2018年天津市南开区高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共 40.0 分）1.已知集合 A=2 ， 3a ， B= a， b ，若 AB=3，则 AB=（）A. 0， 1，2B. 0，1， 3C. 0 ，2，3D. 1 ，2， 32.x y满足约束条件，则z=2x-y的最大值是（）已知实数 ，A. 0B. 6C. 2D. 43.在数列 an 中，“ a1+a2， a3+a4 ，a5+a6 成等差数列”是“数列 an 为等差数列”的（）A.C.充分不必要条件充要条件B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件4.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不

2、小于9，则 t 的取值范围为（）A. tB. tC. tD. t5. 已知函数 f（ x）是定义在区间 1-3 m，2m 上的偶函数， 且当 x（0，+）时， f（ x）单调递增， 若 a=f（m），b=f（ 2-0.4），c=f（log 4 ），则 a，b，c 的大小关系是 （）A. a cbB. a b cC. b c aD. c a b6.设双曲线（ a 0，b 0）的一个焦点为F （ c，0）（ c 0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-2cx=0 截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（）第1页，共 16页A.B.C.D.7. 函数 f（ x）=Asin（ 2x+

3、）（ A 0，| | ）部分图象如图所示，且 f（ a）=f（ b）=0 ，对于任意x1，x2a， b，且x1x2，若 f（ x1）=f（ x2），有 f（ x1+x2）=，则（）fx）上是增函数A.（ ）在（fx）上是减函数B. （ ）在（C. f（ x）在（）上是增函数D. f（ x）在（）上是减函数8.已知函数 f（ x）=，若函数 g（x）=|f（ x）|+a 有 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A.1，）B. （）C. （D.1，+二、填空题（本大题共6 小题，共30.0 分）9.若复数 z=，其中 i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点的坐标为_10. 若曲线 y=ex+e-x

4、 的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为 _11. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_12.设抛物线y2=4 x的焦点为F，过Fk k0A B斜率为 （ ）的直线与抛物线交于、 两点，若，则 k 的值为 _13.设 x0， y 0，且 xy-（ x+y） =1，则 x+y 的最小值为 _ 14.在四边形ABCD中，AB=AC=AD =，AB AD，则的最小值为_三、解答题（本大题共6 小题，共80.0 分）15.某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量（单位：个）如表所示研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取6

5、个班级进行调查学校甲乙丙数量4128第2页，共 16页（ ）求这 6 个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量；（ ）若在这6 个班级中随机抽取2 个班级做进一步调查，（ i）列举出所有可能的抽取结果；（ ii）求这 2 个班级来自同一个学校的概率16.在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A，B， C 所对的边，且2bcosC=2a+c（ ）求角 B 的大小；（ ）若 2sin（） cos（） -2sin2（） =，求 cosC 的值17. 如图所示，四棱锥 P-ABCD 中， PC底面 ABCD ，PC=CD=2， E 为 AB 上一点， DE AC，底面四边形 ABCD 满足 ADC

6、=DCB=90 ， AD =1， BC=3（ ）求证：平面 PDE 平面 PAC；（ ）求异面直线 PD 与 AB 所成角；（ ）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值18. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=3 an -1， nN*（ ）证明：数列 an 是等比数列，并求 an 的通项公式；（ ）设 bn=nan，求数列 b2 n-1 的前 n 项的和 Tn第3页，共 16页19.已知离心率为的椭圆 C：（ a b 0）经过点（ 2，1） A，B，M 为椭圆上三点，且满足|MA |=|MB |（ ）求椭圆C 的方程；（ ）当 A， B 关于原点O 对称时，是否存在定圆，

7、使得AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由f x）=-ln2 x-ax220. 已知函数 （+x（ aR）（ ）若函数 f（ x）在其定义域内为减函数，求a 的取值范围；（ ）讨论函数 f（ x）的极值点的个数；（ ）若 f（ x）有两个极值点 x1， x2，证明： f （ x1） +f（ x2）3-4ln2 第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合 A=2 ，3a ，B=a ，b ，A B=3 ，a=1，b=3，A=2 ，3 ，B=1 ，3 ，A B=1 ，2，3 故选：D由 AB=3 ，得 a=1，b=3，由此能求出 AB本题考查并集的求法，

