高考数学专题导数题的解题技巧

1、第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】 导数命题趋势：综观 2007 年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（ 1 ）多项式求导（结合不等式求参数取值范围） ,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.（ 2 ）求极值 , 函数单调性 , 应用题 , 与三角函数或向量结合 .分值在 12-17分之间，一般为1 个选择题或1 个填空题，1 个解答题.【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法

2、则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析】考点 1导数的概念对概念的要求： 了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 .例 1（ 2007 年北京卷） f (x) 是 f (x)1x32x 1 的导函数，则 f ( 1)的值是 3 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程 Qf (x) x22,f (1)122 3.故填 3.例 2. ( 2006年湖南卷）设函数f ( x)

3、xa,集合 M= x | f (x)0 ,P= x | f ( x)0,若 MP,则实x1数 a 的取值范围是 ()A.(- ,1)B.(0,1)C.(1,+ )D. 1,+ ) 考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 解答过程 由 xa0,当 a1时 ,1xa;当 a1时 ,ax1.x1/xaQ yx a , y/x ax 1a 1 20.x12x1x1x1a1.综上可得 MP 时 ,a1.考点 2曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线 y=f(x) 在某一点 P（ x,y）的切线，即求出函数y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率 .（2）关于两

4、曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例 3.（ 2007 年湖南文）已知函数f (x)1 x31 ax2bx 在区间 11)， ， (1，3 内各有一个32极值点（I ）求 a24b 的最大值；（II ）当 a24b8时，设函数 yf ( x) 在点 A(1， f (1) 处的切线为 l ，若 l 在点 A 处穿过函数 yf (x) 的图象（即动点在点A 附近沿曲线 yf ( x) 运动，经过点 A 时，从 l 的一侧进入另一侧），求函数f ( x) 的表达式思路启迪 ：用求导来求得 切线斜率 .解答过程：（ I ）因为函数 f ( x)1 x31 ax

5、2bx 在区间 11)， ，(1，3内分别有一个极值点，32所以 f ( x)x2axb0在 11)， (1，3内分别有一个实根，设两实根为x1， x2 （ x1x2 ），则 x2x1a24b ，且 0x2 x1 4 于是0a24b 4 ， 0a24b 16 ，且当 x11，x23 ，即 a2 ， b3 时等号成立故 a24b 的最大值是 16（II ）解法一：由f(1)1 ab 知 f (x) 在点 (1， f (1) 处的切线 l 的方程是yf (1)f(1)(x1) ，即 y(1 ab)x21 a ，32因为切线 l在点 A(1， f ( x) 处空过 yf ( x) 的图象，所以 g(

6、x)f ( x)(1211 两边附近的函数值异号，则a b) xa 在 x32x 1 不是 g( x) 的极值点而 g( x)1x31ax2bx(1ab)x21a ，且3232g ( x)x2axb (1ab)x2axa1(x 1)(x 1 a) 若 11 a ，则 x1 和 x1a 都是 g (x) 的极值点所以 11 a ，即 a2 ，又由 a24b8 ，得 b1，故 f (x)1 x3x2x 3解法二：同解法一得g( x)f ( x)(1ab) x21 a13a332( x1) x2(1) x(2a) 322因为切线 l 在点 A(1， f (1) 处穿过 yf (x) 的图象，所以g(

7、 x) 在 x1 两边附近的函数值异号，于是存在m1， m2 （ m11m2 ）当 m1x 1时， g( x)0，当 1 xm2 时， g( x)0 ；或当 m1x 1时， g ( x)0，当1x m2 时， g(x) 0 设 h( x)x213ax23a，则22当 m1x 1时， h(x)0 ，当 1 xm2 时， h( x)0 ；或当 m1x 1时， h( x)0 ，当 1 xm2 时， h(x) 0 由 h(1)0 知 x1是 h(x) 的一个极值点，则h(1)2113a0 ，21 x3所以 a2 ，又由 a24b8，得 b1，故 f ( x)x2x 例 4（. 2006 年安徽卷）若曲

8、线 y3x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y80垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0C 4x y 3 0D x 4 y 3 0 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 与直线 x4y80 垂直的直线 l 为 4x ym0 ，即 yx4 在某一点的导数为4，而y4x3 ，所以 y x 4 在 (1， 1)处导数为 4，此点的切线为4xy30 .故选 A.例 5 ( 2006 年重庆卷 )过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ 5 =0 相切的直线的方程为()2A. y=-3 x 或 y= 1 xB. y=-3 x 或 y=

9、- 1 xC.y=-3x 或 y=- 1 xD. y=3x 或 y= 1 x3333 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 解法 1：设切线的方程为ykx,kx y 0.又 x2y25 ,圆心为 2,1 .2122k153k28k30. k13.k2 1, k23y1 x, 或 y3x.3故选 A.解法 2:由解法1 知切点坐标为 ( 1 ,3),3,1 ,由2222( x2) 2y 12/5/,x2x2( x2)2y 1 yx /0,yx /x2 .y1k1yx/1 33,k2yx /3 1(,)(, )222 2y3x, y1x.31.3故选

