2019年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

1、2019 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.己知集合 A=0 ， 1， 2， 3，4 ， B= x|ex-1 1 ，则 AB=（）A.1， ，4B.2， ，4C.3，4D.42333. 如图所示的茎叶图记录的是甲、 乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩每道题 5 分，共 8 道题已知两组数据的中位数相同，则m 的值可能为A. 0B. 2C. 3D. 54.“ a=b=1”是“直线 ax-y+1=0 与直线

2、x-by-1=0 平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设 ， 是互相垂直的单位向量，且（ + ） （ +2），则实数 的值是（）A. 2B. -2C. 1D. -16.执行如图的程序框图，其中输入的，则输出 a 的值为（）A.-1B.1C.D.-第1页，共 18页7.抛物线的焦点为 F ， P 是抛物线上一点，过P 作 y 轴的垂线，垂足为Q，若 |PF|=，则 PQF 的面积为（）A. 3B.C.D.8.已知 O： x2+y2=5 与 O1：（ x-a）2+y2=r2（ a 0）相交于 A、B 两点，若两圆在 A点处的切线互相垂

3、直，且|AB |=4，则 O1 的方程为（）A. （ x-4） 2+y2=20B. （ x-4） 2+y2=502222C. （ x-5）+y =20D. （ x-5） +y =509.在边长为 2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形 3 个顶点的距离都不小于 1 的概率为（）A.B.C.D.10.已知，是焦距为8E的左右焦点，点关于的双曲线 ：双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点A，若，则此双曲线的离心率为A.B.C.2D.311. 博览会安排了分别标有序号为“ 1 号”“ 2 号”“ 3 号”的三辆车， 等可能随机顺序前往酒店接嘉宾 某嘉宾突发奇想， 设计两种乘车方案 方案一：不乘坐

4、第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车 记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为P1，P2，则（）A. P1?P2=B.12. 函数是（）A. 1B.P1=P2=C. P1+P2=D. P1 P2在（ -，+）上单调递增，则实数a 的范围（ -1， 1）C. （ 0.1）D. -1 ， 1二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. （ 2+ ）（ 2+x） 5 的展开式中 x2 的系数是 _（用数字作答）14. 一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，

5、再将小球放回重复50次这样的实验记“取出的3 个小球中有 2 个红球， 1 个蓝球”发生的次数为，则 的方差是 _15.x-xf3x-1）+f20的x的取值范围是_若 f（ x）=e-e ，则满足不等式（ ）16.已知椭圆 C：的右焦点为 F，点 A（ -2，2）为椭圆 C 内一点 若椭圆 C 上存在一点P，使得 |PA|+|PF |=8，则 m 的最大值是 _ 三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4 an-4， nN* （ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）令，求数列 bn 的前 n 项和 Tn第2页，共 18页18.

6、 进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量（ x 万99.510.51188.5辆）10空气质量指数767779807375y78（ 1）根据表中周一到周五的数据，求y 关于 x 的线性回归方程（ 2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分

7、别为=，=19.ABC 的内角 ABC 的对边分别为a，b，c，己知=b（ c-asinC）（ 1）求角 A 的大小；（ 2）设 b=c， N 是ABC 所在平面上一点，且与A 点分别位于直线 BC 的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC 面积的最大值20. 己知椭圆 C：的左右焦点分别为F1， F 2，直线 l ：y=kx+m 与椭圆 C 交于A，B 两点 O 为坐标原点（ 1）若直线 l 过点 F 1，且 |AF2 |十 |BF 2|=，求直线 l 的方程；（ 2）若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足OPAB，求点 P的轨迹方程第3页，共 18页

8、21. 己知函数（ 1）若 f（ x）有两个极值点，求实数m 的取值范围：2分别记为 x1，x2，（ 2）若函数 g（ x）=xlnx- mx -elnx+emx 有且只有三个不同的零点，x3，设 x1 x2 x3，且的最大值是e2，求 x1 x3 的最大值22. 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（ 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为： （ cos+sin）=t（ 1）求曲线 C 的极坐标方程；（ 2）设直线=与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P， Q 两点，已知|OM |?|OP|?|OQ|=10，求 t 的值23.

