2019年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.设全集 U=R，集合 A= x|x 0 ，B= x|-7 2+3x 5 ，则 ?U（ AB） =（）A. x|0 x 1B. x|x0或 x 1C. x|x-3D. x|x -32.已知复数 z1， z满足z1=-1- i ，z1z=4 ，则复数 在复平面内对应点的坐标为（）A. （ 2， -2）B. （ -2， 2）C. （2，2）D. （ -2， -2）3.在等比数列 an251） 中，若 a =2， a =-54，则 a =（A.B.C.D.4. -），tan =si

2、n76 cos46-cos76sin46sin =）已知 （，则（A.B.C.D.5. 如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为 E，F，AB=6，AD =8，AA1=7，则异面直线EF 与 AA1所成角的正切值为（）A.B.C.D.2226. 已知直线 l： 3x-4y-15=0 与圆 C： x +y -2x-4y+5- r =0（ r 0）相交于 A，B 两点，若|AB|=6，则圆 C 的标准方程为（）A. （x-1）2+（y-2）2=36B. （x-1）2+（y-22=25222）2C. （ x-1）+（ y-2）=16D. （ x-1） +（

3、y-2） =497. 已知 P（ ，1）， Q（ ，-1）分别是函数 f（ x） =sin（x+）（ 0， | |）图象上相邻的最高点和最低点，则=（）A.B.C.D.第1页，共 19页8. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的 ，则输入的 x=（）A.B.C.D.9. 某技术学院安排 5 个班到 3 个工厂实习， 每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A. 60种B. 90种

4、C. 150种D. 240种10. 已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A.4B.6C.8D.1011. 已知抛物线 y2=2px（p 0）的焦点为 F，准线为 l ，直线 y=k（x- ）交抛物线于 A，B 两点，过点A 作准线 l 的垂线，垂足为E，若等边 AFE 的面积为 36，则 BEF的面积为（）A. 6B. 12C.16D. 2412.已知函数（ aR），若方程f（ f（ x） -2=0 恰有 5 个不同的根，则 a 的取值范围是（）A. （ -， 0）B. （ 0， +）C. （0，1

5、）D. （ 1，+）二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在正方形 ABCD 中， E 为线段 AD 的中点，若=+，则 + =14.已知数列 an 的前 n 项和为 S ，若 an+2-a=a -a ， a=2， a =8，则 S =_nn+1n+1n13415.已知函数 f（x）=+x+a-1 的图象是以点 （ -1，-1）为中心的中心对称图形， g（x）=ebx+ax2 +bx，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与曲线y=g（ x）在点（ 0，g（ 0）处的切线互相垂直，则a+b=_16.用 0 与 1 两个数字随机填入如图所示的5 个格子里，每个格子填一

6、个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1 的个数不少于0的个数，则这样填法的概率第2页，共 19页为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.在 ABC 中，内角A，B， C 的对边分别为a， b， c，且 3b2+3c2-4bc=3a2（ 1）求 sinA；（ 2）若 3csinA=asinB， ABC 的面积为，求 ABC 的周长18.2018 年 9 月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达 52 亿元 某青年志愿者组织调查了某地区的50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：0，2000 ，（ 2000，40

7、00，（ 4000，6000，（ 6000，8000 ，（ 8000， 10000 （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图（ 1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（ 2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超过 4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶， 设抽出损失超过 8000 元的农户数为 X，求 X 的分布列和数学期望19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC =60 ，PB=PC，E 为线段 BC 的中点， F 为线段 PA上的一点（

8、1）证明：平面 PAE平面 BCP第3页，共 19页（ 2）若 PA=AB= PB，二面角 A-BD =F 的余弦值为 ，求 PD 与平面 BDF 所成角的正弦值20. 设 D 是圆 O：x2+y2=16 上的任意一点， m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线， E 是直线m 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 m 上，且满足 2|EQ|= |ED|当点 D 在圆 O 上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C（ 1）求曲线 C 的方程（ 2）已知点 P（2， 3），过 F（ 2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交直线 x=8于点 M判定直线PA， PM， PB 的斜率是否依次构成等差数

9、列？并说明理由21. 已知函数 f（ x） =lnx -ax（ aR）（ 1）讨论 f（ x）的单调性；（ 2）若 x1， x2 满足 f（ x1） =f（ x2） =1 证明： x1+x2 2e222. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为r0 （ ， 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ +） +1=0 若直线 l 与曲线 C 相切（ 1）求曲线 C 的极坐标方程；（ 2）在曲线 C 上任取两点 M，N，该两点与原点 O 构成 MON ，且满足 MON = ，求 MON 面积的最大值第4页，共 19页23. 已知函数

