建筑结构试验第六章结构的静载试验重难点辅导

1、第六章结构的静载试验 在第六章结构的静载试验中只介绍一种最常用也最基本的构件，就是梁的静载试验，在梁的试验当中，只介绍其中的试验观测部分，就是观测它的挠度，应变和裂缝。另一部分内容为结构静载试验的数据处理与分析。一、梁的静载试验（一）挠度观测 对于一个结构来讲，最主要的是它的整体变形。对于梁就是挠度，挠度是梁性能当中很重要的一个性质。同时通过挠度的变化，也能看出梁中间某一部分，局部出现破坏的部分，它在挠度上也有很明显的反应。因此，对于观测挠度，实际上是观测梁变形当中最基本的观测。 1最大挠度观测在观测梁的挠度的时候,要充分考虑两个支座的沉陷。教材图62(a)。在图上表示的是这么一个梁，在没受力

2、之前，当然是直的，而且支座在图上这个位置。当加上一个力，受力以后，即使这个梁本身不变形，那么它由于支座的沉陷，也会使梁产生一个刚性的位移。比如说它左边位移一个YA，右边产生位移是YB，这个是支座沉陷，而在中点，这个最大挠度位置上，我们测得的这个读数，实际上它不是真正的挠度，而是包括梁的刚性位移。因此，我们在求最大挠度的时候，要把两个支座的沉陷的影响去除掉，就是Y代表位移的读数，包括刚性位移在内的。图上的就是梁真正产生的变形。根据它的几何关系，我们可以得到，首先减去左边支座，然后再减去这两个之差，然后再乘上一个测量挠度的位置被跨度来除的比例，这是测量梁的最大挠度。测量完最大挠度以后，实际上要把它

3、描绘成一个荷载和挠度的曲线。纵坐标用的是荷载，横坐标是它的挠度，然后可以描绘成一条曲线。这条曲线一般说来就是这样了，在开始阶段接近于一条直线。在某一个位置，比如说混凝土梁开裂了，当然挠度会突然增大，出现第一个拐点。以后随着它的开裂的发展，那么它的挠度就越来越大了，就是说它和荷载就不是线性关系了，荷载增加不多，但是挠度增加比较快，一般的混凝土梁的形式，大体上是这么个形式，这是做挠度的荷载关系的曲线。 在测挠度除了做荷载的关系曲线之外，还要做某一级荷载下梁本身的变形，各个点的变形，把这个变形，叫做梁的挠度曲线。 教材图62（b），下面看这个图，要想做出挠度曲线，要在这段跨度之内，包括这两个支座之内

4、，最少要设置五个测点，这样才能连出一条曲线来。当然，你设置测点时候，两端这两个测点是在支座处，测量支座的沉陷，那么其它每个测挠度点，距某一个支座，当然图上画的是左边支座，都要有固定距离。这个距离也要事先量好，同样得到它的读数，这个读数都包含了支座沉陷引起的梁的刚性位移。那么在做出挠度的时候，也和上面讲的一样，要把刚性位移去掉，计算它的几何关系实际和上面一样。就是说它的某一点的读数减去其中一个支座的位移，然后再减去这两个支座位移的差，乘上测点所在位置与跨度之比，这样就可以求出第一点的挠度，第二点的挠度，第三点的挠度，求出每一点挠度以后。就可以把这五点挠度连成一条曲线，而这个曲线要在每一级荷载下都

5、要做一条。整个试验做完了，那就从第一级荷载，第二级荷载，第三级荷载，每一级荷载都有一条曲线。 2转角的观测。 测量梁的转角主要是测量梁的曲率，实际上目的是测量梁的曲率。一般就是在一根梁没有变截面的情况下，等截面的某一段要取两个截面，然后分别测出这两个截面的相对转角，当然就可以求出曲率了。那么测量相对转角的时候，就是倾角仪了，测什么呢？测每一个截面转角，然后把这两个转角之差求出来，那么就是这两个截面的相对转角。 （二）测量梁的应变1选取测量应变截面的原则应变是反应梁局部变形的一个量，所以测出来就是某一个截面的应变，因此这个截面要选择的有代表性，一般选择这么几个部位。 首先，要选择在弯矩或者剪力最

6、大的地方。因为弯矩最大，当然，那个地方正应力最大。剪力最大是它剪应变最大，那么对混凝土来讲是它的拉应力最大。这是一个特点。第二个特殊的地方，就是弯矩和剪力均比较大的截面。那就是说，虽然弯矩也不是最大，剪力也不是最大，可是这两项同时都比较大，那么这时候，由于弯矩和剪力共同引起来的应力可能是大，就是说有可能它变成最大，因此，这样的位置也应该观测。第三个要观测的是截面面积突变的地方。因为截面面积突变，那么这个地方的应变就有可能产生突变，所以这也要观测。第四项要观测的位置，就是抗弯或者抗剪控制截面，就是我们在做设计的时候的控制截面。这个控制截面当然是这个梁最薄弱的截面。一般测应变测量都选择这四个方面，