8、考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 B【解析】解：依题意作出实数 x，y 满足的约束条件的可行性区域如图，由得 A （2，-2），目标函数 z=2x-y 在边界点 A （2，-2）处取到最小值 z=22+2=6故选：B画出实数 x，y 满足的约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x-y 中，求出 2x-y 的最小值在解决线性规划的小题时“”骤为： 由约束条件画出可行，常用 角点法，其步域 ? 求出可行域各个角点的坐标? 将坐标逐一代入目 标函数 ? 验证，求出最优 解3.【答案】 B【解析】解：若数列a n 为等差

9、数列，则 a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，即必要性成立，当 a1=a2=0，a3=-1，a4=1，a5=-1，a6=1，满足 a1+a2，a3+a4，a5+a6 成等差数列，第5页，共 16页但0，0，-1，1，-1，1 不是等差数列，即充分性不成立，即 “a，a，a成等差数列 ”是 “数列 an为等差数列 ”必要不充分条件，1+a23+a4 5+a6故选 B：根据等差数列的性 质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合充分条件和必要条件的定义是解决本 题的关键4.【答案】 A【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=0，x=t

10、，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2-1=1；24，否，n=2+2=4，x=4t，a=4-1=3；44，否，n=4+2=6，x=8t，a=6-3=3；64，是，输出 ax=38t；38t9，8t 2，即 t ；t 的取值范围为 t|t故选：A根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的 结果是什么本题考查了程序框 图的应用问题 ，解题时应 模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，是基 础题5.【答案】 D【解析】解：函数f （x）是定义在区间 1-3m，2m上的偶函数，1-3m+2m=0，解得 m=1由 a=f（m）=f（1），b=f（2-0.4），c=f（log4 ）=

11、f（-log45）=f（log45），又 02-0.4 1 log45 2，且当 x（0，+）时，f （x）单调递增，则 a，b，c 的大小关系是 cab故选：D函数 f （x）是定义在区间 1-3m，2m上的偶函数，可得 1-3m+2m=0，解得第6页，共 16页m=1由a=f（m）=f （1），b=f（2-0.4），c=f（log4 ）=f （-log45）=f（log45），又02-0.41log452，且当 x（0，+）时，f（x ）单调递增，即可得出大小关系本题考查了指数与 对数运算性 质及其指数 对数函数的 单调性、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题6.【答案】

12、C【解析】解：由题意可得 e=，双曲线的一条渐近线方程为 bx-ay=0，圆 x2+y2-2cx=0 的圆心为（c，0），半径为 c，可得圆心到渐近线的距离为 d=b，渐近线被圆 x2+y2-2cx=0 截得的弦 长为 2，可得 2=2=2a，可得 a=，c=5，b=2，则双曲线的标准方程为-=1故选：C求得双曲 线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式和直 线和圆相交的弦 长公式，结 合离心率公式，解方程可得 a，c，b，即可得到所求双曲 线 的标准方程本题考查双曲线的方程和性 质，主要是渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦 长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档 题7.【答案】 A

13、【解析】解：f（x ）=Asin（2x+），函数最小正周期 为 T=；由图象得 A=2，且f（a）=f（b）=0，?=b-a，解得 b-a=；又 x1，x2a，b，且 f（x1）=f （x2）时，有 f（x1+x2）=，第7页，共 16页sin2（x1+x2）+=，即2（x1+x2）+=，且 sin（2?+）=1，即 2?+= ，解得 = ，f（x ）=2sin（2x+）；令 - +2k 2x+ +2k，kZ，-+2k 2x +2k ，kZ，解得 -+k x +k，k Z，间+k ，+k ，kZ 上是单调增函数，函数 f（x）在区 -间，单调增函数f（x ）在区 （-）上是故选：A根据题意，得

14、出函数f xb-a 为f x =f x（）的最小正周期，且半周期，再根据 （1） （2）时 f（x1+x2）的值求出 的值，从而写出 f （x）的解析式，判断f（x）的单调性本题考查了正弦型三角函数的 图象与性质的应用问题，是综合性题目8.【答案】 C【解析】解：g（x ）=|f（x）|+a有 6 个零点，a=-|f（x）|有解，故 a 必为非正数，排除 A ，B，D故选：C根据 a=-|f（x）|有解可知 a为负数，得出答案本题考查了函数零点与函数 图象的关系，考查零点的定 义，属于中档题9.【答案】 （ 0，1）【解析】解：z=，z 在复平面内 对应点的坐标为（0，1），故答案为：（0，1