10、f（ x） =|ax-1|-|2x+a|的图象如图所示（ 1）求 a 的值；（ 2）设 g（ x） =f（ x+ ） +f（ x-1 ）， g（ x）的最大值为t，若正数 m， n 满足 m+n=t，证明：第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：根据题意，B=x|-7 2+3x5=x|-3 x1 ，则 A B=x|x -3 ；故 ?U（A B）=x|x -3 ；故选：C根据题意，由并集的定义求出 A B，进而由补集的定义分析可得答案本题考查集合的混合运算，关 键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题2.【答案】 D【解析】解：由z1=-1-i ，z1z=4，得z=，则复数在复

11、平面内 对应点的坐标为（-2，-2）故选：D把 z1=-1-i 代入 z1z=4，变形后利用复数代数形式的乘除运算化 简，进一步求得得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的基本概念，是基 础题3.【答案】 B【解析】解：在等比数列 an 中，若 a2=2，a5=-54，解得 a1=-，q=-3故选：B利用等比数列通 项公式列出方程 组，能求出首项第6页，共 19页本题考查等比数列的首 项的求法，考查等比数列的性 质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.【答案】 A【解析】解：由tan =sin76 cos46-cos76 sin46 =sin（76-46 ）=sin30 =，且

12、（-），（0，），联立，解得 sin = 故选：A由已知求得 tan ，再由同角三角函数基本关系式 结合角的范 围求解本题考查三角函数的化 简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题5.【答案】 A【解析】解：取A 1B1 中点 G，连接 EG，FG，EGFG，因为EGAA 1，所以异面直 线 EF 与 AA 1 所成角为FEG 或其补角，在 EFG 中，FG=5，EG=7，所以 tanFEG=，故选：A由题线EF与 AA1所成角为FEG 或其补角，在EFG 中意平移 AA 1，异面直可求本题考查异面直线所成的角，属于简单题6.【答案】 B【解析】解：化圆 C：x2+y2-2x

13、-4y+5-r2为22 2，=0（r0） （x-1）+（y-2）=r可得圆心坐标为为r，（1，2），半径由圆线l：3x-4y-15=0 的距离 d=，心（1，2）到直且 |AB|=6，第7页，共 19页得 r2=32+42=2522圆 C 的标准方程为（x-1）+（y-2）=25故选：B化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出 圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的 应用，是基础题7.【答案】 C【解析】解：函数过点 P（，1），Q（，-1），由题意，得T=-，T=， =3，f（x ）=sin（3x+ ），将点 P（，1）代入，

14、得sin：（3+）=1，3+ =k +，kZ，解得： =k +，kZ，| | ，= ， =3=故选：C由题意可求 T，利用周期公式可求 ，将点 P（，1）代入，得：sin（3+）=1，解得 =k+，kZ，结合范围 | | ，可求 的值，即可计算得解本题重点考查了由 y=Asin （x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的 图象与性质 等知识 ，属于基础题 8.【答案】 C【解析】解：i=1 时 x=2x-1，i=2 时，x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3 时，x=2（4x-3）-1=8x-7，第8页，共 19页i=4 时，退出循环，此时 8x-7=x解得 x=，故选：C根据程序框 图进行

15、模拟运算即可本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模 拟运算法是解决本 题的关键9.【答案】 C【解析】题进行分析：解：根据 意，分 2 步 、将5个班分为 3组，若分为 2、2、1的三组，有=15 种分组方法；若分为311组，有C3=10 种方法，、的三5则一共有 15+10=25 种分组方法； 、将分好的三组对应 3 个工厂，有 A 33=6 种情况，则共有 256=150 种不同的分配方案故选：C根据题意，分 2 步分析：先将 5 个班分为 3 组，有2 种分组方法，分为 2、2、1的三组或 3、1、1 的三组，由组合数公式可得其分 组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分 组的

16、情况数目，第二步，将分好的三 组对应 3 个不同的工厂，由排列数公式可得其 对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分 组，再排列10.【答案】 B【解析】第9页，共 19页解：如下图所示，设两圆的圆心为 O1、O2，球心为 O，公共弦为 AB ，中点为 E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则 OO1EO2 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为 r，又 |OE|2+|AE|2=|OA|2，即32-2r2+2=16，则 r2=9，r=3，所以，这两个圆的半径之和为 6，故选：B根据题意得知两 圆半径相等，并设

17、两圆半径为 r，利用勾股定理计算出 OE、AE 的长度，然后利用勾股定理列关于r 的方程，可求出 r 的值，即可得出答案本题考查与球的半径相关的 计算，解决本题的关键在于一些几何关系的应用，考查推理能力与 计算能力，属于中等题11.【答案】 B【解析】解：因为AFE 是等边三角形，所以 k=，AFE 的边长为：2p，由，解得 p=6，抛物线方程为：y2=12x，联立，解得 x2-10x+9=0，所以，xA =9，x B=1，所以 |BF|=4，|AF|=12，故 BEF 的面积为：=12故选：B通过三角形的面积联立直线与抛物线转求出 p，然后方程， 化求解 AB 的横坐第10 页，共 19页标