7、去考虑你要观测的某一个部位。教材图63。具体做法，大家看图,（a）这个图是表示是一个简支梁。它的左边是个固定支座，它的右边是个活动支座，是固定的简支梁。上面作用了两个两个相等力，这个简支梁分成这么几段，在这两个力中间这一段是个纯弯段，它的剪力等于零，只是弯矩作用，而在支座到力之间是剪力和弯矩共同作用的区段。 对于一般的做研究性试验的梁，大多采用这种加荷模式，用两个相等的力作用在简支梁上。它的好处就是中间形成一个纯弯段。那么，我们在研究正载面的强度的时候，正好研究中间这一段，因此它就没有剪力的影响，就单单是有弯矩的影响，而在两端主要是剪力的影响，弯矩就逐渐逐渐减小了。2纯弯区域的应变测量在纯弯曲

8、段应变的测量里面有这么几项，最大应变的测量，应变的分布测量，受压区高度测量，还有受拉主筋的应变测量。 教材图63。大家还看这个图。假如只研究最大应变的话，只要在梁的上下两个表面贴应变片就可以了，就像图（b ），只研究它最大的应变的情况。如果要研究这个梁，沿着某一个截面，也就是1-1截面应变分布的情况，当然要在这个截面上均匀的贴应变片。一般要想研究一个截面，应变片肯定要贴五片以上。 对于混凝土梁另外一个重要的观测是观测什么呢?观测极限状态下也就是说接近破坏状态下，它的受力情况。 那么，这个时候一个是观测混凝土的受压区高度。因此，这个时候也是要在截面上贴电阻片或者用手持式来测它的应变。然后，看它受

9、压区高度的变化。另外一项观测，观测受拉主筋上面的应力。因为，混凝土一开裂以后,它的受拉，实际上要靠受拉钢筋来承受。因此，测量受拉主筋的应变也是很重要的一个项目，一般测量受拉主筋上的应变采用下面的办法来张贴应变片。其中一种办法，就是在混凝土上预留上一个洞。在打混凝土的时候就先做好一个木块来把它绑到钢筋上，然后打混凝土，打完混凝土把这木块再取掉，这样钢筋就露出，这块地就留了一个空洞，这空洞钢筋就露出来了，就可以在这上贴电阻片。如果要用手持式测量，就是留两个圆的空洞，也是用两个木块做成两个木楔，把它固定在钢筋上，然后打混凝土，混凝土固化以后再把两个木楔去掉，这样就留下两个空洞。这两个空洞为手持式测量

10、，剖面图见教材图64。3弯矩与剪力共同作用区域弯矩与剪力共同作用区域，也就是从支座到受力点这个区域内它的应变测量。这个区域内因为它有剪力和弯矩的共同作用，所以它的应力状态是个复杂的应力状态。你要想测复杂的应力状态的应力，那当然就得要贴应变花才能测量。比如说教材图63（a）的2-2截面。这个2-2截面它的弯矩最大，剪力当然整个都一样大了，那么剪力也是大的，这个截面要测量。同时，假如要研究这个区的应力分布，就在这个区内要打出网格，在这个网格上贴很多应变片，最后可以找到这个区内应力的分部情况。上面说的是弹性阶段的。假如说在极限状态下，当然混凝土已经都开裂了，钢筋承受主要拉力，那么同时还要测在这个区域

11、内的各种钢筋的作用，这里包括受拉的主筋，包括附筋，也就是箍筋或弯起钢筋。教材图65。因此，就要在它内部的钢筋上贴应变片，那么这个应变片，就是大家看这个图。它这上面一个受力主筋要贴应变片，要知道受力主筋的应力状态，同时要在它箍筋上，就是说裂缝可能通过的箍筋上也要贴应变片；在弯起钢筋上也贴应变片；这样才能找到整个梁在极限状态下的受力状况。 在测量过程当中，为了能够正确的掌握测量有没有错误或者是不是正常，一般要设置校核测点，这个校核测点大多选择它的应力是已知或者应力为零的位置。对于简支梁，应力为零就是这个角上的这个位置它的应力是零，因此把3-3这个截面也可以贴电阻片，见教材图63。这个电阻片当然因为

