玻色统计和费米统计_热力学统计物理PPT课件

1、1 2 定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统 玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 1) 2 ( 2/3 2 h mkT N V e 2 3 / 23 ()1 2 Nh en Vm kT 2/3 2 1 ) 2 ( h m VZ 经典极限条件（非经典极限条件（非 简并条件）简并条件） 1 Z N e 一、从非简并到简并一、从非简并到简并 1 l e a l l 1 e l ea ll 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。趋向于玻耳兹曼分布。 1 00 l l

2、 l ll a Ze e 孤立系统孤立系统 3 1 l e a l l 玻色统计玻色统计 费米统计费米统计 ll e ll l )1( )1ln(ln l e l l 不满足非简并条件气体称为不满足非简并条件气体称为简并气体：简并气体：无相互作用无相互作用 采用玻色分布或费米分布 二、巨配分函数二、巨配分函数 1 l e aU ll l l l l 1 l l l ll Na e 对比对比玻耳兹曼分布 l eZ l l 0 1 第九章推导开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。第九章推导开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。 全同性原理带来的量子统计关联对简并气体

3、的宏观性质有决定性影响全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质有决定性影响 然后确定粒子数 和内能 4 )1ln(ln l e l l 1 l l l ll Na e )1ln(ln l e l l l l l l e e 1 )1( l l l e1 N lnN 1 平均粒子数平均粒子数 eZN 1 对比对比玻耳兹曼分布 三、用巨配分函数表示热力学量三、用巨配分函数表示热力学量 ：开系：开系 N 5 1 l e aU ll l l l l )1ln(ln l e l l l l l l l e e 1 )( l ll l e1 U ln U 2 内能内能 )1ln(ln l e l

4、l 对比对比玻耳兹曼分布 1 ln Z UN 6 3 广义力广义力 )1ln( 1 ln 1 l e yy l l ye e l l l l l 1 )1( ye l l l l 1 Y ln 1 y Y y a l l l 压强压强 ln 1 V p )1ln(ln l e l l l l l Ya y 对比对比玻耳兹曼分布 1 ln1Z YN y V ZN p 1 ln 7 4 其它热力学函数：熵其它热力学函数：熵 ()(ln)ln(ln)dUYdyd Nddyd y dddy y dd ln)ln(lnln)ln( * )(ln)ln()ln( ddd * )lnln(ln d TdS

5、TdSdNYdydU 由开系的热力学公式由开系的热力学公式 8 )lnln(ln dTdS )lnln(ln kS 熵熵 kT 1 kT (ln)SkUN lnkS ()dUYdyd N (lnlnln)dSkd ln U lnN 与玻耳兹曼关系比较与玻耳兹曼关系比较 TdSdNYdydU kT 1 kT 9 )(lnNUkS l ll ll EB a a )!1( ! )!1( . . ln() ln()lnln(6.7.4) B Ellllllll lll aaaa 对于玻色分布对于玻色分布 . ln() ln()lnln) B Ellllllll lll Skkaaaa . ln() l

6、n()lnln) B Ellllllll lll kkaaaa 能否推导出 10 lnln(1)(8.1.3) l l l e 1 l e a l l l ll a a e l l ll l a a ln ll l a e l 1 ln l l ll a ll aU l aN ()ln() ll llllll l a UNaaaa a (ln)(lnln() lll ll lll a SkUNka aa . ln B E k )(lnNUkS 11 )(lnNUkS . ! !()! l F D l lll aa . lnlnln() ln() F Dllllllll lll aaaa 对于费

7、米分布对于费米分布 . ln(lnln() ln() F Dllllllll lll Skkaaaa . ln(lnln() ln() F Dllllllll lll kkaaaa ？ 12 lnln(1) l l l e 1 l l l a e l ll l a e a ln ll l l a a 1 l l ll e a ln l l ll a ll aU l aN ()ln() ll llllll l a UNaaaaaa a (ln)(lnln() lll ll lll a SkUNka aa . ln F D k 13 )(lnNUkS 1 (ln)(ln)SkUNkUN kTkT