18、，然后求解三角形的面 积本题考查直线与抛物线的位置关系的 综合应用，考查转化思想以及 计算能力12.【答案】 B【解析】解：当x0 时，当 0x1 时，f （x）0，函数 f（x）单调递减；当 x1 时，f （x）0，函数 f（x）单调递增，所以 f （x）=f （1）=1，当x0时，f（x）=ax+3 的图象恒过点（0，3），min当 a0，x0时，f （x）f（0）=3，当a 0，x0时，f（x）f（0）=3，作出大致图象如图所示方程 f （f（x）-2=0 有 5 个不同的根，即方程 f （f（x）=2 有五个解，设 t=f（x），则f （t）=2结合图象可知，当 a 0 时，方程f （

19、t）=2 有三个根 t （-，0），t（0，1），t（1，1233）（，1t33），于是f（x）=t1 有一个解，f（x）=t2 有一个解，f（x）=t3 有三个解，共有 5 个解，而当 a0时，结合图象可知，方程 f （f（x）=2 不可能有 5 个解综上所述：方程 f （f（x）-2=0 在 a 0 时恰有 5 个不同的根故选：B利用函数的 导数，判断函数的单调性求出函数的最 值，通过函数的图象，转化求解即可第11 页，共 19页本题考查函数的零点以及函数的 导数的应用，考查转化思想以及 计算能力，数形结合的应用13.【答案】【解析】解：如图所示，=+，=，=+又=+，则 = ，=1则 +

20、=故答案为： 利用向量三角形法 则、向量共线定理即可得出本题考查了向量三角形法 则、向量共线定理，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题14.【答案】 26【解析】解：由an+2-an+1=an+1-an，可得：数列an 为等差数列，设公差为 da1=2，a3=8，2+2d=8，解得 d=3则 S4=42+3=26故答案为：26由 an+2-an+1=an+1-an，可得：数列an 为等差数列，设公差为 d利用通项公式与求和公式即可得出本题考查 了等差数列的通 项公式与求和公式，考 查 了推理能力与 计算能力，属于中档 题15.【答案】【解析】第12 页，共 19页解：由y=x+的图象关于（0

21、，0）对称，y=f（x）的图象可由 y=x+平移可得函数 f （x）=+x+a-1 的图象是以点（-1，-1）为中心的中心 对称图形，可得 a-2=-1，即a=1，则 f（x）=+x，f （x）=1-，可得 f（x）在x=1 处的切线斜率为，g（x）=ebx+x2+bx 的导数为 g（x）=bebx+2x+b，可得g（x）在x=0 处的切线斜率为2b，由题意可得 2b?=-1，可得 b=-则 a+b=1- = 故答案为： 由 y=x+ 的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由 y=x+ 平移可得由题意可得 a-2=-1，可得 a，分别求得 f（x），g（x）的导数，可得切线斜率，由两直

22、线垂直的条件：斜率之积为 -1，可得 b，进而得到所求和本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题16.【答案】【解析】解：用0 与 1 两个数字随机地染如 图 所示表格中 5 个格子，每个格子染一种 颜色，则有：25=32 个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子， 总 1 的个数不少于0 的个数，包含的基本事件有：全填 1，有1 种方法，第一个格子填 1，另外四个格子中有 1 个格填 1，剩余的都填 0，有4 种方法，第一个格子填 1，另外四个格子中有 2 个格填 0，剩余的都填 1，有5 种方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子， 总有黑色

23、格子不少于白色格子，包含的基本事件有： 1+4+5=10 种，从左到右数，不管数到哪个格子， 总是 1 的个数不少于 0 的个数的概率 为：p=故答案为：第13 页，共 19页用用 0 与 1 两个数字随机填入表格中 5 个格子，每个格子都有 2 种填法，由此利用乘法原理能求出不同的染色方法种数，再利用分 类讨论方法求出出 现从左至右数，不管数到哪个格子， 总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，由此能求出不管数到哪个格子， 总有黑色格子不少于白色格子的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17.【答案】 （本题满分为12 分）222由余弦定

24、理得cosA=，又 0 A ，sinA=6 分（ 2） 3csinA=asinB，由正弦定理可得： 3ac= ab，解得： b=， 8分ABC 的面积为= bcsinA=，解得： c=2， 10 分b=3 ， 11 分a=，可得： ABC 的周长 a+b+c=2+3 +12 分【解析】（1）先把题设 条件代入关于 A 的余弦定理中，求得 cosA 的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinA 的值（2）由已知及正弦定理可解得 b=，利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而可求 b，利用余弦定理可求 a，即可得解ABC 的周长的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应查用

