2019年天津市河北区高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.已知集合 M= x|1 x 3， N= x|x 2 ，则集合 M（? RN）=（）A. x|1 x 2B. x|x 1C. x|1 x 2D. x|2 x 32.i 为虚数单位，则复数=（）A.B.C. -D. -3.设x Rx+1）（x-2）0”是“|x| 1） ，则“（”的（A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.f xRf x0，+）已知 （ ）是定义在上的偶函数， 且 （）在（）内单调递减， 则（A. f（ 0） f（

2、 log 32） f（-log 23）B. f（ log32） f（ 0） f（-log 23）C. f（ -log23） f（ log 32） f（ 0）D. f（ log32） f（ -log 23） f（ 0）5.f x=cosx+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，将函数（）（再向左平移个单位长度，则所得函数的最小正周期为（）A. B. 2C. 4D.86.在平面直角坐标系中，经过点P 2，-），渐近线方程为y=x的双曲线的（标准方程为（）A.B.C.D.7. 已知边长为 2 的等边三角形 ABC，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕，将 ABC 折成直二面角B-

3、 AD-C，则过 A， B， C， D 四点的球的表面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 68.设函数 f（ x） =当 x- ， 时，恒有f（ x+a） f（ x），则实数a的取值范围是（）A.C.（，）（， 0）B.D.（ -1，）（ ， - 二、填空题（本大题共6 小题，共30.0 分）9.执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是 _第1页，共 16页10.曲线 f （ x） =x3+ x2 -3x 在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为_11.设实数 x， y 满足约束条件，则 z=3x+4y 的最大值为 _ 2 212. 圆 C： x +y -6x-6y+10=0 上的点到直线 x

4、+y=0 的最短距离为 _13.若lga+lgb=0的最小值是_，则14.ABC中，AB =4，BC=6ABC=，D是AC的中点，E在BC上，且AE BD在 ， ，则 ? =_三、解答题（本大题共6 小题，共80.0 分）15. 为增强市民的环境保护意识， 某市面向全市学校征召 100 名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成5 组，如表所示：组别年龄人数120， 25）5225， 30）35330， 35）20435， 40）30540， 45）10（ ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法选出6 名志愿者参加某社区宣传活动，应从第 3， 4，5 组各选出多少

5、名志愿者？（ ）在（ ）的条件下，宣传组决定在这 6 名志愿者中随机选 2 名志愿者介绍宣传经验（ i）列出所有可能结果；（ i）求第 4 组至少有 1 名志愿者被选中的概率第2页，共 16页16.已知 ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为a， b， c，满足 a-c=b， sinB=sinC（ ）求 cosA 的值；（ ）求 sin（ 2A+ ）的值17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形，ADBC，AD AB， PB=AB=AD=3 ， BC=1，M 为棱 PD 上的点（ ）若 PM= PD ，求证： MC 平面 PAB；（ ）求证：平

6、面 PAD 平面 PAB；（ ）求直线 BD 与平面 PAD 所成角的大小18. 已知公比为正数的等比数列 an ，首项 a1=3，前 n 项和为 Sn（ nN* ），且 S3+a3，S5+a5， S4+a4 成等差数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bn= ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn（ nN* ）第3页，共 16页19. 已知椭圆 C： + =1（ a b0）过点 M （2， 1），且离心率为 （ ）求椭圆C 的方程；（ ）若过原点的直线l 1 与椭圆 C 交于 P， Q 两点，且在直线l2： x-y+2=0 上存在点 M，使得 MPQ 为等边三角形，求直线l1 的方

7、程20. 已知函数 f（ x） =alnx-x2+（ 2a-1） x，其中 aR（ ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间；（ ）求函数 f（ x）的极值；（ ）若函数f（ x）有两个不同的零点，求a 的取值范围第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：M=x|1x3，N=x|x 2 ，?N=x|x 2，R则集合 M （?RN）=x|1 x2故选：A根据集合 补集交集的定 义进行计算即可本题主要考查集合的基本运算，根据 补集交集的定 义是解决本 题的关键比较基础2.【答案】 B【解析】解：=故选：B直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基

8、 础题3.【答案】 A【解析】解：由（x+1）（x-2）0 得 x2 或 x-1，由 |x| 1得x1或 x-1，则 “（x+1）（x-2 ）0”是 “|x| 的1充”分不必要条件，故选：A根据不等式的关系 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合不等式的关系是解决本题的关键比较基础4.【答案】 C【解析】解：根据题意，f （x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（-log23）=f（log23），第5页，共 16页又由 f （x）在（0，+）内单调递减，且 0 log32 1 log23，则有 f （log23）f（log32）f（0），即有 f （