8、kT 1 kT ln ln kTUNTS kTUNTS 14 勒让德变换 15 玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间 可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹曼统计描述。可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹曼统计描述。 1 l e a l l l ea ll 1 e 一、一、 弱简并气体弱简并气体 1 l e a l l (1) ll l ee 虽小但不可忽略虽小但不可忽略 e )1( 1 1 1 lll eee 1 1 1 l l

9、 e e xx x ee e 2 1 1 1 进一步保留到 第三项做论文 16 考虑平动考虑平动 m p 2 2 dm h V gdD 2/12/3 3 )2( 2 )( daDN)()( 0 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 l e d m h V g 3 / 21 / 2 3 0 2 (2)(1) ll V gmeed h )()2( 2 2 0 2/1 0 2/12/3 3 dedeem h V g ll ) 2 1 1() 2 ( 2/3 2/3 2 eVe h mkT gN 总粒子数总粒子数 粒子微观状态数粒子微观状态数 6.2.17式式 17 0 ()()UDad ) 2 1

10、 1() 2 ( 2 3 2/5 2/3 2 ekTVe h mkT g 两式相除得到两式相除得到 5 / 2 31 (1) 22 UN kTe 内能内能 ) 2 1 1() 2 ( 2/3 2/3 2 eVe h mkT gN 又又 xx x ee e 2 1 1 1 18 23 / 21 / 21 / 2 3 00 2 (2)() ll V Ngmeeded h de l 0 2/1 2 3 2 0 2/12 0 2/1 22 e deede l ,t令 dtdt 1 , 1 2 1 2 1 2 1 则 2 3 2 3 0 2 2 3 0 2 1 2 3 0 2/1 2 4 22 1 2

11、dyey dtetde y t l 附录附录 C.15 ) 2 1() 2 () 2 1( 2 )2( 2 )()2( 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2/3 3 2 0 2/1 0 2/12/3 3 e Ve h mkT g e em h V g dedeem h V g ll 近似求解过程：近似求解过程： 19 x e 2 3 2 1 令 eee ee e e e e xx xx x x 2 5 22 2 3 2 5 2 1 1 2 1 2 1 1 )1)( 2 1 1( 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1() 2 ( 2/3 2/3 2 eVe h mkT g

12、N ) 2 1 1() 2 ( 2 3 2/5 2/3 2 ekTVe h mkT gU xx x ee e 2 1 1 1 ) 2 1 1( 2 3 2/5 eNkTU 20 二、二、 弱简并条件物理含义弱简并条件物理含义 利用玻耳兹曼统计的结果利用玻耳兹曼统计的结果 1 Z N e 2/3 2 ) 2 ( 1 mkT h gV N 1 ) 2 ( 1 2 1 1( 2 3 2/3 2 2/5 mkT h gV N NkTU 第二项：微观粒子全同性引起的量子统计关联导致的第二项：微观粒子全同性引起的量子统计关联导致的 附加内能附加内能 费米粒子费米粒子相互排斥相互排斥；玻色粒子；玻色粒子相互

13、吸引相互吸引。 第一项：根据玻耳兹曼分布得到的内能第一项：根据玻耳兹曼分布得到的内能 5 / 2 31 (1) 22 UN kTe 21 一、玻色气体的化学势一、玻色气体的化学势 1 1 kT ll l ll e e a 玻色分布下一个能级的粒子玻色分布下一个能级的粒子 数数 0 1 l l l kT a e 取最低能级取最低能级 0 0 0),(VTN 1 1 kT l l l e VV N n 在粒子数给定情况下，在粒子数给定情况下， 与与T T的关系的关系 随温度的升高而降低随温度的升高而降低 kT 1 kT l e 0 T 0 c T 22 连续化连续化 1 )2( 2 2/1 0 2

14、/3 3 kT e d m h n .)2( 2 )( 2/12/3 3 dm h V dD 1 1 kT l l l e VV N n 00 1()1 () () l l ND na dDad VVV 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 c kT e d m h n 临界温度临界温度Tc：所有玻色粒子都在：所有玻色粒子都在 非零能级的最低温度非零能级的最低温度 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 0 kT e d m h nn 0 能级能级 0 能级能级 c TT 0 n 可以忽略可以忽略 c TT n0可以和所有激发态能级上粒子数相比较，即粒子都往可以和所有激发态能级上粒子数相比较