9、已知函数 f（ x） =|x-m|， mR（ 1） m=1 时，求不等式 f（ x-2） +f（ 2x） 4 的解集；（ 2）若 t 0，求证： f（ tx） tf（x） +f（ tm）第4页，共 18页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：=，复数对应的点的坐 标为（），所在的象限是第一象限故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数的基本概念，是基 础题2.【答案】 B【解析】解：B=x|x 1 ；A B=2，3，4 故选：B可解出集合 B，然后进行交集的运算即可考查描述法、列举法表示集合的定 义，指数函数的单调性，以及交

10、集的运算3.【答案】 D【解析】解：甲的数据是：25，30，35，40，40，中位数是 35，乙的数据是：30，30，30+m，35，40，若两组数据的中位数相同，则 m 可能是 5，故选：D分别列举出甲，乙的数据，求出甲的中位数，从而判断出 m 的可能的 值即可本题考查了茎叶图问题，考查中位数的概念，是一道基 础题4.【答案】 A【解析】解：“直线 ax-y+1=0 与直线 x-by-1=0 平行 ”由两直线平行的充要条件可得：，即，“ a=b=1是”“的充分不必要条件，第5页，共 18页即 “a=b=1是”“直线 ax-y+1=0 与直线 x-by-1=0 平行 ”的充分不必要条件，故选：

11、A两直线平行的充要条件可得： “直 线 ax-y+1=0 与直线 x-by-1=0 平行 ”的充要条件是“”又 “a=b=1是”“的充分不必要条件，得解本题考查两直线平行的充要条件及充分必要条件，属简单题5.【答案】 B【解析】解：是互相垂直的 单位向量；又；=-2故选：B根据条件可得出，并且，从而得出进积的运算即可求出 的值， 行数量考查单位向量的概念，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算6.【答案】 B【解析】题，b=-解：根据 意得，a=-aba=-（-）=1；故选：B运用程序框 图的条件结构可解决此 问题 本题考查程序框图的条件结构7.【答案】 D【解析】第6页，共 18页题线的焦

12、点为F，P是抛物线上一点，解：由 意，抛物过P 作 y轴的垂线为Q，若|PF|=，垂足设 P（，y0），所以y0=2，SQPF=|PQ|y0|=32=6故选：D求出抛物 线的焦点坐 标，利用抛物线的定义可知 |PF|=|PQ|+，进而可求得y0，求出 P 的坐标，最后利用三角性的面 积公式求得答案本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考 虑到抛物线的定义，考查计算能力【答案】 C8.【解析】题O x2 2圆O为0 0为x-a解：根据 意，：+y =5，心，O：（）（， ），半径12+y2=r2，圆心 O1：（a，0），半径为 r，圆2222若O：x+y =5与圆：（x+m）

13、+y =20相交于， 两点，且两圆在点A处1O2A B的切线互相垂直，2 2 2则有（ ）+（r）=a ，又由 |AB|=4 ，则有|OO1|=r，即|a|=r，联立 可得：5+r2=5r2，解可得 r2=20，a=5，为2 2故 O1 的方程 （x-5）+y =20，故选：C根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得（2）+（r）2=a2，又由|AB|=4，分析可得|OO1|=r，即|a|=r，将2 个式子联立解可得 a、r 的值，由圆的标准方程分析可得答案本题考查圆与圆的位置关系以及直 线与圆的位置关系，注意分析切 线的关系，属于综合题第7页，共 18页9.【答案】 B【解析

14、】解：若点P 到三个 顶点的距离都不小于1，则 P 的位置位于阴影部分，如 图所示，圆积为2三角形在三个的面之和1，=ABC 的面积 S=22sin60 =，则阴影部分的面 积 S=- ，则对应的概率 P=1-故选：B根据几何概型的概率公式求出对应区域的面 积，求概率即可本题主要考查了几何概型的概率 计算问题，根据条件求出阴影部分的面 积是解题的关键10.【答案】 C【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y=x，AF2 交渐近线于 M，点 F2 关于双曲 线 E 的一条渐近线的对称点为点 A ，可得OM 为AF1F2的中位线，可得 |OM|=|AF1|=2，由 2c=8，c=4，且 |MF2

15、|=b，第8页，共 18页即有 b=2，a=2，则 e= =2故选：C设出双曲线的一条渐近线方程，AF2 交渐近线于 M，由OM 为AF1F2 的中位线，运用中位线定理和点到直 线的距离公式、结合勾股定理可得 a，b，进而得到所求离心率本题考查双曲线的方程和性 质，主要是离心率和渐近线方程，考查中位线定理的运用，及方程思想，属于中档 题11.【答案】 C【解析】【分析】利用列举法求出方案一坐到 “3号”车的概率 P1，利用古典概型求出方案二坐到 “3号”车的概率 P2，由此能求出结果本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基 础知识，考查推理能力与 计算能力，属于基础题【解答】解：分别标有序

