2019年四川省达州市高考数学一诊试卷(理科)

1、2019 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.已知全集 U= x|x（x-1） 0， A=1，则 ?UA=（）A. 0，1B. （0，1）C. 0，1）D. （ -， 0（ 1，+）2.复平面内表示复数的点位于（）A. 第一象限x2B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“m0）”是“+2x+m0对任意 xR 恒成立”的（A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.运行如图所示的程序框图，输出的x 是（）A. -2B. -3C. -4D. -55. 在等差数列 an 中

2、，an0（nN*）角 顶点在坐标原点， 始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点（ a2， a1+a3），则=（）A.5B. 4C. 3D. 26. b 是区间上的随机数，直线22y=-x+b 与圆 x +y =1 有公共点的概率为（）A.B.C.D.7. 如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A. 4B. 2C.D. 第1页，共 19页8. 扇形OAB的半径为1，圆心角为90 P上的动点，的最小值是（）， 是A. 0B. -1C.D.9.函数图象经过（0），它的一条对称，轴是，则=）（A.B. 1C. 2D. 810.函数 y=log 2（x+1）与函数

3、y=-2x3+3x2 在区间 0， 1上的图象大致是（）A.B.C.D.11. 已知椭圆的左右焦点分别为F1、F 2，抛物线 y2=4cx（ c2=a2-b2 ，c 0）与椭圆 C 在第一象限的交点为 P，若，则椭圆 C 的离心率为（）A.B.C.D.12. 若实数 a 的取值范围是（）A.1，eB. ，）C.e +二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）或或是（ 0， +）上的减函数，则D.13. 若（ x-2） n 展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为 _14.若x，y满足：，则x+3y的最大值是_15.三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球O 上，PA ，PB，PC 两

4、两垂直， PA=PB=PC=2，球 O 的体积为 _16. 记 x为不超过 x 的最大整数，如 0.8=0 ，3=3 ，当 0x2时，函数 （f x）=sin（ x +x）的最大值是 _【结果可用三角函数表示（如sin1）】第2页，共 19页三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 cos2A+cosBcosC+1=sin BsinC（ 1）求角 A；（ 2）若 a= ， c=2，求 b18. Sn 是等差数列 an 的前 n 项和， S10=100，a3+a4=12（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）数列

5、 bn 是等比数列， Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求证：恒成立19. 如图，四边形 ABCD 是正方形， G 是线段 AD 延长线一点， AD=DG ， PA平面 ABCD ， BEAP， BE =， F是线段 PG 的中点；（ 1）求证： EF平面 PAC；（ 2）若 PA=AB=2 时，求平面 PCF 与平面 PAG 所成二面角的余弦值20.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T（单位：吨）的频率分布直方图，如图一第3页，共 19页（ 1）根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；（ 2）已知该居民月用水量 T 与月平均气温 （t单位：）的关系可用回归直线 T

6、=0.4t+2 模拟 2017 年当地月平均气温 t 统计图如图二，把 2017 年该居民月用水量高于和低于 T 月 的月份分为两层，用分层抽样的方法选取5 个月，再从这5 个月中随机抽取 2 个月，这 2 个月中该居民有个月每月用水量超过，视频率为概率， 求出 E21. 已知 a 0，函数 f（ x） =ax2-x-ln x， g（ x） =lnx（ 1）求证： g（ x） x；（ 2）讨论函数 y=f（x）零点的个数22.在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程是为参数） ，直线 l 的参数方程是为参数， 0 ） l 与 C 相交于 A、 B以直角坐标系xOy 的原点 O 为极点，以x

7、 轴正半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程；（ 2）若，求 第4页，共 19页23. 设函数 f（ x） =|2x+2|+|x-3|（ 1）解不等式： f（ x） 7；（ 2）记函数 f（ x）的最小值为a，已知 m 0，n 0，且 2m+n=a，求证：第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：全集U=x|x （x-1）0=0，1，A=1 ，则 ?U A=0 ，1）故选：C根据补集的定义求出 A 补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.【答案】 D【解析】解：复平面内表示复数=1-i ，对应点为：（1，-1）在第四象限故选：