15、，即粒子都往 能级聚集。能级聚集。0 23 用8.3.5式的积分替代8.3.4式的求和时，由于状态密度中含有因子 ， 在改写时能量为零的项被丢掉了。 与8.3.6 式相比 1 / 2 3 / 2 3 0 2 (2)(8.3.6) 1 c kT d nm h e 24 0, c TT 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 0 kT e d m h n 0 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 x e dxx mkT h 3/2 2 3/2 )612.2( 2 n mk T c c kT x 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 x c e dxx mkT h 1 )2( 2 )( 2/1

16、0 2/3 3 2/3 x c c e dxx mkT hT T 2/3 )( c T T n )(1 2/3 0 c T T nn n n 0 T c T T 0 c T 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 c kT e d m h n 令令 1 / 2 0 2.612 12 x xdx e 1 / 2 3 / 2 0 3 0 2 :( 2) 1 c k T d TTnnm h e 0 /nn 25 0)(1 2/3 0 c T T nn 0 0 n T T nn c 2/3 0 )( c TT 玻色粒子都在高能级。玻色粒子都在高能级。 0)(1 2/3 0 c T T nn 0 0 n

17、 T T nn c 2/3 0 )( c TT 高能级装不下所有玻色粒子，高能级装不下所有玻色粒子， 必有可观数目粒子出现在零能级。必有可观数目粒子出现在零能级。 玻玻 色色爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚。 26 27 因此，为了容易实现玻色爱因斯坦凝聚，需要因此，为了容易实现玻色爱因斯坦凝聚，需要 提高临界温度。提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。 二、热力学量二、热力学量 1 )2( 2 2/1 0 2/3 3 kT e d m h n 1 )2( 2 2/3 0 2/3 3 kT e d m h U 2/3 )(770.0 c T T

18、 NkT 2/3 )(925.1 c V T T NkC 3/2 2 3/2 )612.2( 2 n mk T c TTc，理想玻色气体的，理想玻色气体的Cv与与T3/2成正比，成正比， T=T c达极大值。达极大值。 高温时趋于经典值高温时趋于经典值Nk 2 3 TT2T1 46 3. 压强、辐射通量密度压强、辐射通量密度 2 23 V d c d 中量子态数中量子态数 0 2 32 )1ln()1ln(ln de c V e l l l kTx/ 0 2 332 )1ln( )( 1 lndxex c V x 分部积分分部积分 0 3 0 3 0 2 13 1 )1ln( 3 )1ln(

19、x xx e dxx e x dxex 33 2 0 3 332 )( 1 451)( 1 3 ln c V e dxx c V x l 47 33 2 )( 1 45 ln c V 4 33 42 15 lnT c Vk U 4 33 42 45 ln 1 T c k V p V U p 3 1 44 cc U Ju V 3 33 42 45 4 )(ln)ln(lnT c Vk UkkS 平衡辐射通量密度平衡辐射通量密度 24 4 23 60 k T c 习题习题7.2结果结果 习题习题8.11结果结果 48 NkTU3 NkC V 3 每个原子贡献一个电子，每个原子贡献一个电子， 晶格中

20、的自由电子气体。晶格中的自由电子气体。 近独立，高电导率高热导率近独立，高电导率高热导率 晶格晶格三维线性振子 电子对热容量的电子对热容量的 贡献未计！贡献未计！ 一、固体一、固体 49 量子性质：金属中的自由电子形成强简并的费米气体量子性质：金属中的自由电子形成强简并的费米气体 例例Cu： 3 .9.8cmg 密密度度 63 原原子子量量 6 2 8-3 00 8 .91 0 nNN8 .51 0 6 3 m mM kgm 31 101.9 3 272 3 3 2 3 .5 41 0 3 4 0 01 2 Nh en Vm k T T 3 1n非简并条件非简并条件弱简并弱简并强简并强简并 室