12、它的应力基本是零，它在你测过程中应该没有变化，把这个点可以称为校核点。验证一下你的仪器工作是否正常，假如说仪器工作正常，当然这个点的应变应该是没有读数，如果读数变化很大，那就是说明整个的测量就不稳定了。4其它测点其它测点就包括在研究梁的时候，比如说有的时候要研究应力集中。假如说薄腹梁为了减轻自重，薄腹梁中间可能要掏空，可能做个圆洞，在圆洞周围应力就要发生变化，那么这个周围应力集中情况，比如我们要去考察，那么就在圆洞的周围要贴电阻片来研究它的应力集中情况。另外一种情况，就是梁的上翼缘比较宽，这实际上就是现浇板的情况，就是说有一个梁上面有现浇板，研究这个板究竟有多宽的板来参加它的工作。另外，有些梁

13、上翼缘做的很薄，它可能不能按照一般的T型梁来算，那么研究这个情况的时候，就是在上翼缘也应该测量上翼缘的应变，看看它在上翼缘的分部是不是均匀。教材图66。假如说像图上这个，你按照T型梁来考虑的话，它上翼缘各处的应变应该是均匀的。如果这个翼缘太宽，那么它的受力情况就不一定均匀了，边上的应变就可能小了。就是说在计算的时候，就不能完全取T型梁翼缘宽度的时候，就应该考虑应该取多宽，所以研究这个变化，就在这个上表面应该是贴比较多的电阻片，它的下边对称的也贴一些电阻片，这样来测量它的应变。（三）裂缝观测1裂缝观测和它的描绘在裂缝观测里有这么几项内容，第一个是发现第一条裂缝，第二项是裂缝宽度的测量，第三项就是

14、裂缝开展的描绘。（1）发现第一条裂缝发现第一条裂缝对结构试验来讲是很重要的。因为，它关系到正确的确定开裂荷载。混凝土结构的开裂荷载是它一个重要的性能指标，根据现在的试验技术发现第一条裂缝，最基本的就是用普通的放大镜，一般要求能放大四倍以上的普通放大镜，用肉眼去观测到的裂缝。为了使发现能够及时，也可能采取一些补充手段。补充手段是这样，一般在纯弯段的受拉区，可以用手持式也可能用电阻应变片来辅助观测裂缝的出现。一般说来在标距内，用手持式测量或者用应变片测量，在你测量的标距内，要出现裂缝的话，当然它的应变会急剧增长，所以这也可以看出来这个地方出现裂缝了。教材图67（b）。假如是在你观测的标距之外出现，

15、对它的反应可能是它急剧的缩小，教材图67（c）那样它应变急剧缩小，这也说明在你这个位置出现裂缝，但是这种发现只是一种辅助性手段。它问题在什么地方呢？当然因为它图上画的出现裂缝是比较突然，一下子就出现了，但实际上你用应变仪来测，它灵敏度很高，所以这个实际上变化也是一个很长的过程。 在你取过程的什么位置，对确定开裂荷载的影响也很大，所以这个一般的它只提供参考，就是提醒你在这个地方快开裂了。最后，第一条裂缝的出现，当今这个阶段为止，还是以放大镜看到的那个裂缝为准。 当然，对斜裂缝的观测也一样，你可以在斜裂缝出现的位置上贴电阻片，来辅助观测裂缝的出现。（2）裂缝宽度的测量裂缝宽度测量，现在用的主要是刻

16、度放大镜。 刻度放大镜现在有两种：一种本来是用在纺织行业检察布匹质量的，那么它的刻度值是0.05毫米，也就是5%毫米。还一种是机械行业用的测量，它的精度可以到0.01毫米，也就是1%毫米，就是一般可以用这个来测量裂缝的宽度。（3）裂缝的开展和描绘1）裂缝的开展和描绘，这也是做梁的试验很重要的一项工。因为裂缝的开展情况，例如，最后裂缝的距离以至裂缝分布的密度情况都与混凝土结构的性能有关系。比如说一个梁，裂缝的距离很大且是裂缝宽度也很大，那就说明这个梁的钢筋和混凝土的握裹力不是太好，裂缝的分布距离与梁的刚度关系也很大。所以在做混凝土试验的时候要仔细描绘裂缝。描绘的办法就是距离这个裂缝1毫米到3毫米

17、之间用铅笔描一个裂缝的开展情况，这个开展情况就是在某一级的荷载下，比如说加到某一级荷载，就把这个裂缝描到某一级荷载，而且在这个裂缝的末端画一条小横线，这条横线附近要注上这级荷载是哪一级，同时要量出裂缝宽度，把这一级荷载下的裂缝宽度也注在旁边，这样一级一级注下去，直到最后梁已经做到破坏了，那么把荷载都卸掉，有的裂缝就可能闭合了。但是你这个描绘的铅笔线还保留，所以你可以根据这个铅笔线最后描绘一张很详细的裂缝开展图。从这个图上可以看出来，这条裂缝在那级合载下开展到什么位置，它裂缝宽度是多宽，这个图上都可以记载的清楚。同时对裂缝也要进行编号，这个编号就是出现一条裂缝就给它一个编号，出现第一条裂缝就编号

