ?(? ?)? = ?

15、(?- ?)= ?- ?，故 C 正确，对于D，(?2?2222222)+ (?)= (?- ?)+ (?+ ?)= (? + ?)(? + ?) =| ?|2 | ?|2 ， D 正确；故选： B根据题意对选项逐一分析若?与 ? 共线，则有?= ?-?= 0，故 A 正确；因为 ?，而，所以有?，故选项B错误，? ?= ?-? ? ?= ?-? ?对于C，?，而?，故 C 正确，(?)? ?= ?-? ?(? ?) = ?(?- ?)= ?-?对于D，(? ?2?2222222?)= (?- ?)+ (?+ ?)= (?+ ?)(? + ?) =)+ (?| ?|2 | ?|2 ， D 正确

16、；得到答案本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力13.【答案】 2【解析】 解： 向量 ?=(1,2)?2,2?+ 3) ， ?= (2,3) ，若向量 ?+ ?= (?+又向量?+与向量 ?= (-4,-7) 共线，?(?+ 2) (-7)- (2?+ 3)(-4) = 0 ，?= 2故答案为： 2由已知条件，求出?+? ，利用共线向量的充要条件列出方程，求出?的值?第7页，共 11页本题考查了平面向量的应用问题，解题时按照平面向量的运算法则进行计算，即可得出正确的答案，是基础题14.【答案】 7【解析】【分析】根据数量积的运算把条件

17、代入(|5 ?- ?2化简求值，再开方后就是所要求的向量模|)本题考查了利用向量的数量积求向量的模问题，属于基础题【解答】解：由题意得， (|5 ?- ?|) 2 =2225 ? + ? - 10 ?= 25 + 9 - 10 1 3 ?120= 49， ? ?，|5 ?- ?| = 7故答案为： 715.【答案】 2?- 3?- 9 = 0(6,2) ， ?= (-4,1【解析】 解： 由于 ?=2) 而?+ 2 ?= (-2,3) ，设 ?(?,?)为直线 l 上任意一点， 由向量?+ 2? 垂直与直线 l，得直线 l 的一般方程是 2?-?3?- 9 = 0故答案为： 2?- 3?- 9

18、= 0?1?=(-2,3)，由于直线 l 过点 ?(3,-1)且与向量 ?+ 2 ?由于 ?= (6,2) ， = (-4,2) 而?+ 2垂直，利用条件及直线的方程的定义即可此题考查了向量的坐标的加法运算律，直线的方程及方程的思想求解问题16.【答案】 -8【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的坐标运算及二次函数求最值，是中档题由题意设 ?，则 ?、 ?= ?，利用向量三角形减法法则求得?= (2?,?)的坐标，得到关于?的二次函数求最值【解答】?，则 ?解：由题意设 ?，?，=?=(2?,?)又 ?(1,7)， ?，=?= (5,1)， ?(1 - 2?,7 -=-?=

19、?)=?-?= (5 - 2?,1 - ?)?=(1 -2?,7 - ?)?(5 -2?,1 -?)=(1 - 2?)(5 -2?)+ (7 -?)(1- ?)2= 5? - 20?+ 12对称轴方程为 ?=2，当 ?= 2 时，?的?最小值为 5 22- 202+12= -8 ?故答案为： -817.【答案】 解：如图所示，第8页，共 11页以向量 ?，?为边作平行四边形AOBD ，?= ?= ?又 ?1?1 ?，?，= 3=3所以? 1?=?+=?+3?1?15 ?，= ?+ 6 (?- ?) = 6 ?+ 6 ?由 ?= 1 ?= 1 ?，33所以 ?4? 2? ?2?=3?=3?(?+

20、 ?)?=3(?+ ?)，所以? ?=?-=2 (?+ ?) -1 ?-5 ?36611= 2 ?- 6 ?【解析】 利用平面向量的三角形法则和平行四边形法则解答即可本题考查了平面向量的平行四边形法则和三角形法则的运用，熟记法则是解答的关键，属于基础题? 的夹角为 120，且 | ?| = 4， | ?，18.【答案】 解： ?， ?| = 2可得 ?= 4 2 ?120= -8 12 = -4 ，22(1)(? -?24+4= 12；2 ?) ?(?+ ?) =? - 2 ? - ?= 16 -(2)| ?+? 2 2? 2?16 + 4- 24=23；?| =(?+ ?)= ? + ? +

21、 2 ?=(3)|3 ?-?(3 ?-? 22?24?| =4?) =9?-24 ?+ 16 ?= 9 16 + 24 4 + 16 4 = 419【解析】 运用向量数量积的定义，可得 ?= -4 ，由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到(1) 、 (2) 、(3) 的值本题考查向量的数量积的定义和性质， 主要是向量的平方即为模的平方， 考查运算能力，属于中档题19.【答案】 解：由题意有|?|=2+ (-1)2= 2，?| =3212= 1( 3)|( )+ ( )22因为?13? ?=32- 12 = 0，故有 ?因为 ?，故 ?= 03?+ (? -3)? ?(-? ?

22、+ ?) =0?-3?2化简得 ?=421 2127?+? =4 (? + 4?- 3) =4 (?+ 2)-4当 ?=27-2 时， ?+?有最小值为 -?4第9页，共 11页【解析】 由? ，再由 ?，可得 ?= 0 ，即2? ?=0可知 ?+ (? -3) ?(-? ?+3?) =0，化简得 ?=?-3?421?+?=23) ，根据二次函数的性质可求最值?4(? + 4?-本题主要考查了向量的数量积的性质：?的应用，还考查了利用二次函? ?= 0数的性质求解函数的最值，体现了转化思想在解题中的应用20.【答案】 解：设存在点M，且?，?= ?= (6?,3?)(0 ? 1)?，=(2 - 6?,5 - 3?)?= (3 - 6?,1 - 3?)?，?(2 -6?)(3 -6?)+ (5 -3?)(1 -3?)=0，即248?+ 11= 0 ，45? -解得 ?=1或?= 113152211?= (2,1) 或 ?= ( 5 , 5 ).2211存在 ?(2,1) 或 ?( 5 , 5 ) 满足题意【解析】 利用三点共线即向量共线，利用向量共