2020学年广东省深圳市南山区高二上期末数学试卷(有答案

1、2019-2020 学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中有 且只有一项是符合题目要求的1（5 分）设命题 P：? xR，x2+20则 P为（）ABCD? xR，x2+2 02（5 分）等差数列 an 前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S3=21，则 a1 的值为（）A 10 B9 C6 D 53（5 分）“”是“ ”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D不充分也不必要条件4（5分）已知向量 =（2，1，4）， =（1，0，2），且 + 与k 互相垂直，则 k的值是（ A1

2、 BCD5（5分）在 ABC中，若 AB= ，BC=3，C=120，则 AC=（）A 1 B2 C3 D 46（5分）若双曲线 =1的一条渐近线经过点 （3，4），则此双曲线的离心率为 （ABCD7（5分）若 a，b 均为大于 1的正数，且 ab=100，则 lga?lgb的最大值是（）A 0 B1 C2 D8（5 分）已知数列 an ：a1=1，则 an=（）A 2n+13 B 2n1 C2n+1 D2n+2795 分）若直线 2ax+by 2=0（a 0，b0）平分圆x2+y22x4y6=0，的最小值是（ ）A 2B 1 C3+2D3210（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x 2

3、y 的取值范围为（）11（5 分）如图过拋物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C， 若| BC| =2| BF| ，且 | AF| =3，则拋物线的方程为（）Cy2= x Dy2=9x12（5分）在锐角 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若，a=2， 则 b 的值为（ABCD二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）若 ABC中， AC= ，A=45，C=75，则 BC=14（5 分）已知数列an 满足：，且 a2+a4+a6=9，则的值为 15（5分）设不等式（ xa）（x+a2）0则 P为（）ABC

4、D? xR，x2+2 0【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即P：，故选： B2（5 分）等差数列 an 前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S3=21，则 a1 的值为（）A 10 B9 C6 D 5【解答】 解：公差 d=2，S3=21，可得 3a1+ 32（ 2）=21，解得 a1=9， 故选： B3（5 分）“”是“ ”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D不充分也不必要条件【解答】 解：当+2k时，满足但 不一定成立，即充分性不成立，当 时，成立，即必要性成立，则“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选： C4（5分）已知向量 =（2，1，4），

5、=（1，0，2），且 + 与k 互相垂直，则 k的值是（ ） A 1 BCD【解答】 解： + =（3， 1， 6），k =（2k1，k，4k2）， + 与 k 互相垂直， 3（2k1）+k+6（ 4k2）=0， 解得 k= ，故选： D5（5分）在 ABC中，若 AB= ，BC=3，C=120，则 AC=（）A 1 B2 C3 D 4【解答】 解：在 ABC中，若 AB= ，BC=3， C=120， AB2=BC2+AC22AC?BCcosC， 可得： 13=9+AC2+3AC， 解得 AC=1或 AC= 4（舍去）故选： A6（5 分）若双曲线=1 的一条渐近线经过点 （3，4），则此双曲

6、线的离心率为 （A解答】解：双曲线 =1的一条渐近线经过点（ 3，4），可得 3b=4a，即 9（c2a2） =16a2，解得 故选： D7（5分）若 a，b均为大于 1的正数，且 ab=100，则lga?lgb的最大值是（）A 0 B1 C2 D【解答】 解： a1，b1，lga0，lgb0 lga?lgb（）2=（）2=1 当且仅当 a=b=10 时等号成立 即 lga?lgb 的最大值是 1 故选 B8（5 分）已知数列 an ：a1=1，则 an=（）A 2n+13 B 2n1 C2n+1 D2n+27【解答】 解：由 ，得 an+1+3=2（ an+3），a1+3=40，数列 an+

7、3是以 4为首项，以 2为公比的等比数列， 则，故选： A9（5 分）若直线 2ax+by2=0（a0，b0）平分圆 x2+y22x 4y6=0，则 + 的最小值 是（ ）A 2B 1 C3+2D32【解答】 解：由题意可得直线 2ax+by2=0（a0，b0）经过圆 x2+y22x4y6=0 的圆心 （1，2），故有 2a+2b=2，即 a+b=1再根据 + = + =3+ + 3+2=2+2 ，当且仅当 = 时，取等号，故 + 的最小值是 3+2 ，故选： C10（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x 2y 的取值范围为（）A（ 3， 3） B3，3 C 3，3） D 2，2【解答

8、】 解：由 z=x2y 得 y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ：，过点 C（ 3， 0）时，直线y= 的截距最小，此时z 最大，代入目标函数 z=x2y，得 z=3，目标函数 z=x 2y 的最大值是 3当直线 y=，过点 B 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小，由 ，得，即 B（ 1， 2）代入目标函数 z=x2y，得 z=12 2=3目标函数 z=x 2y 的最小值是 3故3z3， 故选： BA， B， C，11（5 分）如图过拋物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点【解答】 解：如图分别过点 A， B作准线的垂线，分别交准线于点 E，D

9、， 设| BF| =a，则由已知得： | BC| =2a，由定义得： | BD| =a，故BCD=30， 在直角三角形 ACE中， | AF| =3，| AC| =3+3a， 2| AE| =| AC| 3 +3a=6，从而得 a=1， BDFG，求得 p= ， 因此抛物线方程为 y2=3x，12（5分）在锐角 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若，a=2， 则 b 的值为（ ）ABCD【解答】 解：在锐角 ABC中， sinA=，SABC= ， bcsinA= bc = ， bc=3，又 a=2，A 是锐角，cosA= ，由余弦定理得： a2=b2+c22bccosA， 即

