2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.命题“若 p 不正确，则 q 不正确”的逆命题的等价命题是 ()A. 若 q 不正确，则 p 不正确B. 若 q 不正确，则 p 正确C. 若 p 正确，则 q 不正确D. 若 p 正确，则 q 正确2.已知 a， ?，则“ |?| 1 ，|?| ?+ ?”成立的 ( )条件A.C.充分非必要充要B.D.必要非充分既不充分又不必要，?(?)-?(?)R?(?)(- ,0(? ?)21 03.定义在上的偶函数?2?-?，满足对任意112 ，有12则当 ?时，有 ( )A. ?(-?) ?

2、(?- 1) ?(?+ 1)B. ?(?- 1) ?(-?) ?(?+ 1)C. ?(?+ 1) ?(-?) ?(?- 1)D. ?(?+ 1) ?(?- 1) 0 ，?2 =20 ，?1 =2设集合 ?1 = ?|?+?|?+ ?+ 2 ?|?+ ?+ ?0 ，? =2()?|?+ 2?+ ? 0 ，其中 a， ?，下列说法正确的是2A.对任意 a，?是 ?的子集，对任意b，? 不是 ?的子集1212是 ?的子集，存在b，使得 ? 是 ?的子集B. 对任意 a，?1212不是 ?的子集，对任意b，?不是 ?的子集C. 存在 a， ?1212不是 ?的子集，存在b，使得 ? 是 ?的子集D.

3、存在 a，?1212二、填空题（本大题共12 小题，共 48.0分）5.已知集合?= 2,01A的非空真子集的个数为_， ， 9 ，则集合6.?= -3,-2, -1,21 0, ?，?= ?|- 1 ? 3, ?，0，1，2，3 ，?= ?|?-则 (? ?)?= _17. 不等式 -2 ? 3的解集是 _ 8. 设集合 ?= ?, ? ，则下列命题： ? ?， ? ? ?， ? ?， ? ? ?中正确的是_( 写出所有正确命题对应的序号)9. 若集合22，则实数 a 的取值范围是 _?|?= ?+ 2(?+1)?+ ? - 5 = ?10. 如果全集 U 含有 12 个元素，P，Q 都是

4、U 的子集，?中含有 2 个元素，? ? ?含有 4 个元素， ?含有 3 个元素，则P 含有 _ 个元素11. 已知 ?的周长为定值 2，则它的面积最大值为 _ 12.2t 的值为 _若 ?(?)在区间 ?,? - 2?- 2 上为奇函数，则实数13.已知不等式|?- 3| -|?+ 4| 0 ，?|?= ?| 2 - ? ?则 ? ?= _15.若实数x，? 0满足?+ 3?- ?= 1，求3?+ 4?_的最小值为2?的取值范围16.已知 ?0 ，且对任意 ? 0，有 (?- ?)(? + ?-?) 0 恒成立，则?为 _三、解答题（本大题共5小题，共 38.0 分）17.已知集合22?=

5、 ?|?-(? + 3)?+ 2(? + 1) = 0 ，?= ?|2?+ (3?+ 1)?+ 2 = 0 ，其中 m，?(1) 若?= ?，求 m，n 的值；第1页，共 11页(2) 若?= ?，求 m，n 的取值范围18. 设 ? 0， ? 0，且 ?+ ?= 1 + 1.求证：? ?(1)?+ ? 2 ；22不可能同时成立(2)?+ ? 2与? + ? ? - ?-1恒成立，求实数 m 的取值范围21.设函数 ?(?)为定义在R 上的奇函数，且当?0, +)时， ?(?)= -? 2 + 2?(1) 求函数 ?(?)的解析式；11(2) 求实数 a，b，使得函数 ?(?)在区间 ?,?

6、1, +)上的值域为 , ；? ?第2页，共 11页(3) 若函数 ?(?)在区间 ?,?上的值域为 11, ，则记所有满足条件的区间 ?,?的并集? ?为 D，设 ?(?)= ?(?)(?)，问是否存在实数m，使得集合 (?,?)|?= ?(?)2 恰含有 2 个元素？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请(?,?)|?= ? + ?说明理由第3页，共 11页答案和解析1.【答案】 D【解析】 解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是：“若 q 不正确，则p 不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若 p 正确，则q 正确”故选： D由命题“若 p 不正确，则 q 不正确”，根据四