16、号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾，基本事件有：（1，2，3），1（，3，2），2（，1，3），2（，3，1），3（，1，2），3（，2，1），共 6种，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此 车，否则乘坐第三 辆车，方案一坐到 “3号 ”车包含的基本事件有：（1，3，2），2（，1，3），2（，3，1），有3种，车P方案一坐到“3 ”的概率号1=，方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到 “3号”车的概率为 P2=P1+P2=第9页，共 18页故选 C12.【答案】 A【解析】解：函数 f（x）在R 上单调递增f

17、 （x）=ex-1 -ax+（a-1）0恒成立，令 g（x）=ex-1-ax+（a-1），则 g（x ）=ex-1 -a，g（1）=0g（x ）必须在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增1 为函数 g（x）的极小值点g（1）=1-a=0，解得 a=1故选：A函数 f （x）在R 上单调递增f （x）=ex-1-ax+（a-1）0恒成立，令 g（x）=ex-1-ax+（a-1），g（x）=ex-1 -a，由g（1）=0可得 g（x）必须在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增因此 1 为函数 g（x）的极小值点即可得出本题考查了利用导数研究函数的 单调性极值与最值、等价转化方法、方

18、程与不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于难题13.【答案】200【解析】解：（2+52345）（2+x）（32+80x+80x +40x +10x +x），=（2+展开式中 x2 的系数为 160+40=200，故答案为：200552的系把（2+x） 按照二项式定理展开展开，可得（）（ ）的展开式中 x=2+2+x数本题主要考查二项式定理的应项展开式的通项项式系数的性用，二公式，二质，属于基础题14.【答案】 12【解析】第10 页，共 18页解：一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回重复 50 次这样的实

19、验 记“取出的 3 个小球中有2 个红球，1个蓝发为，球” 生的次数取出 2 个红球，1 个蓝球的概率 为：P= ，B（50， ），的方差是 D（）=50 =12故答案为：12记 “取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数 为 ，先求出取出 2个红球，1 个蓝球的概率 为：P= = ，从而 B（50， ），由此能求出的方差本题随机变量的方差的求法，考 查二项分布等基 础知识，考查运用概率 统计知识解决简单实际问题 的能力，数据处理能力，是中档题15.【答案】 （ - ， +）【解析】解：根据题意，f （x）=ex-e-x，则 f （-x）=e-x-ex=-（ex-e-x）=-

20、f （x），则函数 f（x）为奇函数，又由 f （x）=ex+e-x0，则函数 f（x ）在R 上为增函数；则 f（3x-1）+f（2）0? f （3x-1）-f （2）? f（3x-1）f（-2）? 3x-1-2，解可得 x - ，即 x 的取值范围为（- ，+）；故答案为：（- ，+）根据题意，分析可得 f （-x）=e-x-ex=-（ex-e-x）=-f （x），则函数 f（x）为奇函数，求出其导数，由 f （x）=ex+e-x0 可得 f（x）在R 上为增函数，则 f （3x-1 ）+f （2）0? 3x-1-2，解可得 x 的取值范围，即可得答案第11 页，共 18页本题考查函数的奇

21、偶性与 单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的 单调性，属于综合题16.【答案】 25【解析】解：椭圆 C：的右焦点为 F，记椭圆的右焦点 为 F（2，0），则 |AF1|=2，|P F| |P A|+|AF，112a=|PF |+|PF| |P A|+|AF|+|P F| 2+8=10，11即 a5；即m25故答案为：25通过记椭圆 的右焦点 为 F（2，0），则 |AF|=1，利用|P F| |P A|+|AF，可知 a5；11进而可得结论本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本 题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题17.【答案】 解：（ 1） 3Sn=4 an-4，当 n2

22、时， 3Sn-1 =4an-1 -4，由 -得 3an=4an-4an-1，即 an-4an-1 （ n2），当 n=1 时，得 3a1=4a1-4，即 a1 =4可得数列 an 是首项为4，公比为4 的等比数列，n（ 2）= （ -），可得数列 bn 的前 n 项和 Tn= （ 1- + - + + -）= （1-） =【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的定 义和通项公式，即可得到所求通 项公式；（2）求得=（ -），再由裂项相消求和即可得到所求和第12 页，共 18页本题考查等比数列的定 义和通项公式，考查裂项相消求和方法，考查化简整理的运算能力，属于中档 题18.1=10+9+9.5