25、，考了学生对 基础知识的掌握和基本的 计算能力，属于基础题 18.【答案】 解：（ 1）记每个农户的平均损失为元，则=（ 1000 0.00015+30000.00020+5000 0.00009+70000.00003+9000 0.00003）2000=3360 ；（ 2）由频率分布直方图， 可得损失超过1000 元的农户共有 （ 0.00009+0.00003+0.00003 ）第14 页，共 19页2000 50=15（户），损失超过 8000 元的农户共有 0.00003 200050=3 （户），随机抽取 2 户，则 X 的可能取值为 0， 1， 2；计算 P（ X=0）=，P（X

26、=1）=，P（X=2）=，所以 X 的分布列为；X012P数学期望为E（X） =0 +1 +2 = 【解析】（1）根据频率分布直方 图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方 图计算随机变量 X 的可能取 值，再求 X 的分布列和数学期望值本题考查了频率分布直方 图与离散型随机 变量的分布列与数学期望 计算问题，是中档题19.【答案】 证明：（ 1） 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC=60 ， PB=PC，E 为线段 BC 的中点，AEBC， PEBC，AEPE=E， BC平面 PAE，BC? 平面 BCP， 平面 PAE平面 BCP解：（ 2） BC 平

27、面 PAE， BCAD ， PAAD，PA=AB=PB， PA2+AB2=PB2， PAAB，ABAD =A， PA平面 ABCD ，以 A 为原点， AE， AD， AP 为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，设 PA=AB= PB= ， AF=t ，则 B（， -， 0）， D （ 0， 0）， F （ 0， 0， t），=（ -， 0），=（ -， t），设平面 BDF 的法向量=（ x， y， z），第15 页，共 19页则，取 y=1 ，得 =（，1，），平面 ABD 的法向量=（ 0， 0， 1），二面角 A-BD=F 的余弦值为 ，|cos|= ，解得 t=，F（ 0， 0

28、，）， P（ 0， 0，），=（ 0， -），平面BDF 的法向量=（，1， ），设 PD 与平面 BDF 所成角的平面角为，则 PD 与平面 BDF 所成角的正弦值：sin =【解析】（1）推导出 AE BC，PEBC，从而BC平面 PAE，由此能求出平面 PAE平面BCP（2）推导出 PAAD ，PAAB ，从而 PA平面 ABCD ，以A 为原点，AE ，AD ，AP 为 x ，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 PD 与平面 BDF 所成角的正弦 值本题考查面面垂直的 证明，考查线面角的正弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，

29、考查函数与方程思想，是中档题【答案】 解：（ 1）设 Q（ x，y）， D（ x0， y0）， 2|EQ|=|ED |， Q 在直线 m 上，20.x0=x，|y0|=|y|点 D 在圆 x2+y2=16 上运动，x02+y02=16 ，将式代入式即得曲线22+ =1，C 的方程为 x + y =16，即（ 2）直线 PA， PM ， PB 的斜率成等差数列，证明如下：由（ 1）知椭圆 C： 3x2+4 y2=48，直线 l 的方程为 y=k（ x-2），代入椭圆方程并整理，得（ 3+4k2） x2-16k2x+16k2 -48=0设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2），直线 PA，

30、 PM， PB 的斜率分别为 k1， k2， k3，第16 页，共 19页则有 x1+x2=， x1x2=，可知 M 的坐标为（ 8， 6k）k1 3+=+k =2 k-3?=2k-3? =2 k-1，2k2=2?=2k-1k1+k3=2 k2故直线 PA， PM， PB 的斜率成等差数列【解析】题设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q 在直线则椭圆（1）由 意m 上，的方程即可得到；设线l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 k1+k3，并（2） 出直求得 k2 的值，由k1+k3=2k2 说明直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列本题主要考查直线与椭圆

31、的位置关系的 应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解 题，是处理这类问题 的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力， 该题是中档题21.【答案】 解：（ 1） f（ x）= -a（ x 0）a0时， f（ x） 0，此时函数f（ x）在（ 0，+）上单调递增a 0 时， f（ x） =，可得函数f（ x）在（ 0， ）上单调递增，在上单调递减（ 2）由（ 1）可得： a 0 时，x= 时，函数 f（ x）取得极大值即最大值，f=ln -1 1，解得 0 a e2要证明 x1+x2 2e2即证明x1+x2 不妨设0 x1 x2，即证： x2 -x1即证： f（ x1） =f（ x2） f（ -x1）设 F （x） =f（ x） -f（ -x）， x（ 0， .=0则 F （x） =ln x-ax-ln （ -x） +a（ -x） =ln x-ln（ -x） +2-2ax，