7、种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果本题考查的知识点是四种命题的逆否关系， 根据四种命题的定义， 求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键2.【答案】 A【解析】 解： “不等式 ?+ 1 ?+ ?”成立等价于“?+ 1 - ?- ?= (?- 1)(? -1) 0”，当“ |?| 1， |?| 0成立；当 (?- 1)(? - 1) 0 时，有 ? 1 且 ? 1 ；或者 ? 1且? 1；故“ |?|1， |?| ?+?”成立的充分非必要条件；故选： A根据“不等式 ?+ 1 ?+ ?”成立等价于“ ?+ 1 -?-?= (

8、?- 1)(? - 1) 0”，所以“ |?| 1，|?| 0 ；反之，不一定成立， 即可得出结果本题考查了充分必要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题3.【答案】 C【解析】 解：根据题意，函数?(?)是偶函数，且在 (- ,0 递增， (0, +)递减，因为0 ?-1 ? ?(?)?(?+ 1) ，故选： C利用函数的奇偶性，单调性判断即可考查函数的奇偶性和单调性，基础题4.【答案】 B【解析】 解：对于集合 ? =22 0，?|?+ ?+1 0 ， ? = ?|?+ ?+ 212可得当 ?，即 ?2+ ?+ 1 20，10，可得 ? + ?+ 2 即有 ? ?，可得对任意 a，?是 ?

9、的子集；212当 ?= 5时， ?221= ?|?+ ?+ 5 0 = ?， ?2 =?|?+ 2?+ 5 0 = ?，可得 ?是 ?的子集；12当 ?= 1时，?22?|? -1 且 ?= ?|?+ ?+ 1 0 = ?，? = ?|?+ 2?+ 1 0 =12?，可得 ?不是 ?的子集12综上可得，对任意ab， ?是 ?的子集，存在，使得 ?是 ? 的子集1212故选： B运用集合的子集的概念，令? ?，推得?，可得对任意 a， ?是 ?的子集；再由1212?= 1， ?=5，求得?，? ，即可判断B正确，A C，D错误，12本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存

10、在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题第4页，共 11页5.【答案】 14【解析】 解： 集合 ?= 2, 0， 1，9 ，A的非空真子集的个数为：24- 2=14集合故答案为： 14若集合 A 中有 n 个元素，则集合A 中有 2?-2个非空真子集本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】 2,32-1, 0， 1 ， ?= ?|- 1 ? 3, ?=【解析】 解： ?= ?|?- 1 0, ?=-1, 0， 1， 2， 3 ，?= ?|? -2 ，或 ? 2 ， ?，(? ?)?= 2,3 ，故答案为 2,3 用列举法求出

11、集合A 和 B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(? ?)?本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题1或0 ?17.【答案】 ?|? - 23【解析】 解： -2 1， 0时， -2? 1 3?，解可得， - 1 ? 1，230 ? 1，3当 ? 1 3?，解可得， ? - 1 ，2综上可得，不等式的解集为?|? -1或0 ?1.23故答案为： ?|? - 1或 0 ?0 ，2?- ?- 2 = 0，解可得 ?= 2(舍)或?= -1 ，故答案为： -1 由奇函数的定义域关于原点对称可知，222 0，即可求?+ ? - 2?-2 = 0，且

12、 ? - 2?-解本题主要考查了奇函数的定义域关于原点对称性质的简单应用，属于基础试题13.【答案】 (-7, +)【解析】 解：不等式 |?- 3| - |?+ 4| -7故答案为： (-7,+)由题意，不等式 |?- 3| - |?+ 4| 1时，3?+ 4? 13 + 2 24 = 13 + 46；当 ? 0,126+4(?- 1) =62上单调递减， 时，设?- 1= ?-1, - ，+ 4?在 -1, -333?-1?在?= -2处取得最小值-9 - 8， 3?+ 4?取得最小值 4 ，333综上可得 3?+ 4?取得最小值 4，3故答案为： 4 3第7页，共 11页3?-1将等式

13、?+ 3?-?= 1 ，转化得 ?=?-1 ，代入 3?+ 4?中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题本题使用代入消元法将二元函数最值问题化为一元函数最值，在做题过程中需要注意元的取值范围，是中等难度题16.【答案】 (- ,-1) (0, +)【解析】 解： 对任意 ?2?) 0恒成立，0，有 (?- ?)(? + ?-22?= 0，?= ?是方程 ? + ?- ?= 0的根，即 ? + ?-又 ? 0，则 ?+ ?- 1 = 0，(?,?)可理解为直线 ?+ ?-1 = 0 上纵坐标大于0 的点，则 ?的几何意义即为

14、直线?+?- 1 = 0 上纵坐标大于0 的点与原点连线的斜率，如图，直线 ?+ ?- 1 = 0的斜率为 -1?(- ,-1)(0, +)，由图象可知， ?故答案为： (- ,-1) (0, +)2?首先分析出 ?= ?是方程 ?+ ?- ?= 0的根，得到 ?+ ?-1 = 0，再运用的几何意义?求解本题考查不等式的解法及恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题17.2集合 ?= ?|?- (? + 3)?+ 2(? + 1) = 0 ，【答案】 解： (1)2m?= ?|2?+ (3?+ 1)?+2 = 0 ，其中 ， ?21) = 0得： ?= 2，或 ?=?+ 1，解 ? - (?

