垂直平分线和角平分线典型题

1、 线段的垂直平分线与角平分线 （1） 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 1）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图 1，已知直线 m与线段 AB垂直相交于点 D， 且 AD BD，若点 C在直线 m上，则 ACBC. 定理的作用：证明两条线段相等 （ 2）线段关于它的垂直平分线对称 . 课堂笔记： 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （ 1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . 定理的数学表示：如图 2，已知直线 m与线段 AB垂直相交于点 D， 若 ACBC，则点 C在直线 m上

2、. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 课堂笔记： 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （ 1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 定理的数学表示：如图 3，若直线 i, j,k分别是 ABC三边 AB、BC、CA 的垂直平分线，则直线 i, j , k相交于一点 O，且 OAOBOC. 定理的作用： 证明三角形内的线段相等 . 2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝

3、角三角形， 则它三边垂直平分线的交点 在三角形外部 . 反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三 角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的 交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形 经典例题： 例 1 如图 1，在 ABC中， BC 8cm， AB 的垂直平分线交 AB于点 D，交边 AC 于点 E， BCE的周长等于 18cm，则 AC的长等于（） A6cmB 8cmC 10cmD 12cm 课堂笔记： 1） 如 图 ， AB=AC=14cm,AB的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 点 D， 交 AC 于 点 E

4、，如果 EBC的周长是 24cm，那么 BC= 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，如果 BC=8cm， 那么 EBC的周长是 如图， AB=AC,AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，如果 A=28 度，那么 EBC是 BC 例 2. 已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD上一点，求证： BE=CE。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在 ABC中， ON是 AB的垂直平分线 ,OA=OC 求证：点 O在 BC的垂直平分线 A N O BC 例 3. 在 ABC中， AB=AC，AB 的垂直平分线与边 AC所在的直线相交所成锐角为

5、 50， ABC的底角 B 的大小为 课堂笔记： 针对性练习： 1. 在 ABC中， AB=AC， AB的垂直平分线与 AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角 B 的大小为 例 4、如图 8，已知 AD是 ABC的 BC边上的高，且 C 2 B， 求证： BD ACCD. 证明：在 BD上取一点 E，使 DE DC，连接 AE，则 AE AC， 课堂笔记： 课堂练习： 1. 如图， AC=AD，BC=BD，则（ ） 垂直平分 AD 垂直平分 CD 平分 ACBD.以上结论均不对 2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形

6、C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 下列命题中正确的命题有（ ） 线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距 离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点 P在线段 AB外且 PA=PB，过 P作直线 MN， 则 MN是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线 . 4. ABC中，AB的垂直平分线交 AC于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么 DBC的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm cm 5. 已知如图，在 ABC中， AB=AC，O是 ABC内一点，且 OB=OC， 求证： AOBC. 6. 如图，在 AB

7、C中， AB=AC， A=120， AB的垂直平分线 MN分别交 BC、AB于点 M、N. 求证： CM=2BM. 课后作业： 1. 如图 7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 BC于点 E， ACE的周长为 50，求 BC 边的长 . 2. 已知：如图所示， ACB， ADB都是直角，且 AC=AD， P是 AB上任意一点，求证： CP=DP。 线段的垂直平分线与角平分线（ 2） 知识要点详解 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 定理的数学表示： 如图 4，已知 OE是 AOB的平分线， F是OE上一点， 若

8、CF OA于点 C，DF OB于点 D，则 CFDF. 定理的作用 ：证明两条线段相等；用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线 . 课堂笔记： 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的逆定理： 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 . D P 图5 定理的数学表示：如图 5，已知点 P 在 AOB的内部，且 PCOA于 C，PD OB于 D，若 PCPD，则点 P在 AOB的平分线上 . 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 . 课堂笔记： F I E Q 6、

9、关于三角形三条角平分线的定理： （ 1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 . 定理的数学表示：如图 6，如果 AP、 BQ、CR分别是 ABC的内角 BAC、 ABC、 ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点 I ； 若 ID、IE 、IF 分别垂直于 BC、CA、AB于点 D、E、F，则 DIEI FI. 定理的作用： 用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题 . 2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部 . 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图

10、： 1）会作已知线段的垂直平分线； 2）会作已知角的角平分线； 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形 课堂笔记： 经典例题： 例1、 已知：如图，点 B、C在A 的两边上，且 PEAB，PFAC，垂足分别是 E、 F。 求证： PE=PF 课堂笔记： 针对性练习： 已知： PA、PC分别是 ABC外角 MAC和 NCA平分线，它们交于 P，PD BM于 D，PF BN于 F，求证： BP为 MBN的平分线。 例 2、如图 10，已知在直角梯形 ABCD中，ABCD，ABBC，E 为 BC 中点，连接 AE、 DE， DE平分 ADC，求证： AE平分 BAD. 课堂笔记： 针对性练习： 如图所示， AB=AC， BD=CD，DEAB于 E，DFAC于 F，求证： DE=DF。 BAD与 BCD B 例 3、如图 11-1 ，已知在四边形 ABCD中，对角线 BD平分 ABC，且 互补， 求证： AD C