10、 A.例 6.已知两抛物线 Cyx 22xC2:yx 2a , a 取何值时C，C有且只有一条公切线，1 :,21求出此时公切线的方程 .思路启迪 ：先对 C1 : yx 22x, C 2 : yx 2a 求导数 .解答过程： 函数 yx 22 x 的导数为 y2 x 2 ，曲线 C1 在点2处的切线方程为P( x1, x1 2x1 )y (x22x1) 2( x2)( x x )，即 y 2(x11)x x 21111曲线 C在点 Q ( x, x2a) 的切线方程是 y(xa)2x(xx) 即122222y2a2 x2 x x2若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线，则式和式都是l

11、的方程，故得x11x,x2x 21，消去 x2 得方程，2x22 x 1a021211若 =442(1a)0，即 a1 时，解得 x11 ，此时点 P、Q 重合 .22当时 a1 ， C1 和 C 2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x1 .24考点 3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函

12、数的解析式 ; 2.求函数的值域 ; 3.解决单调性问题 ; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式 .典型例题例 7（2006 年天津卷）函数f (x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数 f (x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（）A1 个B2 个y?C3 个y f (x)D 4个 考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识b的应用能力 .Oax 解答过程 由图象可见 ,在区间(a,0) 内的图象上有一个极小值点 .故选 A.例 8. （ 2007 年全国一）设函数f ( x)2x33ax23bx8

13、c 在 x1 及x 2时取得极值（）求 a、b 的值；（）若对于任意的x 0，3 ，都有 f (x)c2成立，求 c 的取值范围思路启迪 ：利用 函数 f (x)2x33ax23bx8c在x 1及x2时取得极值构造方程组求、a b 的值解答过程：（） f( x)6x26ax3b ，因为函数f ( x) 在 x1 及 x 2 取得极值，则有f(1)0 ， f(2) 066a3b，0即2412a3b0解得 a3， b4（）由（）可知，f ( x) 2x39x212x8c ，f (x)6x218x126( x1)(x2) 当 x(01)， 时， f( x)0 ；当 x(1，2) 时， f ( x)0

14、 ；当 x(2，3) 时， f (x) 0 所以，当 x1 时， f ( x) 取得极大值f (1)58c，又 f (0)8c ， f (3) 9 8c 则当 x0，3时， f ( x) 的最大值为f (3)98c因为对于任意的x0，3，有 f ( x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1 或 c9 ，因此 c 的取值范围为(，1)U(9， ) 例 9.函数 y2 x4x 3 的值域是 _.思路启迪 ：求函数的值域， 是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解， 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程： 由 2x40

15、得， x2，即函数的定义域为 2, ) .x30112 x32x4 ，y2x 4 2 x 3 2 2x 4 x 3又 2 x 32 x42x8，x32 x24当 x2 时， y 0，函数 y2 x4x 3 在 ( 2,) 上是增函数，而 f (2)1，y2x4x 3的值域是 1,) .例 10（ 2006年天津卷）已知函数 fx 4x33x 2 cos3 cos，其中 xR,为参数，且1602 （1）当时 cos0 ，判断函数 f x 是否有极值；（2）要使函数f (x) 的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 f x在区间 2a1, a 内都是

16、增函数，求实数 a 的取值范围 考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程 （）当 cos0 时， f ( x)4x3 ，则 f ( x) 在 (,) 内是增函数，故无极值 .（） f (x)12x26 xcos，令 f ( x)0 ，得 x0, x2cos .12由（），只需分下面两种情况讨论 .当cos0 时，随 x 的变化 f ( x) 的符号及 f (x) 的变化情况如下表：x( ,0)0coscoscos(0,)2(, )22f ( x)+0-0+f ( x)极大值极小值因

17、此，函数 f (x) 在 xcos处取得极小值 f( cos) ，且 f ( cos)1 cos33222416 .要使 f (cos )0 ，必有1 cos(cos23)0，可得 0cos3 .2442由于 0 cos3 ，故62或 311 .226当时 cos0 ，随 x 的变化， f (x) 的符号及 f (x) 的变化情况如下表：x(, cos )cos(cos,0)0(0,)222f ( x)+0-0+f ( x)Z极大值极小值Z因此，函数 f (x)在x0 处取得极小值f (0) ，且 f (0)3cos .16若 f (0) 0，则 cos0 .矛盾 .所以当 cos0 时， f

18、 ( x) 的极小值不会大于零 .综上，要使函数 f ( x) 在 (,) 内的极小值大于零，参数的取值范围为( ,)311(,) .6226（III ）解：由（ II ）知，函数 f (x) 在区间 (,) 与 ( cos,) 内都是增函数。2由题设，函数f (x)在(2 a1,a)内是增函数，则a 须满足不等式组2a1 a或2a1a1 cosa 02a12由（ II ），参数时(,)( 3,11)时，0cos3 .要使不等式 2a11 cos关于参数622622恒成立，必有2a13，即 43a .48综上，解得 a0或 483a 1.所以 a 的取值范围是 (,0) 43 ,1).8例 1