18、它是一，那么第二条出现编号二，按照出现的顺序来进行给它编号，这就是对裂缝的开展的描绘。2）开裂荷载实测值的确定开裂荷载实际上是构件在正常使用状态下一种承载能力的表现。，这个荷载应该如何理解呢？开裂荷载实际上是这个构件不开裂的情况下能承受最大的荷载。这个标准规定它是这样的，如果在规定的荷载持续时间结束后，出现裂缝，则将此荷载定为开裂荷载实测值，它这个文字是这么说，实际是什么意思呢？ 就是说荷载过程是这样，你首先加荷，然后要维持一个持续荷载，维持一个持续时间，上面讲了，这个持续时间一般来说是十到十五分钟，它做生产检验的时候就是十分钟，那就是说加荷到维持十分钟这一段假如说不裂，那就表明这个结构能承受

19、这么大的力，这一级就说明它通过了。然后这级通过之后它又接着加载，再没加载到下一级之前，假如说开裂了，那么实际上这一段就是这级荷载，它的能力还达不到下一级，还是当前这一级。怎么理解本级荷载呢？就是加荷维持十分钟，那么这个时候要能够满足不开裂的要求，那么这个就叫本级荷载已经通过了。所以假如说本级在持续时间之后，十分钟之后开裂，那么就把本级荷载作为开裂荷载值。 第二条是这样，如果在规定的荷载持续时间内出现裂缝，则将此级荷载与前一级荷载的平均值定为开裂荷载实测值。 就是说它的荷载加到这级荷载值了，但是它的持续时间没维持到十分钟，就出现裂缝了，那么这个时候就把这级荷载值和前一级荷载的平均值作为开裂荷载值

20、。这个概念实际就是这样，因为它没达到持续时间，所以，就认为假如说你不加到这级荷载，假如说你加到这级荷载的一半，它也许就能够维持十分钟，所以它就这么来规定：在持续时间内出现裂缝，那么就取这一级和前一级的平均值。 还有一个特殊情况，如果没有及时的发现每一个条裂缝，就可以取荷载挠度曲线上的转折点的荷载值作为构件的开裂荷载实测值。 这个荷载挠度曲线，前面在讲测量挠度时已经讲了，测量它的最大挠度然后做一条荷载和挠度的曲线。这条曲线开始没出裂缝之前，保持近似是一条直线。它一旦出现裂缝，挠度会增加很多，把这个转折点作为开裂荷载的实测值。（四）承载力极限的观测对于混凝土结构还有一个重要的观测，就是承载力极限的

21、观测。承载力极限实际上就是这个结构的最大承载能力。 观测承载力极限就得对达到承载力极限有一个标准。比如说什么情况才认为达到承载力。一般都说达到承载力了就说这个结构破坏了，实际上在结构检验里，在预制构件的结构试验里，它规定，它把这种状态称为承载力丧失。因为承载力丧失它是有一个标准的。 承载力丧失和破坏有些不同。实际上承载力丧失，就是说它达到某一个标准，它的承载力丧失了。这时候，一般把它称为破坏。但是称为破坏并不是太确切。因为破坏的概念，好像是这个东西完全坏了。实际上，在某种标准下丧失承载力，这个结构还保持完整的。所以把这种状态叫做承载力丧失。而把这时候的这个标准，在一般做结构研究性试验的时候，都

22、把它叫做破坏状态。实际上，在结构性能试验的时候，把它称作承载力检验标志。就是说，达到承载力检验标志了，那么这时候就是承载力丧失了，这个标志有这么几条，其实它最基本的就是钢筋屈服或者是混凝土被压坏。当然还有，比如说锚固滑移等等。1梁的弯曲破坏怎么能判断钢筋屈服呢？梁弯曲破坏时的承载力检验标志，它有具体的指标来衡量。 第一，受拉主筋处的最大裂缝宽度达到1.5毫米，或者挠度达到跨度的五十分之一。这是一条最基本的标准之一。 就是说受拉主筋处的裂缝宽度是1.5毫米，或者是虽然裂缝宽度没达到那么多，但是它的挠度已经达到跨度的五十分之一了。这个时候，就认为达到这个标准，认为承载能力丧失了。实际上，这是钢筋曲

23、服的标准。那么，在这种状态下就认为钢筋屈服了。这种破坏标志，实际上设计混凝土梁正截面的时候，计算的极限状态。第二，受压区混凝土破坏，这个是指受拉区的裂缝宽度没有达到1.5毫米。它的挠度也没达到五十分之一的条件下，但是受压区破坏了。第三，受拉主筋被拉断。后两个，实际上是我们设计钢筋混凝土梁的时候，是要避免的两种情况，因为这两种破坏情况，丧失承载力的情况都是脆性的。这是受弯构件的三种标志。2梁的抗剪破坏抗剪破坏第一项，就是腹部斜裂缝达到1.5毫米，或者斜裂缝末端受压区混凝土剪压破坏，这种检验标志也是最基本的了。这是因为做钢筋混凝土斜截面设计的时候，实际上就是按照这种破坏状态来做的。它的斜裂缝已经开

