2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1

1、3 3.1 1.1 1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 一二三 一、函数的零点 1.已知函数f(x)=2x+6. (1)求方程f(x)=0的解; 提示:由2x+6=0,解得x=-3. (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标. 提示:交点坐标A(-3,0). (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关 系? 提示:相等. 一二三 2.填空: 函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点. (2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数 y=f(x)的零点. 3.函数y=f(x)的零点是点吗?为

2、什么? 提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数 的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数 值为零. 4.你能说出函数y=lg x;y=lg(x+1);y=2x;y=2x-2的零点吗? 提示:y=lg x的零点是x=1;y=lg (x+1)的零点是x=0;y=2x没 有零点;y=2x-2的零点是x=1. 一二三 5.做一做: 函数f(x)=x2-1的零点是() A.(1,0)B.(1,0) C.0D.1 解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1. 答案:D 一二三 二、方程、函数、图象之间的关系 1.考察下

3、列一元二次方程与对应的二次函数: 方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3; 方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1; 方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3. (1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数 的零点的表格吗? 一二三 提示: 一二三 (2)从你所列的表格中,你能得出什么结论? 提示:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函 数y=f(x)有零点. 一二三 三、函数零点存在性定理 1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间- 2,1上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(-2)f(1

4、)0.二次函数在区间 2,4上有零点x=3,而f(2)0,即f(2)f(4)0.由以上两步探索,你 可以得出什么样的结论? 提示:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 2.填空: 函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 一二三 3.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是间断的,上述定理成立吗? 提示:

5、不一定成立,由下图可知. 4.反过来,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条 曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)f(b)0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. () 答案: 6.做一做: 函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上() A.-2,-1B.-1,0 C.0,1D.1,2 解析:因为f(-2)=-110,f(-1)=-20,f(1)=40,f(2)=130, 所以f(-1)f(0)0时,由f(x)=0,即-1+ln x=0,解得x=e,满足x0. 所以函数的零点为-4和e. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 反思感悟反

6、思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方 法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二 是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函 数的零点. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数 y=logn(mx+1)的零点. 解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方 程x2+3(m+1)x+n=0的实根. 所以函数y=logn(mx+1)的解析式

7、为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 探究二判断函数零点的个数探究二判断函数零点的个数 例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解:(方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在 区间(0,2)内必定存在实根. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一 个零点. (方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出 h(x)与g(x)的图象

8、如图所示. 由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即 f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 反思感悟 判断函数零点个数的常用方法 1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数. 2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零 点的个数. 3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出 y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零 点的个数. 4.若证明一个函数的零点唯一,也可先

9、由零点存在定理判断出函 数有零点,再证明该函数在定义域内单调. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练 2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的 个数是() A.0B.1C.2D.1或2 (2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. (1)解析:b2=ac, 方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2. abc0,b0.因此0,f(2)=-1+ln 2=ln 0,所以f(3)f(2)0,说 明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间 (0,+)上是增函数,所以原函数只有

10、一个零点. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 探究三判断函数的零点所在的大致区间探究三判断函数的零点所在的大致区间 例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 () A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) (2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的 区间为(k,k+1)(kN),则k的值为. 分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在 的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符 号,从而确定零点所在的区间,再求k值. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解析:(1)令f(x)=lo

11、g3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(2)=log32+2- 3=log3 0,f(4)=log34+4-3=log3120,则函数 f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的解所在的区间 为(2,3). (2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实根.由题 表可知f(-1)=0.37-10,f(0)=1-20,f(1)=2.72-30,f(3)=20.09-50.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0,故函数的零 点所在的区间为(1,2).所以k=1. 答案:(1)C(2)1 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 反思

12、反思感悟感悟 1.依据函数零点存在性定理判断函数y=f(x)在区间(a,b) 内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b) 是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧 附近函数值的符号发生改变的零点). 2.判断函数零点所在区间的三个步骤: (1)代.将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区 间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少 有一个零点. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 答案:(1)B(2

13、)A 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用 典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时: (1)方程有一个正根和一个负根; (2)方程的两个根都大于1. 【审题视角】 题意画草图转换为数量关系求解 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1. (1)当方程有一个正根和一个负根时,f(x)对应的草图可能如图 ,所示. 解得0a1. 所以当0a0时,方程的一个根大于1,一个根小于1. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是() A.0B.1C.2

14、D.3 解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故 选C. 答案:C 2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是 () A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30, f(2)=ln 2-20, f(4)=ln 40,则x0(2,3). 答案:C 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为. 解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交 点,即函数只有一个零点. 当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数. 函数y=ax2-x-1只有一个零点, 方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为. 解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图, 图象有2个