9、-log 23）f（log32）f（0）；故选：C根据题意，由偶函数的性质可得 f（-log23）=f（log23），结合函数的 单调性可得 f（log23）f（log32）f（0），分析即可得答案本题考查函数的奇偶性与 单调性的综合应用，涉及对数大小的比 较，属于基础题5.【答案】 C【解析】解：y=cos（x+）y=cos（ x+）y=cos（x+）+=cos（ x+），其周期 T=4故选：C将函数 y=cos（x+）的图象上各点的横坐 标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）? y=cos（ x+），再向左平移 个单位 ? y=cos（x+）+，从而可求得其周期本题考查函数 y=Asin（x

10、+）的图象变换及三角函数的周期性及其求法，关键是明确平移的法 则（左加右减上加下减）及平移的单位与自变量的系数有关系，属于中档题6.【答案】 B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为 y=x，设双曲线方程为：，双曲线经过点 P（2，-），则有 8-1=a，解可得 a=7，第6页，共 16页则此时双曲线的方程为：，故选：B设出双曲线的方程，经过点 P（2，-），求出a的值，即可得双曲线的方程本题考查双曲线的几何性 质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲 线离心率公式的 应用7.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了折叠问题的应用，球的表面积公式的应用首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球

11、体的半径，最后求出球的表面积【解答】解：如图所示：边长为 2的等边三角形 ABC ，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕，将 ABC折成直二面角 B-AD-C ，则：设为r，BD=CD=1 ， 求的半径2，故：（2r）=1+1+3=5所以：，所以 S=，故球体的表面 积为 5故选：C第7页，共 16页8.【答案】 C【解析】解：a=0 时，显然不符题意；当 x-， 时，恒有 f（x+a）f（x ），即为 f （x）的图象恒在 f（x+a）的图象之上，则 a0，即f（x）的图象右移故 A，B 错；画出函数 f（x）=（a 0）的图象，当 x=- 时，f （- ）=-a? - ；而 f（x+a）

12、=，则 x=-时，由-a（-2，+a）+a- =-a? -解得 a=（舍去），图过图图随着 f （x+a）的 象左移至 f （x）的 程中，均有 f（x）的 象恒在 f（x+a）的 象上，则 a 的范围是（ ，0），故选：C考虑 a=0，a0 不成立，当 a0 时，画出 f （x）的图象和 f （x+a）的大致图象，考虑 x=- 时两函数值相等，解方程可得 a的值，随着y=f（x+a）的图象左移至 f（x）的过程中，均有 f （x）的图象恒在 f（x+a）的图象上，即可得到 a 的范围本题考查不等式恒成立 问题解法，注意运用 转化思想，化为图象之间的关系，由图象平移结合数形结合思想方法，考查运

13、算能力，属于难题9.【答案】 5【解析】第8页，共 16页解：S=20，S0 成立，S=20-3=17，k=2S=17，S0 成立，S=17-6=11，k=3S=11，S0 成立，S=11-9=2，k=4S=2，S0 成立，S=2-12=-12，k=5S=-12，S0 不成立，输出此时 k=5，故答案为：5根据程序框 图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本 题的关键10.【答案】 9【解析】解：f（x）=x3+x2-3x 的导数为 f （x）=3x2+9x-3，即有曲线 y=f （x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 k=312+9-3=9，故答案为：9求出

14、函数的 导数，令 x=2 即可得到切 线的斜率本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意 义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，属于基础题11.【答案】 18【解析】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线 3x+4y=0 ，然后把直线 L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A 时 z 最大由时可得 A （2，3），此z=18故答案为：18先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目 标函数 z=3x+4y 的最大值 第9页，共 16页本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义1

15、2.【答案】【解析】解：因为圆的方程为 x2+y2-6x-6y+10=0，所以圆心为（3，3），半径r=2圆心到直线的距离为 d=3，所以直线和圆相离，所以圆上的点到直 线 x+y=0 的最短距离 为 d-r=，故填：找到圆心和半径，代入点到直 线的距离公式即可本题考查了直线和圆的位置关系，圆的一般方程求 圆心和半径，点到直线的距离公式，属基础题13.【答案】 2【解析】解：依题意 lga+lgb=0，所以 a 0，b0，且lgab=0，即ab=1，所以2=2 当且仅当 = ，即a=，b=时，取得等号故填：2因为 lga+lgb=0，所以 ab=1，利用基本不等式即可得到的最小值本题考查了基本

