高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量

1、高中数学竞赛专题讲座三角函数与向量一、三角函数部分1 (集训试题 )在 ABC 中，角 A 、 B、 C 的对边分别记为a、b、 c(b 1)，且 C ，sin B 都是方程 logAb x=log b (4x-4) 的根，则 ABC （ B）sin AA 是等腰三角形，但不是直角三角形B 是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由 logb x=log b(4x-4) 得： x2-4x+4=0 ，所以 x1=x 2=2，故 C=2A ， sinB=2sinA ，因 A+B+C=180 ，所以 3A+B=180 ，因此 sinB=sin3A ， 3

2、sinA-4sin 3A=2sinA ， sinA(1-4sin 2A)=0 ，又 sinA 0，所以 sin2A=1 ，而 sinA0 ， sinA= 1.因此 A=30 ,B=90 ,C=60 。故选 B 。422（吉林预赛） 已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5/3 对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（ C）A x= /3B x=2/3Cx=11/6 D x=3 (南昌市） 若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B )A 锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D形状不确定4（南昌市） 若 asintan, bcos

3、cot,则以下诸式中错误的是( B )A sin= ab1B cos1abb1a1C tancot=( a b1)21 2abcot(a b)(ab2)( a1)(b1)D tan=1)( a 1)(b5（安徽初赛） 已知 ABC 为等腰直角三角形，C = 90， D、 E 为 AB 边上的两个点，且点 D 在 AE 之间， DCE = 45，则以 AD 、 DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是（）A 锐角B钝角 C直角D不能确定6（陕西赛区预赛） 若 sin 3cos3cossin ,02 ，则角的取值范围是 (C)A 0, B, C , 5D , 3 )4444427（江苏） 在 A

4、BC 中， tan A1， cos B3101，则最短边2若 ABC 的最长边为的长为（D）1045B35255A 55CD558 (浙 江 )设f1 (x)2，f2 (x)sin xcos 2x ， f3 (x)sin xcos 2 x ，2f4 ( x)sin x2 ，上述函数中，周期函数的个数是（B ）A 1B 2C 3D 4【解】：f1 ( x)2 是以任何正实数为周期的周期函数；f 2 (x) 不是周期函数。因为sin x 是以 T12,cos2 x 是以 T22,为周期的周期函数为周期的周期函数而2xT1 与 T2 之比不是有理数， 故 f 2 (x) 不是周期函数。f 3 ( x

5、) 不是周期函数。 因为 sin是2以 T2 2 为周期的周期函数,cos2x是 以T22为周期的周期函数,而12T12，故 f 3 ( x) 是周期函数 . f 4 ( x)sin x 2 不是周期函数 .因此共有 2个周期函数 .T2选【B】9 (浙江 )若 sin xsin y1，则 cosxcos y 的取值范围是（）A 2,2 B 1, 1C0, 3D 3, 3【解】：设cosx cos yt，cos2x2 cos x cos ycos2yt2 。 又 由sin xsin y1，故sin 2x2 sin xsin ysin 2y1。因此有2(cos x cos ysin x sin

6、y)t 21 ，即2 cos(xy)t 21由于1cos(xy) 1，所以有t 23，即3t3。选【D】10 (全国 )ABC 内接于单位圆，三个内角A 、 B、 C 的平分线延长后分别交此圆AA1ABB1 cosBCC1 cosCcos于 A1 、B1 、C1 。则2sin B22 的值为（）sin Asin CA 2B 4C 6D 8解： 如图，连 BA1 ，则 AA1 2sin(BA2sin(ABCBC2cos(BC).)22)2222AA1 cos A2cos( BC ) cos Acos ABCcos ACBcos(C ) cos(B)22222222sin Csin B, 同理 B

7、B cos Bsin Asin C , CCcos Csin Asin B ,AA cos ABB1212121cos BCC1 cos C2(sin Asin Bsin C ),原式2(sin Asin Bsin C )2.选 A.22sin Asin Bsin C11（陕西赛区预赛）已知cos31sin 3为锐角，且，则sincos312（浙江省预赛） 设 aiR (i 1,2,n), ,R, 且n111i 1 1 aixai ()x1 aixai() x1 aixai()x解：111xai () x1 aixai() x1 aixai() x1 ai7/30， 则对任意 xR ，n.ai

8、 xai() x11 ，ai xai() x1 ai() x1 ai x1 aixai() xn111所以，n.1 axa () x1 aixai()x1 aixai() xi 1ii44113 （ 浙 江 省 预 赛 ） 设 a,b 是 非 零 实 数 ， xR ， 若s i n xc o sx，则a2b2a2b2sin 2008 xcos2008 x1a2006b2006(a 2b 2 )100344s i n xc o sx解：已知2b2a将（ 1）改写成14s i n x而 1 (sin 2 xcos2 x) 21，（ 1）a2b2b2244a4c o s xa2s i n x2c o