10、（b+c） 2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（ 1+ ）=12， b+c=2 由得：解得 b=c= 故选 A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13（5 分）若 ABC中， AC= ，A=45，C=75，则 BC=【解答】 解： AC= ，A=45，C=75，B=180AC=60，由正弦定理，可得： BC=故答案为： 14（5 分） 已知 数列 an 满足：， 且 a2+a4+a6=9， 则的值为 5 【解答】 解：由，得 log3（ 3an） =log3an+1，an+1=3an，且 an 0，数列 an是公比为 3 的等比数列，又 a2+a4+a6=9，

11、=35 = 故答案为： 515（5分）设不等式（ xa）（x+a2）0的解集为 N，若 xN是的必要条件，则 a 的取值范围为【解答】 解：若 xN是的必要条件， 则 M? N，若a=1时，不等式（xa）（x+a2）0的解集 N=?，此时不满足条件若 a1，则 N=（ 2 a，a），则满足，此时 a16（5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1且与 x 轴垂直的，即 5c2=a2，解得 e为直线交椭圆于 A， B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C，若=2 ，则椭圆的离心率得故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

12、 .）17（10分）已知正项数列 an的前 n项的和为 Sn，且满足：，（nN+）（1）求 a1，a2，a3 的值（2）求数列 an的通项公式【解答】 解：（1）由，取 n=1，得，an0，得 a1=1，取 n=2，得，解得 a2=2，取 n=3，得，解 a3=3；（2）+an， ，得 （an+1+an）（an+1 an1）=0， an0， an +1+an 0，则 an+1an=1， an是首项为 1，公差为 1 的等差数列， an=1+（n1） 1=n18（12 分）在 ABC中，角 A，B， C所对的边分别为 a，b，c，且 bcosC=（2ac）cosB （1）求角 B 的值；（2）若

13、 a，b，c 成等差数列，且 b=3，求 ABB1A1面积 【解答】（本题满分为 12 分） 解：（1）bcosC=（2ac）cosB，由正弦定理 sinBcosC=（2sinA sinC）cosB，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcos，B （2 分）sin（B+C）=2sinAcosB，（3 分）又 A+B+C=，sinA=2sinAcosB， （ 4 分）又 B为三角形内角 （5 分）（ 6 分）2）由题意得 2b=a+c=6，（7 分）（ 9 分）ac=9（ 10 分） （ 12 分）19（12 分）已知递增的等比数列 an满足： a2?a3=8， a1+a4=9（1）求

14、数列 an的通项公式；（2）设数列，求数列 bn的前 n项的和 Tn【解答】 解：（1）由题意，得 a2a3=a1a4=8，又 a1+a4=9，所以 a1=1，a4=8，或 a1=8， a4=1，由 an是递增的等比数列，知 q1 所以 a1=1，a4=8，且 q=2，即 an=2n 1；（2）由（ 1）得，所以所以 ，两式相减，得，得20（12分）已知点 A（ ，0），B（ ，0），P是平面内的一个动点，直线 PA与 PB交于 点 P，且它们的斜率之积是 （1）求动点 P 的轨迹 C的方程；（2）设直线 l：y=kx+1与曲线 C交于 M 、N两点，当线段 MN的中点在直线 x+2y=0上时

15、，求 直线 l 的方程【解答】 解：（1）设，由2）设 MN 的中点坐标为（ x0，y0），联立得（ 2k2+1） x2+4kx=0，所以由 x0+2y0=0，得 k=1，所以直线的方程为： y=x+1 21（12分）如图，在以 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD， AFD=90，且二面角 DAFE与二面角 CBEF 都是 60（1）证明平面 ABEF平面 EFDC；（2）证明： CD EF（3）求二面角 EBCA 的余弦值【解答】 证明：（1） ABEF为正方形， AFEF AFD=90， AFDF，DFEF=F，AF平面 EFDC， AF? 平面

16、ABEF， 平面 ABEF平面 EFDC（2）由 AFDF，AF EF， 可得 DFE为二面角 D AFE的平面角， 由 CEBE， BEEF， 可得 CEF为二面角 CBEF的平面角 可得 DFE=CEF=60AB EF，AB?平面 EFDC，EF? 平面 EFDC， AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD， ABCD，CDEF解：（3）以 E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a，则 E（0，0，0）， B（0，2a，0），C（ ，0，），A（2a， 2a，0）， =（0，2a，0）， =（ ，2a，）， =（ 2a，0，0），设平面 BEC的法向量 =（x1， y1，z1），取 x1= ，则 =（设平面 ABC的法向量为 =（ x，y，z），取 y= ，得设二面角 EBCA 的平面角为 则 cos = =面角 EBCA 的余弦值为22（12 分）已知 O 是坐标系的原点， F是抛物线 C：x2=4y的焦点，过点 F的直线交抛物线于 A，B 两点，弦 AB的中点为 M，OAB的重心为 G（）求动点 G 的轨迹方程；）设（）中的轨迹与 y轴的交点为 D