2019年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科)

1、2019 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. =（）A.B.C.D.2.已知集合A= x|x 0 ， B= x|x2-x+b=0 ，若 AB=3 ，则 b=（）A.-6B.6C.5D.-53. 九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4 斤；在细的一端截下一尺，重2 斤问各尺依次重多少？”按这一问题的题设， 假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A.斤B.斤C.斤D.3斤

2、4.已知向量， 满足 | |=1，| |=，且， 夹角为，则（+ ） ?（2 - ）=（）A.B.C.D.5.设 x，y 满足约束条件，则 z=x+2 y 的最大值是（）A.4B.6C.8D.106.已知抛物线y2=2px（p 0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到 y 轴的距离大，则抛物线的标准方程为（）A. y2=xB. y2=2 xC. y2 =4xD. y2=8x7. 某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试， 先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002， ， 599， 600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第4行到第 6行：32 21 18

3、 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 8953 55 77 34 89 94 83 7522 5355 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第 6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6 个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5788. 为计算 S=1-2 2+3 22-4 23+ +

4、100 （ -2）99，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）第1页，共 18页A. i 100B. i 100C. i 100D. i 1009. 如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱 AB 和 A1 D1 的中点分别为 E，F，则直线 EF 与平面 AA1D 1D 所成角的正弦值为（）A.B.C.D.10.已知集合A= x|y=lgsin x+ ，则 f（ x）=cos2x+2sinx， xA 的值域为（）A. 1， B. （1， C. （-1， D. （）11.已知正四面体A-BCD的外接球的体积为8 ），则这个四面体的表面积为（A. 18B. 16C. 14D.

5、1212.已知双曲线C-y2=1，F 1，F 2 为左、右焦点，直线 l 过右焦点 F 2，与双曲线 C 的：右支交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方，若|AF 2|=3|BF2 |，则直线 l 的斜率为（）A. 1B. -2C. -1D. 2二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13.XN32），且 P（ 0 X 3） =0.35 ，则 P（X 6） =_ 随机变量，（14.已知函数f（x）=aex+x2-8x 的图象在 （0，f（ 0）处的切线斜率为 -4，则 a=_15.已知数列 an 满足 a1=2， nan+1-（ n+1） an=2（n2+n），若 bn=2，则数

6、列 bn 的前 n 项和 Sn=_ 16.已知函 y=f（ x+1） -2 是奇函数， g（ x） =，且 f（ x）与 g（ x）的图象的交点为（ x1， y1），（ x2， y2）， ，（ xn， yn），则 x1+x2+ +x6+y1+y + +y6=_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，（ sinA+sinB）（ a-b）=c?（sinC-sinB），a=2，且 ABC 的面积为 6（ 1）求 A；（ 2）求 ABC 的周长第2页，共 18页18.2018 年 9 月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害

7、，据统计直接经济损失达 52 亿元 某青年志愿者组织调查了某地区的50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：0，2000 ，（ 2000，4000，（ 4000，6000，（ 6000，8000 ，（ 8000， 10000 （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图（ 1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（ 2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超过 4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶， 设抽出损失超过 8000 元的农户数为 X，求 X

8、的分布列和数学期望19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面ABCD 平面 PAD ，AD BC， AB=BC=AP= AD，ADP =30 ， BAD =90 ， E 是 PD 的中点（ 1）证明： PD PB；（ 2）设 AD=2 ，点 M 在线段 PC 上且异面直线BM 与 CE 所成角的余弦值为，求二面角 M-AB-P 的余弦值第3页，共 18页20. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2A+y =1（ 1a 5）上，该椭圆的左顶点到直线 x-y+5=0 的距离为（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若线段 MN 平行于 y 轴，满足（-2 ）? =0 ，动点 P 在直线 x

9、=2上，满足=2证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F21. 已知函数 f（ x） =xlnx （ 1）若函数g（ x） =，求 g（ x）的极值；（ 2）证明： f（ x）+1 ex-x2（参考数据： ln2 0.69， 1n31.10， e 4.48， e2 7.39）第4页，共 18页22.在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为=4sin（ 1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（ 2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0，0 2）23. 已知 f （ x） =|