24、展的很大，比如说达到1.5毫米，或者是裂缝很长了以后，它受压区被压坏了，抗剪破第二项，就是沿斜截面斜压破坏，或者是受拉钢筋端部滑脱，或者是锚固破坏。梁的承载力检验标志，一般说来就这么五条。 在教材第一章序论的表11，承载力检验系数允许值也有。这个是大家应该掌握的。从这里也可以看出一点，因为它这个标准，比如说受拉主钢筋处最大斜裂缝宽度达到1.5毫米，所以同时也就意味着我们在量测这个裂缝宽度的时候应该量测在那个部位，当然应该量测主筋处的最大宽度，别的宽度都不算数了，因为用它主要是反应钢筋屈服的状态。（五）承载力极限实测值的确定承载力极限实测值，实际上它也是一种承载能力，就是说反映结构的承载能力。它

25、应该是什么呢？应该是不出现承载力检验标志的最大的那个荷载值。所以它的规定类似开裂荷载实测值的规定。第一条是，在规定的荷载持续时间内，出现上述承载力检验标志之一时，应将本级荷载和前一级荷载的平均值，作为承载力检验荷载实测值。这是在持续时间内出现这个标志，任何一种标志，都算它丧失承载力，所以这时候，把本级荷载和前一级荷载平均值，作为荷载的实测值。 第二条是，如果在规定的荷载持续时间结束后，出现上述检验标志之一时，应将本级荷载，作为承载力检验荷载实测值。这个类似于开裂荷载一样，都是在荷载持续时间以后，假如说出现标志了，那么就说明已经具有本级荷载这么大的承载能力，所以就把本级荷载作为承载力的实测值。二

26、、结构静载试验的数据处理与分析（一）误差、真值及其分类1误差、真值与相对误差所谓真值，实际上就是一个物理量的固有的量度。比如说一个物体，它有一定的长度、有一定的重量。那么这个长度和重量是它固有的，是不随着人们的测量而改变的。用来表示这个真值。测量量就是用仪器对一个物理量测量得到的量度，一般用X来表示。 测量量随着所用仪器的不同和人的不同，对同一个物理量进行测量，得出这个值都不会相同。因为测量的时候有误差。 误差用什么来衡量呢？就是用测量量和真值之差，把这个就叫做误差，一般用来表示。就是等于测量值和真值之差。这个误差是绝对误差。但是有的时候用绝对误差不能表示你测量的精确程度。比如说，对一米的一个

27、物体进行测量，误差假如是一个毫米。对一百米的一个物体进行测量，假如误差也是一个毫米。虽然绝对误差都是一毫米，但实际上测量的精密度却差很多。大家都知道，对一百米测量误差是一毫米，实际上就很精密了，可是对一米测量误差是一毫米，那相对来讲就粗糙一些。因此只用绝对误差还不能够明确表示误差的大小。 所以，引入一个相对误差的概念。所谓相对误差，就是用它的测量值去除这个绝对误差，那么得到就是相对误差值。这个相对误差值能够比较好的表示对测量的精密程度。2误差的分类引起测量误差的原因是很多的。因此，对于误差要进行一些分类，一般的主要分成这么两类，一类叫做系统误差，一类叫做偶然误差。 （1）系统误差系统误差就是有

28、规律的和重复的误差。那么这种误差，就是说你可以找到引起误差的原因。 而且它能够重复，你只要把外界条件改变成完全一样，它的误差还会出现，而且这个误差总是偏向一个方向，假如说测量值比真值大，那么它就总是偏大。 引起系统误差的原因有这么几个方面：一个是测量方法不完善；第二个是仪器仪表有缺陷；第三就是气象条件变化；四就是仪器仪表未校准；第五就是测量人员生理特性及习惯等等。 一般就这么五类条件。比如说气象条件变化，你测量的时候温度发生变化或者湿度发生变化，那么，这个仪器读出的读数就会有变化。测量方法不完备，这个用不着太多解释，就是说你的测量方法有缺陷，当然肯定就会有误差了。那么你要改进，当然就是你要改进

29、测量方法，要改进仪器。测量人员的生理特点，是这样，尤其是指针类的仪表，在读数的时候前头有刻度，最后一位总是要有估计值，这个估计值有的人估计总是偏小，有的人估计总是偏大，这样也会造成误差。这一类误差，因为它可能找到产生误差的原因，因此要消除这个误差，你就要针对它引起的原因去解决。在误差分析里从数学讲是无法处理这类误差的。（2）随机误差随机误差是由于偶然因素引起来的，这种引起误差的因素人们是找不着的，它是随机的发生，不能重复。误差分析里，主要是通过数学方法来处理这类误差。（二）随机误差的分布及其性质随机误差它是不可避免的，而且人们找不到产生随机误差的原因。那当然就要对误差是如何分布的和它有什么性质