8、D直接利用复数的代数形式的混合运算化 简求解即可本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义础题，是基3.【答案】 C【解析】解：x2+2x+m0对任意 xR 恒成立 ? 0? m1，m0推不出 m1，m1 m0?，2对任意 xR 恒成立 ”的必要不充分条件“ 是”“x+2x+m0m0故选：C根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法 进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本 题的关键4.【答案】 A【解析】解：模拟运行如图所示的程序框 图知，该程序运行后 输出的 x=-3=-2故选：A第6页，共 19页模拟运行如图所示的程序框 图，即可得出该程序运行后

9、 输出的 x 值本题考查了程序框 图的理解与 应用问题，是基础题5.【答案】 B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过 点（a2，a1+a3），可得 tan =2，则=4故选：B运用任意角三角函数的定义和同角公式，注意弦化切方法， 结合等差数列中项性质，即可得到所求值本题考查任意角三角函数的定 义和同角公式的运用，考 查等差数列中 项性质，考查运算能力，属于基础题6.【答案】 C【解析】解：b 是区间上的随机数即 -2间长度为4，区由直线 y=-x+b 与圆 x2+y2=1 有公共点可得，-，区间长度为 2，直线 y=-x+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率P=

10、，故选：C利用圆心到直线的距离小于等半径可求出 满足条件的 b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解7.【答案】 B【解析】解：应用可知几何体的直 观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体 积为：=2故选：B第7页，共 19页画出几何体的直 观图，利用三视图的数据，求解几何体的体 积即可本题考查三视图求解几何体的体 积的求法，判断几何体的形状是解 题的关键8.【答案】 B【解析】解：根据题意建立平面直角坐 标系，如图所示；设点 P（x，y），则； =（x，y）， =（1，0）， =（0，1），=x-y ；由图形可知，当 x=0，y=1

11、时，上式取得最小值是-1故选：B建立平面直角坐 标系，用坐标表示向量、和，求出的最小值本题考查了平面向量的数量 积应用问题，利用坐标表示便于 计算，是基础题9.【答案】 C【解析】解：f（x ）图象经过（0，），f（0）=sin = ，0，= ，即 f（x）=sin（x+），第8页，共 19页f（x ）的一条对称轴是，+ =+k ，kZ，即 =2+8k，kZ，010，当 k=0 时，=2，故选：C根据图象过（0，），代入求出的值，结合对称性进行求解即可本题主要考查三角函数的性 质，结合图象过定点，以及三角函数的 对称性建立方程关系是解决本 题的关键10.【答案】 A【解析】解：由y=-2x3+

12、3x2y=-6x2+6x，得：得：y=-12x+6，当0x时，y0，即函数图象在此区 间越来越陡峭，当x 1时图象在此区间越来越平缓，y0，即函数故选：A函数的一 阶导的正负号可探究函数的增减性，函数的二 阶导的正负号可研究函数图象的陡峭与平 缓，时图时图缓，当 y 0，函数 象越来越陡峭，当 y 0，函数 象越来越平本题中由 y=-2x3+3x2，得：y=-12x+6，当0x时图象在此区间越来越陡峭，y0，即函数当x 1时图象在此区间越来越平缓，故可得解，y0，即函数本题考查了函数的 图象及用函数二 阶导研究函数陡峭及平 缓程度，属中档题11.【答案】 D【解析】第9页，共 19页解：作抛物

13、线的准线 l ，则直线 l 过点 F1，过点 P 作 PE 垂直于直 线 l，垂足为点E，由抛物线的定义知 |PE|=|PF |，2易知，PEx 轴，则EPF1=PF1F2，cosEPF1=cosPF1F2= ，设 |PF1|=5t（t0），则 |PF2|=4t，由椭圆定义可知，2a=|PF1|+|PF2|=9t，在 PF1F2 中，由余弦定理可得?|F1F2|cosPF1F2，整理得，解得或当时，；当时，离心率为 e=综上所述，椭圆 C 的离心率 为或故选：D作 PE 垂直于抛物 线的准线 l 于点 E，由抛物线的定义得出 cosEPF1= ，并设 |PF1|=5t（t0），则 |PF2|=

14、4t，由椭圆定义可得出 2a，在 PF1F2 中利用余弦定理可求出 2c 的值，可得出椭圆 C 的离心率的 值本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考 查计算能力与推理能力，属于中等题12.【答案】 D【解析】解：当xa 时，f（x ）=x-xlnx 的导数为 f （x）=1-1-lnx=-lnx ，由题意可得 -lnx 0，即 x1在 xa 恒成立，可得 a1，第10 页，共 19页由 0xa时，f （x）=- x2-a（a+1）lnx+（2a+1）x的导数为 f （x）=-x-+2a+1=-，由 f （x）0，解得 xa+1或 0xa在 0xa恒成立，即有 a 0，由 f（x）