10、x+a|（ aR）（ 1）若 f（ x） |2x-1|的解集为 0， 2，求 a 的值；2x Rfx +|x-a| 3a-2恒成立，求实数a的取值范围（ ）若对任意 ，不等式（ ）第5页，共 18页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：=故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基 础的计算题2.【答案】 A【解析】解：集合 A=x|x 0 ，B=x|x 2-x+b=0 ，A B=3 ，3B，9-3+b=0，解得 b=-6故选：A推导出 3B，从而 9-3+b=0，由此能求出 b本题考查实数值的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，

11、是基础题3.【答案】 B【解析】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项 a1=4，则 a5=2，设公差为 d，则：2=4+4d，解得d=-a2=4-=故选：B利用等差数列的通 项公式即可得出本题考查 了等差数列的通 项公式，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题4.【答案】 A【解析】第6页，共 18页解：（ +）?（2 -）=22-2+ ? =2-3+1 =故选：A按照多项式乘多项式展开后利用数量 积的性质可得本题考查了平面向量数量 积的性质及其运算，属基础题5.【答案】 D【解析】解：画可行域如图，z 为目标函数 z=x+2y，可看成是直 线 z=x+2y 的纵截距，由可得：

12、A（2，4）画直线 0=x+2y，平移直线过 A（2，4）点时 z有最大值 10故 z=x+2y 的最大 值为：10故选：D 画可行域 z 为目标函数纵截距 画直线 0=x+2y ，平移直线过（2，3）时 z有最大值本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最 优解是我们最常见的问题，这类问题 一般要分三步：画出可行域、求出关 键点、定出最优解6.【答案】 B【解析】解：抛物线 y2=2px（p0）上的点M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大，可得，可得p=1，所以抛物 线的标准方程为：y2=2x故选：B利用抛物 线的定义，转化列出方程求出p，即可得到抛物线方程第7页，共 18

13、页本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知 识的考查7.【答案】 D【解析】解：第6 行第 6 列的数开始的数 为 808，不合适，436，789 不合适，535，577，348，994 不合适，837 不合适，522，535 重复不合适， 578 合适则满足条件的 6 个编号为 436，535，577，348，522，578，则第 6 个编号为 578，故选：D根据随机抽 样的定义进行判断即可本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满 足条件的数据是解决本题的关键8.【答案】 A【解析】解：模拟程序的运行，可得：S=0，i=0满足判断框内的条件， 执行循环体，a=1，S=1

14、，i=1满足判断框内的条件， 执行循环体，a=2（-2），S=1+2（-2），i=22S=1+2（-2）+3（-22满），i=3足判断框内的条件， 执行循环体，a=3（-2），观察规律可知：满足判断框内的条件， 执行循环体，a=99（-299S=1+2（-2）+3（-2），299i=100（ ）+100-2，此时 应该不满足判断框内的条件，退出循环 输出 S的值，所以判断框中的条件 应是 i 100故选：A模拟程序的运行，根据输出的 S 的值即可得到空白框中 应填入的内容第8页，共 18页本题考查了循环结构，是当型循环，当型循环是先判断后 执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，是基础题

15、9.【答案】 C【解析】解：以D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD-A 1B1C1D1 的棱长为 2，则 E（2，1，0），F（1，0，2），=（-1，-1，2），平面 AA1D1D的法向量（，），=010设直线 EF 与平面 AA 1D1D 所成角为 ，则 sin =直线 EF 与平面 AA 1D1D 所成角的正弦 值为故选：C以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直 线 EF 与平面 AA 1D1D 所成角的正弦 值 本题考查线面角的正弦 值的求法，考

16、查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10.【答案】 A【解析】解：由，解得：0x3，所以：A= （0，3，22，f （x）=cos2x+2sinx=-2sin x+2sinx+1=-2（sinx-）+因为 0x3，所以 0sinx 1，所以 1f（x），故选：A由函数的定 义域得：由，解得：0x3，所以：A=（0，3，由三角函第9页，共 18页值问题22数求域得：f（x）=cos2x+2sinx=-2sin（），因为x+2sinx+1=-2 sinx-+0x3，所以 0sinx 1，所以 1f（x），得解本题考查了函数的定义域及三角函数求值域问题简