16、不等式，在使用基本不等式时，注意使用条件为 “一正，二定，题属于基础题三相等 ”，本14.【答案】 16【解析】解：以B 为原点，BA 、BC 所在直线分别为 x、y 轴，建立直角坐标系；则 A （4，0），B（0，0），C（0，6），因为则D（2，3）；所以设则，D 是 AC 的中点，E（0，b），根据AE BD ，所以，解之得，又，所以故答案为：16第10 页，共 16页建立直角坐 标系，找出 A 、B、C、D 的坐标，然后根据 AE BD ，求出 E 的坐标，从而利用数量 积的坐标运算计算出?本题主要考查平面向量的数量 积坐标运算，属于中档题目15.【答案】 解：（ ）由已知得第3， 4

17、， 5 组共有 60 名志愿者，从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法选出6 名志愿者参加某社区的宣传活动，各组应选出的人数分别为：6 =2 ， 6 =3，6 =1 （ ）（ i ）记第 3 组 2 名志愿者分别为A，B，第 4 组 3 名志愿者分别为a， b， c，第 5 组 1 名志愿者为d，则从这 6 人中随机选2 人，所有可能结果为： A，B ， A， a ， A，b ， A，c ， A， d ， B， a ， B， b ， B， c ， B，d ， a， b ， a， c ， a，d ， b， c ， b， d ， c， d ，共 15 种（ ii ）设“从6 名志原者中随机选2

18、 名，第 4 组至少一名志愿者被选中”为事件A，则事件 A 所含基本事件有： A，a ， A，b ， A， c ， B， a ， B， b ， B， c ， a， b ， a， c ， a， d ， b， c ， b， d ， c，d ，共 12 种第 4 组至少有1 名志愿者被选中的概率：P（A）= 【解析】（）由已知得第3，4，5 组共有 60 名志愿者，由从第 3，4，5 组中用分 层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，能求出各组应选出的人数（）i）（记第 3 组 2 名志愿者分 别为 A ，B，第4 组 3 名志愿者分 别为 a，b，c，第 5 组 1 名志愿者 为 d，

19、则从这 6 人中随机 选 2 人，利用列举法能求出所有可能结果（ii ）设 “从 6 名志原者中随机 选 2 名，第4 组至少一名志愿者被 选中”为事件 A ，利用列举法能求出第 4 组至少有 1 名志愿者被 选中的概率本题考查概率的求法，考查频率分布直方 图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题16.【答案】 （本题满分为13 分）解：（ ） sinB=sinC，由正弦定理可得：b=c， 2 分又 a-c=b，第11 页，共 16页a=2c， 3 分由余弦定理可得：cosA=， 6 分（ ）由（ ）可得 sinA=， 7 分sin2A=2sinAcosA=， 9 分cos

20、2A=2cos2A-1=- ， 11 分sin（2A+ ） =sin2Acos +cos2Asin = 13 分【解析】（）由正弦定理化简已知可得 b=c，又a-c=b，可求 a=2c，由余弦定理可得 cosA 的值（）利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，利用二倍角公式可求 sin2A ， cos2A 的值，根据两角和的正弦函数公式可求 sin（2A+ ）的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题17.【答案】 （ I）证明：过M 作 MNAD ，交 PA 于N，连接 BN，

21、 MN = ，即 MN= AD，又 BCAD ，BC= AD ，MN BC， MN =BC，四边形 BCMN 是平行四边形，CM BN，又 BN? 平面 PAB， CM ? 平面 PAB，CM 平面 PAB（ II ）证明： PB平面 ABCD ， AD ? 平面 ABCD ，PBAD ，又 AD AB， PB? 平面 PAB， AB? 平面 PAB， PBAB=B，AD 平面 PAB，又 AD? 平面 PAD，平面 PAD 平面 PAB（ III ）取 PA 的中点 F，连接 BF， DF ，PB=AB， BF PA，由（ II ）知平面 PAB平面 PAD ，又平面 PAB平面 PAD =

22、PA，BF 平面 PAD ，BDF 为直线 BD 与平面 PAD 所成的角PB=AB=AD =3， PA=3，BF= PA=，BD=3，第12 页，共 16页sinBDF = ，BDF = 直线 BD 与平面 PAD 所成角为【解析】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，考查线面角的计算，属于中档题（I）过 M 作 MN AD 交 PA于 N，证明四边形 BCMN 为平行四边形可得 CM BN，故 CM 平面 PAB；（II ）根据PB平面 ABCD 得 PBAD ，结合 AD AB 可得 AD 平面 PAB，故而平面 PAD 平面 PAB；（III ）取PA 中点 F，可证 BF平面 PAD