30、来进行分析，以便通过数学的方法来把它消除。经过大量的试验以后，人们发生随机误差有这么几条规律。 1绝对值相等的正误差和负误差出现的概率是相同的。2绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。3绝对值很大的误差出现的概率近于零。这是偶然误差的一个不变的规律。从第一个特性就可以推出什么呢?就是当N趋于无穷大的时候，那么，所有误差之和应该等于零。因为它有正误差和负误差出现概率相同，所以当然正负就互相抵消了，所以它们之和等于零。 经过很多年的研究，人们普遍认为随机误差遵循正态分布规律。正态分布，大家在过去的学习中经常遇到。它是这么一种分布，分布函数用F(X)来表示，这是什么意思呢？就是说

31、，随机出现的随机数，它小于等于某一个值的概率，就把这个叫做分布函数。那么正态分布的分布函数像公式表示这样，它是一个定积分，就是从负无穷到X的某一个值的积分，这就是这个随机数的分布范围。它的分布值，主要是受两个参数影响；其中一个是用来表示的，在数学上叫做数学期望。另外一个是用来表示，数学上叫它均方差。那么一个正态分布，当然就受这两个数来控制，这两个值要是定了，实际就可以按照正态分布表去查出来分布函数值。也就是随机数小于等于X的出现概率。把这个积分号里面一项单独拿出来，用p（）来表示，把它叫做分布密度函数，这个函数写起来当然是比较复杂，但是它的规律是很简单的。分布密度函数有这么一个特性，是一个对称

32、的函数，那么，它以什么为对称呢?以它的数学期望值为对称轴，左右对称。那么它的分布，刚好和误差分布是一样的。误差分布也是，靠近平均值的出现的次数特别多，所以它的分布密度特别高，而且是正误差和负误差是相等的。那么出现大误差的概率越来越小，要是很大的概率基本上就接近于零了。这说明，随机误差服从正态分布。所以，我们测量的绝大多数测量值，都服从正态分布,而它的数学期望，在我们测量当中，实际上就是真值。测量值和真值之差，当然就是误差了。 在数学上，这个数学期望值实际上它是客观存在的，但是人们是找不到。因为，它是个极限。同样，在我们测量当中，这个真值是物理量固有的量度，它也是客观存在的，但是我们是测量不出来

33、的，我们测量必然是带着误差。 由于测量误差服从于正态分布，正态分布的规律就完全适应于测量误差了。正态分布的规律取决于两个数，一个是数学期望，一个是均方差。均方差的特点是，均方差越小，分布密度函数越集中，它的峰值越高，函数越窄，越靠近区域值。就是说，均方差越小，随机数就更靠近数学期望值。那么对于测量误差来讲，假如你测量的误差越小，那么它就越靠近平均值。 利用正态分布的原理，我们就可以找到用那个值来表示测量值最好。我们对一个物理量进行测量的话，你测量多少次，如你测量十次就有十个测量值，量一百次就有一百个测量值。那么究竟用哪个值来真正代表你所要求的那个测量值呢？它的误差怎么去估计呢？就是下面要介绍的

34、测量数据的参数估计。（三）测量数据的参数估计这里头，先说两个名词，一个叫母体，一个叫样本。所谓母体，就是测量值的可能取值的总体，这个母体当然是很多了，就是无穷多个。 一个物理量，我们对它可能进行多少次测量，就有多少个测量值。实际上你可以测量无穷多次，当然它的母体是很多个，实际是很多个测量值的组合。有些物理量，你测量不了这么多。所以，母体是一个无穷大的一个数列。 那么样本，实际上是我们进行试验的时候，对它进行几次测量得到的测量值。因为你测量总是有限次的，所以这个样本就是母体当中的几个。 测量值的估计值。我们测量的目的，是为了求得真值。但实际上真值是你测量不到的，你只有测量无穷多次才能得到真值。我

35、们当然不能测量无穷多次，只能测量有限次。因此，我们得到的值只能是真值的估计值。那么用什么做估计值最好呢，当然通过数学上证明就是用它的平均值。也就是说估计值用什么表示呢？用上面加一个号来表示。真值的估计值用什么表示呢？用X上面加一个横杠，表示对测量值的平均值，那么假如说做N次测量，那当然就是N次的平均值，也就是把N个测量值加起来被N来除，这就是真值的估计值。见教材101页公式（619）。 但是测量的时候一般分成两类，一种是大样本。叫做大样本的测量，就是说我们对一个物理量进行很多次测量，一般最少也得大于三十次。那么，多的可能上千次上万次测量。那么对应大样本，另外一个就是小样本，对于咱们结构试验，多