17、单题，属11.【答案】 B【解析】解：V，得 R=，即OA=OB=，在正四面体 A-BCD 中，= ，OO= ，O B=，BC=4，S=4=16 ，故选：B设球心为 O，底面 BCD 中心为 O，利用等地面积的锥体体积比等于高的比可得，再利用直角三角形 OOB，可求得 OB，进而求得底面 边长，面积，得解此题考查了正四面体的外接球，体 积比与高的比等，难度适中12.【答案】 D【解析】解：双曲线 C：-y2=1，F1，F2 为左、右焦点，则 F2（，0）设直线 l 的方程 x=my+，m 0，第10 页，共 18页双曲 线的渐近线方程为 x= 2y，m2设 A （x1，y1），B（x2，y2）

18、，且y1 0由 |AF2|=3|BF2|，=-3，y1=-3y2，由，消x 可得（m2）2+2my+1=0，-4 y（2-4（m2-4）0，即 m2+40恒成立，= 2m）y1+y2=， ，y1y2=， ，由 ，解得 m2=，即m=，直线方程为 x=y+，即 y=2（x-），故直线 l 的斜率为2，故选：D设直线 l 的方程 x=my+，m 0，由|AF2|=3|BF2|，可得=-3，即y1=-3y2， ，再由韦达定理可得 y1+y2=， ，y1y2=， ，求出m的值即可求出直 线的斜率本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，难度中等13.【答案】 0.15【解析】变

19、2解：随机量 X N（3，），P（X 3）=0.5，又 P（0X 3）=0.35，P（X 0）=0.5-0.35=0.15，P（X6）=P（X0）=0.15故答案为：0.15由已知求得 P（X 3）=0.5，再由 P（X 6）=P（X 0）=P（X 3）-P（0X 3）求第11 页，共 18页解本题考查正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意 义，考查正态分布中两个量和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 14.【答案】 4【解析】由函数 f（x）=aex+x2-8x，得 f （x）=aex+2x-8，函数 f（x）图象在（0，f（0）处切线的斜率为 -4，f （0）=a-8=-4? a=4；故

20、答案为：4求出原函数的 导函数，由函数 f （x）图象在（0，f（0）处切线的斜率为-1，得f （0）=-1，由此式可求 a 的值；考查学生会利用 导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是基本知 识的考查15.【答案】【解析】解：数列a n 满足 a1=2，nan+1-（n+1）an=2（n2+n），则：，故：数列 是以为首项，2 为公差的等差数列则：，所以：，所以：bn=2=22n=4n则：=故答案为：首先利用关系式的恒等变换，把关系式转换为：进， 一步求出数列的通 项公式，利用等比数列的前n 项和公式求出 结果第12 页，共 18页本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，等比数列的前

21、 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于中档 题16.【答案】 18【解析】解：因为函数 y=f （x+1）-2 为奇函数，所以函数 f （x）的图象关于点（1，2）对称，关于点（1，2）对称，所以两个函数 图象的交点也关于点（1，2）对称，则（x1+x2+x6）+（y1+y2+y6）=23+43=18故答案为：18由题意首先确定所 给函数的对称性，然后结合函数的 对称性整理 计算即可求得最终结果本题主要考查函数的对称性，整体对称的数学思想等知 识，属于中等题17.【答案】 解：（ 1） （ sinA+sin B）（ a-b） =c?（sinC-sinB），由正弦定理可得

22、，（a+ba-b（=（c-b cb2 2 2）（） ，化简可得，+c -a =bc，由余弦定理可得， cosA= ，0 A ，A= ，（ 2） a=2 ， A=， ABC 的面积为 6= bcsinA= bc解得： bc=24，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得： 28=b2+c2-bc=（ b+c） 2 -3bc=（ b+c） 2-72，解得：（ b+c） 2=100，解得： b+c=10，ABC 的周长 a+b+c=10+2【解析】（1）由已知结合正弦定理可得， b2+c2-a2=bc，然后结合余弦定理可求 cosA，进而可求 A（2）由已知根据三角形面 积公式可求 bc的

23、值，根据余弦定理可求 b+c 的值，即可得解三角形的周 长本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面 积公式在解三角形中的 综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题第13 页，共 18页18.【答案】 解：（ 1）记每个农户的平均损失为元，则=（ 1000 0.00015+30000.00020+50000.00009+70000.00003+9000 0.00003）2000=3360 ；（ 2）由频率分布直方图， 可得损失超过1000 元的农户共有 （ 0.00009+0.00003+0.00003 ）2000 50=15（户），损失超过 8000 元的农户共有 0.00003 2