15、为（0，+）上的减函数，可得 -a2-a（a+1）lna+（2a+1）aa-alna，即为 lna ，可得 0ae由 可得 a 的范围是 1ae故选：D分别考虑 xa，0xa时，f（x）的导数，由导数小于等于 0 恒成立，可得 a 的范围；再由函数的连续性，可得-a2-a（a+1）lna+（2a+1）aa-alna，解不等式可得所求范 围本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档 题13.【答案】 -1【解析】解：由已知可得，2n=32，则 n=5取 x=1，可得（x-255）展开式的各项系数和为（1-2）=-1故答案为：-1由已知可得 n，取

16、x=1 得答案本题考查二项式定理及其应键是明确二项展开式的二项式系数与项的用，关系数，是基础题14.【答案】 4【解析】解：画出x，y 满足：的平面图：区域，如由，解得 A （1，1）而 z=x+3y可化为 y=- x+，第11 页，共 19页由图象得直线过 A （1，1）时 z 最大，z 的最大值是：4，故答案为：4先画出满足条件的平面区域，求出 A 的坐标，结合图象求出 z 的最大值即可本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档 题15.【答案】 36【解析】解：如下图所示，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA PB=P，PC平面 PAB，PA=PB=2，所以，PAB 的外

17、接圆直径为斜边，所以，球 O 的直径为则，R=3因此，球 O 的体积为故答案为：36先证计的外接圆直径 AB，然后利用公式明 PC平面 PAB ，并 算出 PAB计算出球 O 的半径 R，最后利用球体体积公式可得出答案本题考查球体体积的计时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查算，同推理能力与 计算能力，属于中等题16.【答案】 -sin5【解析】解：当0x1 时，f（x ）=sin（x +x）=sinx，且f （x）0，sin1）；当 1x2 时，f（x）=sin（x +x）=sin（+x）=-sinx，由 sin1sin2，可得 f （x）-1，-sin1；当 2x3 时，f（x）=sin

18、（x +x）=sin（2+x）=sinx，由sin1sin2，可得 f （x）（sin3，sin2；第12 页，共 19页当 3x4 时，f（x）=sin（x +x）=sin（3+x）=-sinx，可得 f （x）-sin3，-sin4）；当 4x5 时，f（x）=sin（x +x）=sin（4+x）=sinx，可得 f （x）（sin5，sin4；当 5x6 时，f（x）=sin（x +x）=sin（5+x）=-sinx，可得 f （x）（-sin6，-sin5；当 6x2时，f （x ）=sin（x +x）=sin（6+x）=sinx，可得 f （x）sin6，0）由 -sin1 0，si

19、n4 0，sin2=sin（-2），-sin5=sin（2-5），而 0-22-5 ，可得 sin（-2）sin（2-5），即 0sin2-sin5，可得 f （x）的最大值为 -sin5故答案为：-sin5由新定义，讨论当 0x1 时，当 1x2 时，当 2x3 时，当 3x4 时，当4x 5，当 5x6，当6x 2时 ，结合诱导公式化简 f（x），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求最大 值 本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的 图象和性质，考查化简运算能力，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）由题意得： cos2A+cosBcosC+1=sin BsinC，整理后： cos2A

20、+1=sin BsinC-cosBcosC=-cos（ B+C）=cosA=2cosA2-1+1，化简结果后得A（ 0， ），（ 2）由余弦定理得：，由于若 a=， c=2 ，2解得： b=3 或 b=-1，又 b 0，b=3【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等 变变换求出 A 的值第13 页，共 19页（2）利用（1）的结论和余弦定理的 应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面 积公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型18.【答案】 解：（ 1）设等差数列 an 的公差为 d，S10=100， a3+a4=12 ，

21、解得 a1=1，d=2，an=a1 +（ n-1） d=2n-1；通项公式为an=2n-1；（ 2）证明：等比数列 bn 的公比设为 q，由 bn 0，可得 q 0，由 Sn= n（ 1+2n-1）=n2，可得 b1= ， b3=，即有 q2= ，即 q= ，Tn= -，bn= ?（ ）n-1=（ ） n+1，可得恒成立【解析】（1）设等差数列 a n 的公差为 d，运用等差数列的通 项公式和求和公式，解方程即可得到身心和公差，可得所求通项公式；（2）设等比数列的公比 为 q，由等比数列的通项公式和求和公式，可得 证明本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考 查方程思想和运算能