36、半都是小样本。那就是说可能做几次或者十几次。虽然，我们对大样本的估计和小样本的估计，都用它的算术平均值来做为它的估计值。但是它的性质是不一样的。因为，假如说对某一个物理量先进行三次测量，得到一个平均值。我们再这个物理量，又做一个还是三次测量，又得到一个平均值。这两个平均值肯定是不同的，那么，这样就说明小样本得到平均值，实际上是有很大变动的。但是随着样本的增大，比如说我们做三次，然后做六次，做九次，做十二次，一直做到很多次的时候。那么，它的平均值就越来越趋于稳定。因此，它大样本，它的平均值实际上就逐渐趋于稳定了。所以，我们把大样本的平均值，就可以当作真值。而小样本的平均值，只能是真值的一个近似值

37、。比如说，大家在学建筑材料的时候，对混凝土的标准强度取值，那么它的取值，它要保证率要95%，那么取值它是平均值减去1.45，那么，那时候它就把平均值，因为统计混凝土的强度平均值，那是统计很多了，那基本是几千次上万次的，所以它是个大样本，就把它的平均值当作真值了。所以，就完全按照正态分布的函数值来确定它的可靠程度。但是，小样本实际确定可靠程度就不能完全按照正态分布来做。下面一个就是标准误差。标准误差在数学上实际上就是均方差的估计值,它的公式见教材101页公式（620）。上面加一个符号，等于S，这S我们称为标准差，标准误差，它实际上是根号下的所有的测量值减去平均值的平方和，然后被N-1来除，这也是

38、一个对均方差的估计值，这是在数学上已经证明了，这是最好的一个估计值。我们也就把这个当作标准误差。这个标准误差也是绝对数值的大小。因此，它还引入一个叫变异系数，用个来表示，它是标准误差平均值和X平均值之比，实际上这个变异系数就相当于前面说的相对误差了。因为，它不是绝对值大小，而是相对于平均值的这么一个相对值。 我们测量的目的，当然是为了求得真值。我们通过有限次测量，可以得到一个真值的估计，那么这个估计值，就是真值的估计值的可靠程度，用什么来衡量呢？就是用这个标准误差来衡量。假如说你这个标准误差很大，那就说明，虽然你得到了平均值，可是它距离真值的误差也会很大。 如果标准误差要小，那么它实际上就说明

39、你的平均值就更接近于真值，所以对于有限次测量来讲，那就是说你这个真值的估计值得到以后，也就是说算术平均值得到以后，那么这个标准差的作用，就是衡量你的测量的可靠程度的。你这个标准误差要小，可靠程度就高，标准误差要大，可靠程度就低。 上面介绍的是误差分析。通过误差分析就可以得到真值的估计值，比如说，我们通过测量就可以得到一个算术平均值，用来估计真值的。同时用标准误差来估计测量的可靠程度。（四）回归分析（第六章第六节的第三个问题）结构科学研究试验数据处理的最终目的，就是求得研究对象中各有关变量的变化规律，确定各变量间的依存关系。一般要组成两组无量纲的参数组合，做出图表及曲线，再求出经验公式。 我们做

40、科学研究的时候，其中有一个目的，就是要找到，比如说像结构试验就是要找到一些外力与中间的应力，与钢筋的应力或者混凝土的应力之间的数量关系。我们可以通过这个关系，求出混凝土的应力或者钢筋的应力，供我们设计的时候使用。建立这种关系的一般途径，就要做些试验，然后分析各种数量之间的关系。通过什么分析呢？可以通过图表，比如说列出表，来看变量之间有什么关系。另外可以做一些图，看图的变化规律究竟是直线还是曲线等等。最终要想应用，当然最好还是建立出经验公式。我们通过公式来进行计算。那么，建立经验公式这个过程当然可以是建立直线的，就是说某两个量之间是直线关系，建立一条直线，那么这个就叫做线性回归。这是建立经验公式

41、最简单的一种，当然还有其它的方法。咱们这门课实际上是一个入门，如果以后你们要去研究，还应该更深入的去研究各种曲线的建立方式。而建立两个量之间的关系，不一定是简单的量，比如说，不一定是外力和应力。一般的说来是要找到公式当中一些无量纲的变量群，就相当于我们做模型试验里面的相似判据一样，无量纲变量群之间可能有一些关系，最后建立起来各种变量之间的公式。 1回归直线的求法建立经验公式，最简单的当然就是直线，我们把这个方法叫做回归直线。假定我们有两个观测参数，一个是X，一个是Y，这个前面已经说了，这两个参数不一定是简单参数，可能是一些变量的组合最后算出来的。那么Y也可能是某几个变量组合算出来的。那么X和Y