24、00050=3 （户），随机抽取 2 户，则 X 的可能取值为 0， 1， 2；计算 P（ X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，所以 X 的分布列为；X012P数学期望为E（X） =0+1+2= 【解析】（1）根据频率分布直方 图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方 图计算随机变量 X 的可能取 值，再求 X 的分布列和数学期望值本题考查了频率分布直方 图与离散型随机 变量的分布列与数学期望 计算问题，是中档题19.【答案】 证明：（ 1） BAD =90 ， BAAD，平面 ABCD 平面 PAD ，交线为 AD ，BA平面 PAD ， BAPD ，PAD中，=sin

25、 APD =1APD=90在 ， ， ，APPD ，BAAP=A， PD平面 PAB，PB? 平面 PAB， PDPB解：（ 2）如图，以 P 为坐标原点，过点P 垂直于平面 PAD 的射线为 z 轴，射线 PD 为x 轴，射线 PA 为 y 轴，建立空间直角坐标系，AD =2， AB=BC+AP=1， PD=，P（ 0， 0， 0）， A（ 0，1， 0）， B（ 0，1， 1）， C（， 1）， E（ ， 0， 0），第14 页，共 18页设=，则=1M（，），（，），=（， -1），又=（ 0， - ， -1），点 M 在线段 PC 上且异面直线 BM 与 CE 所成角的余弦值为，|co

26、s |=，整理，得2 +20=0，解得 =或（舍）， M（，），9-36设平面 MAB 的法向量=（ x， y， z），则，取 x=2，得=（ 2， 0），由（ 1）知 PD平面 PAB， 平面 PAD 的一个法向量为=（ 1， 0， 0），cos=二面角 M-AB-P 的余弦值为【解析】（1）推导出 BA AD ，从而 BA 平面 PAD ，进而 BA PD，再求出 APPD，从则 PD平面 PAB ，由此能证明 PDPB（2）以P 为坐标原点，过点 P 垂直于平面 PAD 的射线为 z 轴，射线 PD 为 x 轴，射线 PA 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-

27、P 的余弦值该题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.【答案】 解：（ 1）左顶点 A 的坐标为（ - a， 0）， = ，|a-5|=3，解得 a=2 或 a=8（舍去），椭圆 C 的标准方程为+y2=1，证明：（ 2）由题意 M（ x0， y0）， N（ x0， y1）， P（2， t），则依题意可知y1 y0，第15 页，共 18页由（-2）? =0 可得（ x0-2）， y1-2y0）（ 0， y1-y0），整理可得y1=2y0，由=2，可得（ x0 ，2y0）（ 2-x0， t-2y0

28、） =2 ，整理可得2 x0+2y0t=x02+4 y02+2=6 ，由（1）可得 F（ ， 0）， =（ -x0， -2y0 ），?=（-x0 ， -2y0）（ 2， t）=6-2x0-2y0 t=0，NF OP，故过点 N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F【解析】线a 的值椭圆方程，（1）根据点到直 的距离公式即可求出，可得题），N（x0，y1），P（2，t），根据（ -2）?=0，可（2）由 意 M （x 0，y0得 y1=2y0，由=2，可得 2 x0+2y0t=6，再根据向量的运算可得 ? =0，即可证明本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能

29、力和 转化与化归能力，属于中档题21.【答案】 解：（ 1） g（ x）=（ x 0），故 g（ x） =，令 g（ x） 0，解得： 0 xe2，令 g（ x） 0，解得： x e2，故 g（ x）在（ 0， e2）递增，在（ e2 ，+）递减，故 g（ x）极大值 =g（ e2 ）= ；（ 2）证明：要证 f（ x）+1 ex-x2即证 ex-x2-xlnx-1 0，先证明 lnxx-1，取 h（ x） =ln x-x+1，则 h（ x） =，易知 h（ x）在（ 0，1）递增，在（1，+）递减，故 h（ x） h（ 1）=0，即 lnxx-1，当且仅当 x=1 时取“ =”，x2x2+x-1，故 xlnx x（ x-1）， e-x -xlnx e -2x故只需证明当x 0 时， ex-2