15、）第8页，共 16页直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基 础的计算题10.【答案】 ln2【解析】解：f（x ）=ex+e-x，f （x）=ex-e-x，设切点的横坐 标为 x0，可得 ex0-e-x0=整理可得 2（2-2=0，）-3解得=2，或=（舍去）x0=ln2故答案为：ln2设切点的横坐 标为 x0，求导数由题意可得 x 0 的方程，解方程可得本题考查导数值与切线斜率的关系，涉及一元二次方程的求解，属基础题11.【答案】 3【解析】解：根据三视图得，该几何体是 圆柱截取，故则该几何体的体 积为 V=故答案为：3根据三视图 得，该几何体是 圆柱截

16、取，结合体积公式可得答案本题考查的知识点是圆柱体积，简单几何体的三 视图，难度中档12.【答案】 2【解析】解：由y2=4x，得F（1，0），设 AB 所在直线方程为 y=k（x-1），联立 y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0设 A （x1，y1），B（x2，y2），若，则 |AF|=2|BF|，x+，x2=-，解方程得： 1=第9页，共 16页x1+1=2（x2+1），即x1=2x2+1，+=2-2 +1，解得：k=2，k=-2（舍去）故答案为：2由题意设出直线联立直线和抛物线方程，求出 A ，B 的横坐标，AB 的方程，由 |AF|=2|BF|得到 x1=2x2+1，代入

17、A ，B 的坐标得答案本题考查了抛物线的简单几何性质查线的定义查计，考 了抛物，考 了学生的算能力，是中档题13.【答案】 2【解析】解：x0，y 0；20x+y）即（-4（x+y ）-4；解得，或（舍去）；x+y 的最小值为故答案为：根据 x0，y0 即可得到进这， 而得出，样解关于 x+y 的不等式即可得出 x+y 的最小值 考查基本不等式：，以及一元二次不等式的解法14.【答案】 2-2【解析】图解：如 所示，设 BAC= ，AB=AC=AD=，第10 页，共 16页A（0，0），B（ ，0），D（0， ），C（cos ，sin ），其中（0，）；=（-cos ，-sin），=（-cos

18、 ，-sin ），=（-cos ）（-cos ）+（-sin）（-sin）=2-2（sin +cos）=2-2sin（+ ），= 时，取得最小 值为 2-2故答案为：2-2根据题意建立坐标设标计的最小系， BAC= ，表示出各点坐，再 算值本题考查了平面向量的数量积运算问题题，是中档 15.【答案】 解：（ ） 样本容量与总体中的个体的比是= ，样本中包含的三所学校的个体数量分别是=1， 12 =3， 8 =2（ ）（ i ）这 6个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲；乙1，乙 2，乙 3；丙1，丙 2则抽取的这2 个班级构成的所有基本事件为： 甲，乙 1 ，甲，乙2 ， 甲，乙3 ，

19、甲，丙1 ，甲，丙 2 ， 乙 1，乙 2， 乙 1，乙 3 ， 乙 1，丙 1， 乙 1，丙 2 ， 乙 2，乙 3， 乙 2，丙 1 ， 乙 2，丙 2， 乙 3，丙 1， 乙 3，丙 2 ， 丙 1，丙 2，共 15 个，（ ii ）每个样本补抽到的机会均等， 这些基本事件的出现是等可能的，设事件 A：“抽取的这 2 个班级来自同一个学校”，则事件 A 包含的基本事件有： 乙 1，乙 2， 乙 1，乙 3 ， 乙 2，乙 3， 丙 1，丙 2 ，共 4 个，这 2 个班级来自同一个学校的概率P（ A）=【解析】样总体中的个体的比是= ，由此能求出样本中包含（）本容量与的三所学校的个体数量

20、（）i（）这 6 个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲；乙1，乙2，乙3；第11 页，共 16页丙 1，丙2利用列举法能求出抽取的 这 2 个班级构成的所有基本事件（ii ）每个样本补抽到的机会均等， 这些基本事件的出 现是等可能的，设事件A ：“抽取的这 2 个班级来自同一个学校 ”，则事件 A 包含的基本事件有 乙 1，乙 2， 乙 1，乙3 ， 乙 2，乙3 ， 丙 1，丙2 ，共4 个，由此能求出这 2 个班级来自同一个学校的概率本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题16.【答案】解：（ ）ABC 中，a，b，c 分别为

21、角 A，B，C 所对的边， 且 2bcosC=2a+c由余弦定理得2b?=2a+c，整理，得： b2=a2+c2+ac，cosB=-，B= （ ）2sin （） cos（） -2sin2（）=，= ，sinA= ，B= ，cosC=cos（） =cos cosA+sinsinA=【解析】（）由余弦定理得2b?=2a+c，从而 b2 2 2，由此利用余弦定=a +c +ac理能求出角 B（）推导出，从而 sinA= ，再由 B= ，能求出 cosC本题考查角的大小的求法，考 查角的余弦 值的求法，考查余弦定理、余弦加法定理等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题第12 页，