19、1 (2006年山东卷 )设函数 f(x)=ax (a+1)ln( x+1) ，其中 a-1，求 f(x)的单调区间 . 考查目的 本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 由已知得函数f ( x) 的定义域为 (1, ) ，且 f (x)ax1 (a1),x1（1）当1 a0时， f (x)0, 函数 f ( x) 在 (1,) 上单调递减，（2）当 a0 时，由 f ( x) 0,解得 x1 .af (x) 、 f (x) 随 x 的变化情况如下表x( 1,1)1( 1, )aaaf ( x)0+f ( x)极小值Z从上表可知

20、当 x( 1,1 ) 时， f (x)0, 函数 f (x) 在 (1,1) 上单调递减 .aa当 x(1, ) 时， f (x)0, 函数 f (x) 在 (1,) 上单调递增 .aa综上所述：当 1 a 0 时，函数 f (x) 在 (1,) 上单调递减 .当 a0 时，函数 f ( x) 在 ( 1, 1) 上单调递减，函数f ( x) 在 ( 1 ,) 上单调递增 .aa例 12（ 2006 年北京卷）已知函数 f (x)ax3bx2cx 在点 x0 处取得极大值5 ，其导函数 yf ( x) 的图象经过点(1,0) ， (2,0) ，如图所示 .求：（） x0 的值；（） a, b,

21、 c 的值 . 考查目的 本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 解法一：（）由图像可知，在,1 上 f x0 ，在 1,2上 f x0，在 2,上 f x0 ,故f (x)在上递增，在(1,2)上递减，（ -，1），（ 2，+ ）因此 fx 在x1 处取得极大值，所以x01（） f (x)3ax22bx c,1） 5，由 f（1） =0，（f2） 0，（f3a2b c0,得 12a4bc0,ab c5,解得 a2,b9,c12.解法二：（）同解法一（）设 f (x)

22、m(x 1)(x2) mx23mx2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 am3, bm, c 2m32f ( x)m x33 mx2|2mx,32由f (1)即 m3m2m 5,得m 6,5，32所以 a2,b9, c 12例 13（ 2006 年湖北卷）设x3是函数 f xx 2ax b e3 xxR 的一个极值点 .（）求 a 与 b 的关系式（用a 表示 b ），并求 f x的单调区间；（）设 a0 ， g xa 225ex .若存在 1, 20,4 使得 f1g 2 1 成立，求 a 的取值范4围. 考查目的 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知

23、识解决问题的能力 . 解答过程 （） f (x) x2 (a 2)x ba e3x,由 f (3)=0 ，得 32 (a 2)3 ba e3 3 0，即得 b 3 2a，则 f (x) x2 (a 2)x 3 2a a e3 x x2 (a 2)x 33a e3 x ( x3)( xa+ 1)e3 x.令 f (x) 0，得 x13 或 x2 a 1，由于 x3 是极值点，所以 x+a+ 1 0，那么 a 4.当 a3 x1，则在区间（，3）上， f (x) 0 ，f (x) 为增函数；在区间（ a 1，）上，f (x) 4 时， x23 x1，则在区间（，a 1）上， f (x) 0 ，f

24、(x) 为增函数；在区间（3，）上，f (x) 0 时， f (x) 在区间（ 0，3）上的单调递增，在区间（0， 4上的值域是 min(f (0) ，f (4) )， f (3) ，3， 4）上单调而 f (0) （ 2a 3）e30 ， f (3) a 6，那么 f (x) 在区间 0， 4上的值域是 （ 2a 3） e3， a6.又 g( x)(a225)ex 在区间 0， 4上是增函数，4且它在区间 0，4上的值域是 a2 25，（ a2 25 ）e4 ，44由于（ a2 25 ）（ a 6） a2 a 1 （ a1 ） 2 0，所以只须仅须442（ a2 25 ）（ a 6） 0 ，

25、解得 0 a 3 .42故 a 的取值范围是（ 0， 3 ） .2例 14 （ 2007 年全国二）已知函数 f ( x)1 ax3bx2(2 b) x 13在 xx1 处取得极大值，在 xx2 处取得极小值，且 0 x1 1 x2 2 （ 1）证明 a 0；（ 2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 解答过程 求函数 f ( x)的导数 f( x) ax22bx2b （）由函数f ( x) 在 xx1 处取得极大值，在xx2 处取得极小值，知x1，x2 是 f(x)0的两个根所以 f ( x) a( x x1 )( x x2 )当 xx1 时， f ( x) 为增函数，f( x) 0 ，

26、由 xx10 ， xx20 得 a0f (0)02b0（）在题设下，0x1 1x22 等价于f (1)0 即 a2b2b0 f (2)04a4b2b02b0化简得a3b204a5b20此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2 b0，a3b20，4a5b20 所围成的 ABC 的内部，其三个顶点分别为：46，A， ，7B(2 2)C(4 2) 7z 在这三点的值依次为16，b76 8所以z的取值范围为16， 2B(2，2)78C (4，2)146A7，7O24a小结： 本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合考点 4 导数的实际应用建立函数模型 ,利用典型例题例 15. （ 2007 年重庆文）用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，