22、力，属于基 础题19.【答案】 （ 1）证明：分别连接DB， DF ，D ，F 分别是线段AG， PG 的中点，DF =，DF AP，第14 页，共 19页又 BE=， BEAP，四边形 BDFE 为平行四边形BD EF四边形 ABCD 时正方形， DB AC，PA平面 ABCD ， PABD，PA， AC 是面 PAC 内两两相交直线，DB 面 PAC， EF平面 PAC ；（ 2）解：分别以直线AB， AG， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，PA=AB=2 ，F（ 0，2，1），C（ 2，2，0），P（ 0，0，3），设平面 PCF 的法向量，由平面 PAG 的法向

23、量为cos=平面 PCF 与平面 PAG 所成二面角的余弦值为【解析】别连边形 BDFE为平行四边形，BD EF又 DB 面（1）分接 DB ，DF，可得四PAC，即可得 EF平面 PAC；（2）分别以直线 AB ，AG ，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面 PCF 的法向量，平面 PAG 的法向量 为，即可得平面 PCF与平面 PAG 所成二面角的余弦 值本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面所成角的求解，考查转化思想以及空 间想象能力 逻辑推理能力的 应用第15 页，共 19页20.【答案】 解：（ 1）由图一可知，该居民月平均用水量约为=

24、（ 0.0375 2+0.05 6+0.075 10+0.05 14+0.0375 18）4=10（吨）；（ 2）由回归直线方程T=0.4t+2 知，对应的月平均气温约为=（ 10-2） 0.4=20 ，再根据图二可得，该居民2017 年 5 月和 10 月的用水量刚好为，且该居民2017 年 4个月用水量高于，有 6 个月低于T 月，因此用分层抽样的方法选取5 个月，有2 个月高于，有 3 个月低于，则随机变量的可能取值为0，1， 2；计算 P（ =0） =， P（ =1） = ， P（ =2）=；故 的分布列如下表：012P数学期望E（ ）=0+1 +2= 【解析】（1）由图一计算该居民月

25、平均用水量即可；（2）由回归直线方程和图二，利用分层抽样法得出随机 变量 的可能取 值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值本题考查了频率分布直方 图与离散型随机 变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题21.【答案】 证明：（ 1）设 G（x） =g（ x） -x，则 G（ x） =ln x-x，x 0，且，当 0 x1 时， G（ x） 0， G（ x）递增，当 x 1 时， G（ x） 0，G（ x）递减，G（ 1） =0，G（ x） 最大 =G（ x） 极大 =G（ 1） =-1 0，G（ x） =g（ x） -x 0，g（ x） x解：（ 2） f（ x） =ax2-x-l

26、n x，（ a 0），x 0， f（ x）=，（ -1） 2+8a 0，方程 2ax2 -x-1=0 有两个不相等的实根，分别为x1， x2（ x1 x2，且 0，x10 x2，当0 x x2 时， f（ x） 0，f（x）递减，当 x x2 时， f（ x） 0， f（ x）递增，fx2 ）=0， f（ x） min=f（ x2） =ax222-lnx2，（-x2ax222，+x -1=0 ，即fx）+（第16 页，共 19页22，由（-1）+8a 0，得到方程 2ax -x-1=0 有两个不相，则0，从而 F（x）是减函数，设Fx =-，则0F x）是减函数，（ ）， （当 x1=1，即

27、a=1 时， f（ x） min=0，函数 y=f（ x）只有一个零点，当 0 x2 1，即 a=+ = （） 2- 1 时， f （ x） min 0，函数 f（ x）没有零点，当 x2 1，即 a（ 0，1）时， f（ x） min 0，且 x2=，由（1）知 ln x x， f（ x） =ax22），-x-lnx ax -x-x=ax（x-若 a ，则有 f（x） 0，x2=，函数 y=f（ x）有且只有一个大于 x2 的零点，又 f（ ） =- 0，即函数 y=f（ x）在区间（0，x2 ）有且只有一个零点，综上，当 0a 1 时，函数 f（ x）有两个零点；当a=1 时，函数 f（ x）只有一个零点，当 a 1 时，函数 y=f（ x）没