9、 s x .bsin 4xcos4x 2sin 2x cos2 x .所以有b2422a2s i n x2 s i n x c o s x2即 b sin 2 xa cos2 x0, 也即aba 2C b2 C1b 2。于是有， Ca 2a240 .b2c o s xsin4 xcos4 x，将该值记为 C。则由（ 1）知，a4b 412 .(a22)b而 sin2008xcos2008 xa 2C 502b2 C 502(a 2b2 )(a 21(a 21.a2006b2006b 2 )1004b 2 ) 100314(天津） 在 Rt ABC 中， c ， r ， S 分别表示它的斜边长，

10、内切圆半径和面积，则cr 的取S值范围是15（天津） 已知2 22,1)A(2 cos,3 sin) ， B(2cos,3 sin) ， C ( 1,0) 是平面上三个不同的点，且满足关系式CABC ，则实数的取值范围是13316（江苏） 设 cos22，则 cos4sin 4的值是1131817(吉林预赛） 若 sin 2 (x12)sin 2 (x)1，且 x ( ,3 ) ，则 tanx 的值为 _.1242418(南昌市） 已知 sincos=2 ) ,则 tancot86_.,(=_522319 （ 上 海 ） 设 n (n2) 是 给 定 的 整 数 ， x1, x2 , , xn

11、是实数，则sin x1 cos x2 sin x2 cos x3sin xn cos x1 的最大值是n220（ 全国） 在平面直角坐标系xoy中，函数f ( x) a sin axcosax(a0) 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g( x)a21 的图像所围成的封闭图形的面积是_.解： f ( x)a21sin( ax),其中arctan1，它的最小正周期为2，振幅为aaa21 。由 f (x) 的图像与 g( x) 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为 2、宽为a21 的长方形，故它的面积是2a21 。a满足 02a21 (全国 )设、，若对于任意xR,cos(x)c

12、os(x)cos(x)0,则4.3解： 设 f ( x)cos(x)cos(x)cos(x), 由 xR ， f ( x)0知，f ( )0, f ()0,f ()0,即 cos()cos()1, cos()cos()1 ， cos()cos()1.cos()cos()cos()02 ,2 ,4,又,.33只有2 .4 .33另一方面，当2, 有2,4,xR, 记 x，333由于三点 (cos,sin), (cos(2), sin(2), (cos(4), sin(4) 构成单位圆 x2y233331 上正三角形的三个顶点 .其中心位于原点，显然有coscos(2)cos(4 )0. 即 co

13、s( x)cos(x)cos( x) 0.33二、向量部分2 ), 集训试题)已知2, sinOA ab ,OBab ，若 OAB是以 O 为直角1(a =(cos33顶点的等腰直角三角形，则OAB 的面积等于（）A 1B1C 2D322解：设向量 b =(x, y) ，则(ab)(ab)0| ab | ab |，( x1 , y3 ) ( x1 , y30即2222，1313( x2( y2( x2( y2)2222x 2y211)或(3 , 1) ， SAOB =1 | ab | a b | =1。即3y. b ( 3 ,x222222（全国） 设 O 点在ABC 内部， 且有 OA2OB

14、 3OC0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为（）35A2BC3D23解：如图，设D， E 分别是 AC ，BC 边的中点，OAOC 2OD(1)则2(OBOC ) 4OE(2)由（ 1）（ 2）得， OA2OB 3OC 2(OD 2OE ) 0 ，ADOBEC即 OD与OE 共线，S且|OD |2|OE |SAECAOC3 ,S2SABCAOC3223， 故选 C。3（陕西赛区预赛）如图 1，设 P 为 ABC 内一点，且 AP2 AB1AC，则 ABP 的面积与 ABC 的面积之比为 ( A )55A 125B5C114D4 ()ab3c a 3c b 4 .浙江已知，是两个相互垂直

15、的单位向量，而| c |13，则对于任意实数t1,t 2 ， | ct1 a t2 b |的最小值是（）A 5B 7C12D 132222ct1 at2 bc6t18t2【解】：由条件可得t1t2169 (t13) 2(t 24) 225144(t13) 2(t 24) 21443, t24 时， c2当 t1t1 at 2 b144 。选【C】5 (全国 )空间四点A 、B、C、D 满足 | AB|3,|BC|7,|CD|11,| DA|9 , 则ACBD 的取值（）A 只有一个B有二个C有四个D有无穷多个2解：注意到 3211211307 292 ,由于 ABBCCDDA0,则 DA2DA

16、 =( ABBCCD)2AB 2BC 2CD 22(AB BCBC CDCD AB)AB2BC 2CD 22AB BCBC CDCDAB)AB2BC 2CD 22( AB2( BCBC) (BCCD), 即 2AC BDAD 2BC 2AB2CD 20,AC BD 只有一个值得 0，故选 A。6（吉林预赛） 已知 P 为 ABC 内一点，且满足 3PA4PB5PC0 ，那么 S PAB： S PBC：SPCA =.7（南昌市） 等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为,G对应的向量为A 1,0 重心G 2,0 ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为 _5 ,3_.228（浙江省预赛） 手表的表面在一平面上。整点1，2， ， 1