23、，在RtBDF 中计算 sinBDF 18. an （ nN*），首项 a1=3，【答案】 解：（ 1）依题意公比为正数的等比数列设 an=3qn-1 ，因为 S3+a3、 S5+a5、 S4+a4 成等差数列，所以 2（ S5+a5）=S3+a3+S4+a4 ，即 2（ a1+a2+a3+a4+2 a5） =（ a1+a2+2a3+（ a1+a2+a3+2a4），化简得 4a5=a3，从而 4q2=1 ，解得 q=，因为 an （ nN* ）公比为正数，所以 q= ，an =6（ ） n， nN* ；（ 2） bn= =n?（ ） n，则 Tn=1?（ ）+2 ?（ ） 2+3 ?（ ） 3

24、+ +（ n-1） ?（ ） n-1 +n?（ ） n，Tn=1?（ ） 2+2?（ ） 3+3?（ ） 4+（ n-1） ?（ ） n+n?（ ） n+1，两式相减可得Tn= +（ ） 2+（ ）3+（ ） 4+（ ）n -n?（ ）n+1= -n?（ ） n+1 ，化简可得Tn=2- （ n+2） ?（ ） n【解析】（1）设公比为 q 0，由等比数列的通项公式和等差数列中 项的性质，解方程可得 q，即可得到所求通项公式；第13 页，共 16页（2）求得bn错结合等比数列（ ），运用数列的求和方法： 位相减法，n=n?的求和公式，化简整理即可得到所求和本题考查等比数列的通 项公式和求和公式

25、的运用，等差数列中项的性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档 题19.【答案】 解：（ ）由题意可知：椭圆的离心率为e =即 a2=4b2，由椭圆 C： +=1（ ab 0）过点 M（ 2， 1），代入可知：，解得： b2=2，则 a2=8，椭圆 C 的方程；（ ）显然，直线 l 的斜率 k 存在，设 P（ x0， y0），则 Q（-x0 ， -y0），（ 1）当 k=0，直线 PQ 的垂直平分线为y 轴， y 轴与直线 m 的交点为 M（ 0， 2），由丨 PO 丨=2，丨 MO 丨=2 ，MPO=60 ，则 MPQ 为等边三角形，此时直线 l 1 的方程为 y=0 ，

26、当 k0时，设直线 l1 的方程为 y=kx，则，整理得：（1+4k2x2=，则丨PO丨=?，） =8，解得：丨 x0 丨则 PQ 的垂直平分线为y=- x，则，解得：，则 M（-，），丨 MO 丨=，MPQ 为等边三角形，则丨MO 丨=丨 PO丨，= ?，解得： k=0 （舍去）， k= ，直线 l1 的方程为 y=x，综上可知：直线 l1 的方程为 y=0 或 y= x【解析】椭圆的离心率为 e = 即 a2 2，将点M （2，1），代入椭（）=4b圆方程即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆 C 的方程；（）当k=0，直线 PQ 的垂直平分 线为 y 轴，y 轴与直线 m 的交点为 M （

27、0，2第14 页，共 16页），满足MPQ 为等边三角形，求直线 l 1 的方程 y=0，当k0时，设直线 l 1的方程为椭圆则线的方程 y=-x，y=kx ，代入方程，求得丨 PO 丨， 垂直平分与直线 l2：x-y+2=0 上存在点 M 坐标，由等边三角形的性 质可知：丨MO 丨= 丨 PO 丨，代入即可求得 k 的值，求得直线 l1 的方程本题考查椭圆 的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考 查等边三角形的性 质，考查计算能力，属于中档题20.【答案】 解：（ ）当 a=1时， f（ x） =ln x-x2+x，函数的定义域为（0， +）f （ x） =当 f（ x） 0，即 0x 1 时，函数 f （x）单调递增；当 f（ x） 0，即 x 1 时，函数 f（ x）单调递减函数 f（ x）的单调增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，+）；（ ） f（ x） =当 a0时， f（ x） 0 恒成立， 函数 f（ x）在（ 0， +）内单调递减，无极值；当 a 0 时，令 f（ x）=0 ，得 x=a当 x（ 0，a）时， f（ x） 0，当 x（ a， +）时， f（ x） 0，当 x=a 时，函数f（ x）取得极大值f（ a）=a（ lna+a-1）；（ ）由（ ）知，当 a0 时，函数 f（ x）在（ 0，+）内单调递减，则 f（ x）至多有一个零点