22、共 16页17.【答案】 证明：（ ）PC 底面 ABCD ，PCDE ，又 DEAC，DE 平面 PAC， DE ? 平面 PDE，平面 PDE 平面 PAC解：（ ）作 DM AB，交 BC 于点 M，连结 PM，从而 PDM 或其补角即为异面直线PD 与 AB 所成角，ADC=DCB =90 ，四边形 ABCD 为直角梯形，CD =2， AD =1，BC=3 ， AB=DM =2， CM =1，PC 底面 ABCD ，PC=2 ，PD =PM =2，PDM 为等边三角形，PDM =60 ，异面直线PD 与 AB 所成角为（ ）设 AC 与 DE 的交点为则由（ ）知平面 PDE 平面从而

23、 CPH ，即 CPG 是直线60 G，连结 PG，过点 C 作 CH PGF 于 H 点，PAC ，且 PG 是交线，得CH 平面 PDE，PC 与平面 PDE 所成的角，在 RtPCG 中， PC=2，PG=，sinCPG= ，直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为【解析】（）推导出 PCDEDEAC ，从而DE平面 PAC，由此能证明平面 PDE平面PAC（）作DM AB ，交BC 于点 M ，连结 PM，从而PDM 或其补角即为异面直线PD 与 AB 所成角，推导出四边形 ABCD 为直角梯形，由此能求出异面直 线 PD与 AB 所成角，异面直线 PD 与 AB 所成角；（）设

24、AC 与 DE 的交点 为 G，连结 PG，过点 C 作 CHPGF 于 H 点，则CPG是直线 PC 与平面 PDE 所成的角，由此能求出直 线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值本题考查 面面垂直的 证明，考查异面直线所成角、线 面角的正弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题18.【答案】 （ I ）证明：由 2Sn=3an-1，nN* n2，2an=2（Sn -Sn-1）=3an-1-（ 3an-1-1），化为： an=3an-1第13 页，共 16页n=1 时， 2a1=3a1-1，解得 a1=1，数列 an

25、 是等比数列，首项为1，公比为 3an=3n -1n-1（ II ）解： bn=nan=n?3数列 b2 n-1 的前 n 项的和 Tn=b1+b3+b2n -1=1+324+2n-332n-42n-12n-2，3 +53 +（）+（3?）?9Tn=9+3 34+（ 2n-3）?32 n-2+（ 2n-1）?32n，-8Tn242n-2） -（ 2n-1）?32n2n，（3+3+3=2-5-（ 2n-1）?3=1+2解得 Tn=+ 【解析】（I）由2Sn=3an-1，nN* n2，2an=2（Sn-Sn-1），化为：an=3an-1n=1 时，2a1=3a1-1，解得 a1，即可得出（II ）

26、bn=nan=n?3n-1利用错位相减法即可得出本题考查了数列递推关系、等比数列的通 项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题19.【答案】 解：（ ）由椭圆的离心率e= =22，则 a =2b ，将点（ 2， 1）代入椭圆方程：，即，22解得： b =3，则 a =6，椭圆的标准方程为：；（ ）由直线 AB 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线AM 方程为 y=x+，则 O到直线 AM 的距离 d=，同理直线 AB 的为 0 时，原点 O 到直线 AM 的距离为；直线 AB 存在且不为0时，设直线 AB 的方程为 y=kx，由 |MA|=|MB|，直线 OM 的方程为

27、 y=-x，由，解得： xA2=，同理可得： xM2=，设原点 O 到直线 AM 的距离 d，直线 AM 方程为（ yM-yA ） x+（xM-xA） y+yAxM-xAyM =0，d2=2，综上可知：原点O 到直线 AM 的距离为，存在定圆x2+ y2=2 ，使得 AM 恒与该定圆相切【解析】（）利用椭圆的离心率公式，将点代入 椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得第14 页，共 16页椭圆方程；（）分类，当直线 AB 的斜率存在且不 为 0，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，求得 A 和 M 点的坐 标，求得 AM 的方程，利用点到直 线的距离公式，即可求得 O 到直线 AM 的距离 为定值，即可求得 AM 恒与该定圆相切本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查转化思想，属于中档题20.【答案】 解：（ ） f（ x） =- -2ax+1=-要使 f（ x）在（ 0， +）单调递减则 -2ax2-x+10在（ 0