八年级数学海伦公式

1、精品文档C1407 班的李镜楠有一天拦住我，说： “老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图 1，在三角形ABC 中， A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图 1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式： 三角形的面积Sppapbpc其中： a 、 b 、 c 分别是三角形的三边长， p1a b c2海伦公式亦称“海伦 - 秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积） 相传是亚历山大港的海伦发现的， 并可在其于公元 60 年的 Metrica 中找到其证明。亦

2、有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于 Metrica 是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。.精品文档亚历山大里亚的海伦（希腊语： ? ? ? ?）（公元 10 年 70 年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家秦九韶，其著作数书九章卷五第二题即三斜求积 。“问沙田一段， 有三斜，其小斜一十三里， 中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？

3、” 答曰：“三百十五顷 ”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实， 开平方得积。”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，用现代公式表示即为：s1c2 a2( c2a2b2 )242能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？二、秦九韶公式推导出海伦公式详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高， 猜想秦九韶在独立推出 “三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积.精品文档1公式 S ABCaha 入手，利用勾股定理，布列方程组求高。2如图 2，AxBCyDz图2x2y 2c2在 ABC中，

4、 AD 为边 BC上的高，根据勾股定理，有x2z2b2yza解方程，得ya 2c 2b2，2aza2b 2c2，2axc2y2c2a 2c 2b2)212c2(a2c222(2a4ab )2a又因为 S ABC1 aha ，所以 s1c2 a2( c2a 2 b2)2242三、海伦公式的证明.精品文档那么，海伦公式如何证明呢？海伦公式： 三角形的面积Sppapbpc其中： a 、 b 、 c 分别是三角形的三边长， p1a b c2证明（1）：由余弦定理可知：a2b2c2cosC2 ab，由此得出sin C1 cos2 C1cosC1cosC1 a2b2c21 a2b2c22a b2 a ba

5、2b22 ab c2 c2a2b22a b2 a b2 a bab 2c2c2a b 22a b2 a b1a b c a b ca b c a b c2 a b由 p1ab c可得：2abc2 p，a b c a b c 2 c 2 p 2c 2 p c，a b c a b c 2 a 2 p 2 a 2 p a，a b c a b c 2b 2 p 2 b 2 p b ，因此：.精品文档1ab cab ca b c a b csin C2 a b2pap bpcpa b由三角形面积公式S1 a bsin C 即得2Sppapbpc上述证明用到了三角函数sin C、，因为初二年级的学生还co

6、sC没有接触三角函数，我们也可以考虑用以下的方法证明。BBCACATT图 3图 4BT 是 ABC的 AC边上的高，点T为垂足。记ABc ，ACb ， BCa ， BTh ， CTd （见上图）。证明（2）：若 ABC是锐角三角形（图3），则由勾股定理有a2d 2h21c2bd 2h22由（ 1）式得出 da2h2，带入（ ）式 ：2c 2ba 2h222 。h.精品文档展开，即得c2b2a2h22b a2h2h2 ，由此式解得24a2222c22a b ca b c a b c a b chba b，4b24 b2类似于证明（ 1），得出h24 p p a p b p c，b2由于三角形面积

7、S1 b h ，由上式即得2Sp pap bpc。若 ABC是钝角三角形（图4），不失一般性，设C90，则由勾股定理有a2d 2h21c2b d 2h23类似于 ABC是锐角三角形的情况，可得h24 p p a p b p c，b2因而亦得Sp pa pbp c。若 ABC是直角三角形（图4），不失一般性，设C90，由勾股定理有a2b2c 2 。p p a p b p ca b c a b c a b c a b c22221a b 2c2c2a b 241 a b2故，此时仍有Sppapbpc。四、海伦公式的推导.精品文档海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=p( pa)( pb)

8、( pc)= 1(abc)( abc)(acb)(bca)4= 1( ab) 2c 2 c2(ab) 2 4= 1(a2b2c22ab) (a 2b 2c 22ab)4= 14a 2b 2(a2b2c2 ) 24= 12a 2b 22a 2 c22b2 c 2a 4b 4c44三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为a b cd,则 Sa,b, c, d ，且 p2四 边 形= ( p a)( p b)( p c)( p d)现根据猜

9、想进行证明。证明：如下图，延长DA，CB交于点 E。设 EA = e EB = f 1+2 =1802+3 =180 1 =3 EAB ECDf=e=b，S EAB=b 2a ef cdd 2b 2S四边形ABCD解得： e =b(abcd )d 2b 2f =b(adbc)d 2b2由于 S=d 2b2b2S四边形 ABCDEAB将，跟 b =b(d 2b 2 )代入海伦公式公式变形，d2b2.精品文档d2b2222222得： S四边形ABCD=4e b(ebf)4b2d2b2b4(abcd )2( d2b2)2b2(abcd)2b2(d2b2)2b2( adbc)22)4224(22222

10、2222=4b2(db)(db)( db)(db)d 2b 2b44(abcd)2( d2b2)2( abcd )2(d2b2)2( adbc)22=4b2(d 2b2 ) 41= 4( d 2b2 )4( abcd) 2 (d 2b2 ) 2 abcd 2 d 2b2 2 adbc 2 21= 4( d 2b2 )4(abcd) 2 ( d 2b2 )2(a 2b 2c 2d 2d 4b42d 2 b2a2d 2b 2c2 )1= 4( d2b2)4(abcd)2(d2b2)2b2(a2b2d2c2)d2(d2b2a2c2)1= 4( d 2b2 )( d 2b2 ) 2 4(abcd) 2(c 2d 2b 2a 2 ) 2 1(