42、是互相对应的，比如说X是3.1，Y是2.0等等。像这个表上列的都是一个X对应一个Y，一个X对应一个Y。如果把这个数据做在图上，见教材图626。3.15.25.56.07.58.08.19.510.512.013.015.016.017.52.01.82.03.02.43.03.63.44.84.85.05.45.06.0教材图626。就是以X为横坐标，Y是纵坐标，把那些相对应点，有一个X一个Y做出一点，再有一个X一个Y做出一点，这些点表示这些数据。相应的，其中X1对应Y1，X2对应Y2。那么总的是Xi对应Yi。我们再假定一条直线，直线方程就是Y=A+BX。每一点到这条直线都有一个距离，假如说，

43、用Xi代到直线里面得到一个Yi计算值，这个Yi计算值，当然，这点是在直线上。同时，对应Xi这个值，有一个Yi测量值。那么Yi计算值和Yi测量值之间这段距离，我们叫它“离差”。当然每一点到直线都有一个“离差”，那么现在我们任意假定一条直线，那么我们就得判断出来，怎么样的一条直线是最好。所谓最好，就是这些点到直线的“离差”，总体上来讲距离直线都特别近，那么这条直线才是我们所要求的。那就使这些点到某一条直线，到我们所要求的这条直线，总体上距离都很近。那么，这条才是最理想的。这就得从数量上去解决。 从数量上解决有这么几个，一个大家可能最直接想到的，就是把它“离差”加起来最小，这样，当然这些点的距离有可

44、能最近。但这个办法有一个问题，就是说你这个点到直线的“离差”可能有正有负，那么加起来，比如说，正负假如相等的话，抵消了。所以，这点距离直线挺远，加起来也可能很小，所以，用这个直接求和是不行的。另外一个，当然想到可能用绝对值，就没有正负的问题了。它假如说加起来之和要最小，肯定这些点距离直线都比较近，可是绝对值在数学处理上比较困难，所以，衡量这些点到直线怎么样最近呢？是用“离差”的平方和。就是把每一点的“离差”都平方，然后再加起来，使这个“离差”平方和最小。因为它是“离差”的平方和，因此，把这种方法也叫最小二乘法。它的方法是这样的：先设计条直线，就是Y=A+BX，那么这个A和B当然就是待定的参数了

45、。就是说，我们只要求出A、B，那么这条直线就求出来了。用Q表示“离差”平方和。这个“离差”平方和，就是N个Yi测量值减去Yi计算值的平方和。计算值，当然是按照直线计算出来了，实际这个计算值就等于A+Bxi，这个就是直线上点的计算值。那么要使它最小，咱们在数学都知道，当然，就是求它极值。求极值的办法，就是对它进行微分，它的微分要等于零，当然，那肯定就是个极值了。因为“离差”平方和的变量，实际上是A和B。因为这个Yi和Xi都是测量值，所以，就是对A取它的偏导数，让它等于零。然后取B，取它的偏导数，让它等于零。当然，这就是对A、B来讲，是个极值了，也就是它最小。实际上是个最小值。那也就是把这个“离差

46、”平方和，分别对A取偏导数，对B取偏导数，得出两个方程式，那么对A、B来讲，A、B这是两个未知量，是我们要求的。根据这两个方程式，联合求解，当然就可以解出B，解出A， 现在我们求的这条直线实际上是在 “离差”平方和最小的条件下。所谓最小是指什么概念呢？就是说当这个直线，当A、B变化，当然直线就在这个平面改变不同的位置，那么其中最小，当然选择最好的，在这个里头最好的，但是并不见得这个“离差”平方和很小，因为有的时候，“离差”平方和很大，它也有个最小的，所以，这样得到来的这么条直线，就说你任何的一组点我都可以得出一条直线，那么这条直线究竟能不能有代表性，也就是说X测量值和Y测量值它们之间究竟真有，

47、还是假有线性关系，并没有解决。因此，你回归了这条直线以后，还要对这条直线的可靠性进行检查，也就是检查它的相关性。这就是相关检验和相关系数，具体的这相关系数怎么来的咱们就不说了，因为在数学上讲解就比较复杂。它的定义就是这么来定义的，定义什么呢？是Xi和平均值之差，实际上相当于X每一点的测量误差和Y一点和平均之差相当于它的测量误差，被什么来除呢？被Xi减去X平均值的平方和，再乘上Yi减去Y的平均值的平方和，这个乘积的开平方来除，这样就得到它的相关系数。为了计算方便，就把上面这个式子化作下面这个式子，下面这个式子从数字计算来讲比较简单，那就上面是Xi乘Yi的和，减去N分之一西格玛Xi乘以西格玛Yi，那就是前面是乘积的和，减去N分之一和的乘积，下面也变