常微分方程常见形式及解法（经典实用）

1、常微分方程常见形式及解法1 程常见形式及解法程常见形式及解法 知行知行1301 常微分方程常见形式及解法2 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是： 常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程： （其中y

2、为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔 函数。 常微分方程常见形式及解法3 常见例子常见例子 以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及均为常数。 l 非齐次一阶常系数线性微分方程： l 齐次二阶线性微分方程： l 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程： l 非齐次一阶非线性微分方程： l 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程： 常微分方程常见形式及解法4 微分方程的解微分方程的解 l微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： ldy/dx=sinx， l的解是 ly=-cosx+C， l其中C是待定常数； l例如，如果知道

3、l y=f()=2， l则可推出 l C=1， l而可知 ly=-cosx+1， 常微分方程常见形式及解法5 01 02 简易微分简易微分方程的求解方法方程的求解方法 一阶线性常微分方程 二阶常系数齐次常微分方程 常微分方程常见形式及解法6 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程 l对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： l对于方程： l可知其通解： l然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值 01 常微分方程常见形式及解法7 二阶常系数齐次常微分方程二阶常系数齐次常微分方程 l对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 l对于方程： l可知其通解： l其

4、特征方程： l根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下): l(在的r1r2情况下): l(在共轭复数根的情况下)： 02 常微分方程常见形式及解法8 01 02 03 04 一般一般通解通解 可分离方程 一般一阶微分方程 一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶) 常微分方程常见形式及解法9 可分离方程可分离方程01 微分方程微分方程解法解法通解通解 一阶，变量 x 和 y 均可分离 分离变量（除以P2Q1）。 一阶，变量 x 可分离 直接积分。 一阶，变量 y 可分离 分离变量（除以 F）。 一阶，变量 x 和 y 均可分离 整个积分

5、。 常微分方程常见形式及解法10 一般一阶微分方程一般一阶微分方程 02 微分方程微分方程解法解法通解通解 一阶，齐次 令 y = ux，然后通过分离 变量 u 和 x 求解. 一阶，可分离变量 分离变量（除以 xy）。 如果N = M, 解为xy = C. 恰当微分, 一阶 其中 整个积分。 其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来 的函数而不是常数，将它们列在 这里以使最终函数 F(x, y) 满足初 始条件。 反常微分, 一阶 其中 积分变量 (x, y) 满足 如果可以得到 (x, y)： 常微分方程常见形式及解法11 一般二阶微分方程一般二阶微分方程 03 微分方程微分方程解法解法通解通解 二阶 原方程乘以 2dy/dx, 代换 , 然后两次积分. 一阶线性，非齐次的函数系数 积分因子: 二阶线性，非齐次的常系数 余函数 yc: 设 yc = ex， 代换并解出 中的多项 式，求出线性无关函数 。 特解 yp：一般运用常数 变易法，虽然对于非常 容易的 r(x) 可以直观判 断。 如果 b2 4c, 则: 如果 b2 = 4c, 则: 如果 b2 4c, 则: 线性方程线性方程 (最高到最高到n阶阶) 04 常微分