15、+ 3)?+ 2(? +若 ?= ?，则 ? ?，将 ?=22= 0得： ?= -2，代入 2? + (3?+ 1)?+ 2则 ?=225?+ 2 = 0 = 2,1.?|2?+ (3?+ 1)?+ 2 =0, ?= ?|2?-211则?+ 1 = 2，则 ?= - 2，当 ?= 2 时， ?+ 1 = 2，解得 ? = 1，1综上 ?= - 2，?= -2 ，或 ?= 1，?= -2 (2) 若 ?= ?，则非空集合? ?，当 =(3? + 1)2-16=0时， ?= -5，?= 1 ，?+ 1 = 1，? = 0，3或 ?= 1时， ?= -1 ，?+ 1 = -1 ，? = -2 ；当

16、=(3?+ 1) 2 - 16 0，即?-5，或? 1时，则2 ?，由 (1) 得：? = -1，?= -2 ；32第8页，共 11页当 =(3? + 1) 2- 160时，即-5 ?0 两种情况讨论满足条件的m，n 的值，综合讨论结果，可得答案本题考查实数值的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题1118.【答案】 证明： (1) 由 ?+ ?= ?+?,? 0, ? 0 ，得 ?=1，由基本不等式及 ?= 1，有 ?+ ? 2 ?= 2 ，即 ?+ ? 222(2) 假设 ? + ? 2与 ? + ? 2 同时成立，2222则 ? + ? 2且?

17、+ ? 2，则 ? + ?+ ? + ? 4，即：22(?+ ?) + ?+ ?- 2? 4，由(1) 知 ?= 1 因此 (?+ ?) + ?+ ? 0，且 ?- 3?0 ，可得函数的定义域为(0,13 ?)；1123?+?-3?(2)? = ?(?- 3?)=33?(1- 3?) 3(2)2= 12，?当 ?= 6时，这块长方形场地的面积最大，12这时的长为 ?- 3?=?，最大面积为?212【解析】 (1) 由题意设长方形场地的宽为x3?，表示出面积y，则长为 ?-；由 ? 0，且?- 3? 0，可得函数的定义域；(2) 对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解此题是

18、一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法20.2 ，定义域为 ?|? 0 ，关于原点对称，当 ?= 0时， ?(?)= ?【答案】 解： (1)此时 ?(-?)= ?(?)?(?)为偶函数；?(?)=2?当? 0?+，定义域为?|? 0，关于原点对称，时，?此时 ?(1) = 1 + ?， ?(-1)= 1 - ?，故 ?(-1) ?(1)， ?(-1) -?(1) ，?(?)无奇偶性22，(2)?(?)= ? +?第9页，共 11页2222? -?0 ?=12?(? + ?) -2任取 ?2 1，则?(?) - ?(?) = ? + -? -，1

19、121?12?2?1 ?212120 ? 1，? -? 0， ?(? + ?) 0，所以?(?)在区间(0,1上是递减(3) 由题意得?(?) ?-?-1，?由 (2) 知 ?(?)在区间 (0,1 上是递减，同理可得?(?)在区间 1, +)上递增，所以 ?(?)?= ?(1) = 3，所以 3 ?- ?- 1，即?- 1 - ?- 1 - 2 0，令 ?-1 = ?,(? 0) ，则22 0，解得 -1? 2，故0 ? 2? - ?-即0 ?- 1 2，即1 ? ?- ?- 1 ，求出 ?(?)?= ?(1) = 3 ，利用换元法转化求解 m的范围即可本题考查函数与方程的应用，函数的极限以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力21.因为 ?(?)是奇函数，令 ? 0 ，【答案】 解： (1)所以 ?(-?)=-(-?)2 + 2(-?)=-? 2 - 2?=-?(?)，所以 ?20时， ?(?)= ? + 2?，所以 ?(?)= -?2 + 2?,? 0,；22?,?0? +(2)由(1)可知，当?,?1, +)-(? - 1)2+ 1，函数?(?)时， ?(?)=单调递减，?(?)=-?2+2?=1则有 ?5+1，?(?)=-?2+ 2?=1，解得 ?= 1， ?=2?(3) 由 (2)?(?)在 1, +)上满足条件的区间为5+1知，函数1,2