23、+10.5+11=10=78+76+77+79+80 =782xi -yi-=54=2.5=27=-=78-2 10=588yx=2x+5892x=8=28+58=74|74-73|=1 210x=8.5=28.5+58=75|75-75|=0 21112（1）分别求出 x，y 的平均数，求出回归系数 a，b 的值，求出回归方程即可；（2）求出残差，结合误差均不超 过 2，判断即可本题考查了回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题19.1=bc-asinCcbcosA=bc-asinCccosA=c-asinC sinCcosA=sin C-sinAsinCsinC 0cosA=1-sinAs

24、inA+cosA=1sinA+cosA=sinA+=0A A+=A=第13 页，共 18页（ 2）由（ 1）可得， ABC 为等腰直角三角形，BC=，设 CNB=，（ 0 ），BCN， BN=4， CN=2，2由余弦定理可得，2b =4+16- 2 2 4cos -=2016cos ，SABCN =5- 4cos +4sin =5+4sin（），当 sin（） =1 即时，面积最小5+4【解析】（1）由已知，结合向量数量 积的定义及正弦定理，两角和的正弦公式可求A ；（2）设 CNB= ，（0），在BCN，由余弦定理可得，b2=10-8cos ，代入三角形面积公式可得 S=5-4cos+4si

25、n，结合正弦函数的性 质可求本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式等知 识求解三角形，属于公式的简单综合应用20.，【答案】 解：（ 1）由椭圆定义得 |AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a=8又 |AF2 |十 |BF 2|=，则 |AB |= 直线 ly=kx+m 过点 F 1（ -2，0）， m=2k，即直线l 的方程为y=k（ x+2 ）设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2）联立2222，整理得（ 1+2k） x +8 k x+8k -8=0x1+x2=， x1x2=由弦长公式 |AB |=，代入整理得，解得 k=1直线 l 的方程为y=（ x+2），即

26、x-y+2=0 或 x+y+2=0；（ 2）设直线l 方程 y=kx+m， A（ x1， y1）， B（x2， y2）联立，整理得（ 2k2+1） x2+4 kmx+2m2-8=0 x1+x2=， x1x2=第14 页，共 18页以 AB 为直径的圆过原点O，即 =x1x2 +y1y2=0将 y1=kx1+m，y2=kx2+m 代入，整理得（ 1+k2） x1x2+km（x1+x2）+m2=0将 x1+x2=， x1x2=代入，整理得 3m2=8k2+8点 P 是线段 AB 上的点，满足OPAB ，设点 O 到直线 AB 的距离为 d，|OP |=d，于是 |OP|2=d2=（定值），点 P

27、的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x 轴的交点故点 P 的轨迹方程为（ y0）【解析】（1）由直线 l 过点 F1（-2，0），得m=2k，即直线 l 的方程为 y=k（x+2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦 长公式求得 k，则直线方程可求；设线l 方程 y=kx+m ，A （x1，y1），B（x联线方程与椭圆方程，（2） 直2，y2） 立直化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系 结合可得3m2=8k2+8再由点到直线的距离公式求解O 到直线 AB 的距离是定 值，则点P 的轨迹方程可求本题考查椭圆标 准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的 应

28、用，考查计算能力，是中档题21.【答案】 解：（1）由题意得（）=lnx-mx， fxx 0由题知 f（ x） =0 有两个不等的实数根，即 m= 有两个不等的实数根 （2 分）令 h（ x）= ，则 h（ x） =，由 h（ x） 0，解得： 0 xe，故 h（x）在（ 0， e）上单调递增；由 h（ x） 0，解得 x e，故 h（ x）在（ e， +）上单调递减；故 h（ x）在 x=e 处取得极大值，且 h（ e） 0，故 0 m 第15 页，共 18页fxm052g x =xlnx- mx2-eln x+mex= x-e lnx-mx x=e1ln x-mx=00ee+ gxx1ex30x1ex3e62t=t1e ln x1x3 =ln x1+ln x3=t1 e2 8 t = t =m t =t-2ln t-m t =0m t1 e2m tm 1 =0112 t0 t1 e t e2 =ln