21、温300K 50 二、二、T=0K 1. 费米气体费米气体 一个量子态的平均费米粒子数一个量子态的平均费米粒子数 电子电子 g=2； d 间粒子数间粒子数 1 / 2 3 / 2 3 4 (2) 1 kT Vd m h e 1 1 kT e f 每个量子态上最多能容纳一个粒子（费米子遵从泡利原理）。 1 l l kT a e 服从费米分布 3 / 21 / 23 / 21 / 2 33 24 ()(2)(2) VV Ddgmdmd hh 粒子微观状态数粒子微观状态数 6.2.17式式 ()fDd 51 N e d m h V kT 1 )2( 4 2/1 0 2/3 3 ),(VTN 对能量积

22、分得到粒子数总数对能量积分得到粒子数总数 2. 化学势化学势 1 1 1 kT f e kT T 1 ,0 )0( 0 f )0( 1 f f 1 Ndm h V )0( 0 2/12/3 3 )2( 4 Nm h V 2/32/3 3 )0()2( 3 8 泡令不相容原理泡令不相容原理 1 / 2 3 / 2 3 0 4 (2) 1 kT Vd m h e 52 3/22 2 )3( 2 )0( V N m 费米能级费米能级 m p 2 )0( )0( 2 费米动量费米动量 3/12 )3()0( V N p Nm h V 2/32/3 3 )0()2( 3 8 能量能量 53 (0) 3

23、/ 23 / 2 3 0 4 (2) V md h 内能内能 2/52/3 3 )0()2( 5 8 m h V )0( 5 3 N 例例Cu 328 105.8 m V N eVJ V N m 0.71012.1)3( 2 )0( 183/22 2 1 / 2 3 / 2 3 0 4 (2) 1 kT Vd Um h e 1 / 2 3 / 2 3 4 (2) 1 kT Vd m h e d 间粒子数间粒子数已求出已求出 费米能级费米能级 54 费米温度费米温度)0( F kT Cu: KT F 4 102.8 )0( 5 2)0( 3 2 )0( n V U p Pa 10 108.3 零

24、温电子气体压强零温电子气体压强简并压简并压 习题习题7.1结果结果. 中子星中子星 55 三、三、T0K 2 1 f 2 1 f 2 1 f f 1 2 1 1.平均粒子数平均粒子数 1 1 1 kT f e 粒子分布只在粒子分布只在 附近（附近（kT量级）有变化量级）有变化 56 57 Cu 室温室温 260 1 F T T 与晶格的热容量相比，电子贡献可以忽略。与晶格的热容量相比，电子贡献可以忽略。 只有费米能级附近只有费米能级附近 能级中电子可以跳到费米能级之上。即吸热，对能级中电子可以跳到费米能级之上。即吸热，对 热容有贡献，有效电子数热容有贡献，有效电子数 kT N kT N e 每

25、个粒子贡献热容量每个粒子贡献热容量k 2 3 )( 2 3 kT NkC V )( 2 3 F T T Nk 2. 热容量估计热容量估计 58 59 3. 电子气体的热容量的精确计算电子气体的热容量的精确计算 电子数N满足 60 参考教材P243页的推导过程，可以得到 61 准粒子，准电子，有效质量 实际电子处于周期场中而非近独立，电子之间具有库仑斥力，屏蔽效应 62 )(lnNUkS . ! !()! l F D l lll aa . lnlnln() ln() F Dllllllll lll aaaa 对于费米分布对于费米分布 . ln(lnln() ln() F Dllllllll ll

26、l Skkaaaa . ln(lnln() ln() F Dllllllll lll kkaaaa ？ 63 lnln(1) l l l e 1 l l l a e l ll l a e a ln ll l l a a 1 l l ll e a ln l l ll a ll aU l aN ()ln() ll llllll l a UNaaaaaa a (ln)(lnln() lll ll lll a SkUNka aa . ln F D k 64 玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间 可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹曼统计描述。可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹曼统计描述。 1 l e a l l l ea ll 1 e 一、一、 弱简并气体弱简并气体 1 l e a l l (1) ll l ee 虽小但不可忽略虽小但不可忽略 e