2019春上海市交大附中高二(上)期末数学试卷

1、2019 春上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4 小题，共12.0 分）1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中 a，b，cR，a0）下列命题不正确的是 （）A. 两根,满足,B. 两根,满足C. 若判别式时,则方程有两个相异的实数根D. 若判别式时 ,则方程有两个相等的实数根2.已知两点 A（ 1， 2）， B（ 4，-2）到直线 l 的距离分别为1， 4，则满足条件的直线l 共有（）A. 1条B. 2条C.3条D.4条3.如图在四边形ABCD中AB BC，ADDC，若| |=a，| |=b则=（）A.B.C.D. ab4. 已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的

2、集点，A，B，C 为抛物线C 上三点，当时，称 ABC 为 “和谐三角形 ”，则 “和谐三角形 ”有（）A. 0个B. 1个C.3个D. 无数个二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0分）5. 若复数（ m2-5m+6）+（ m2-3m）（i m 为实数， i 为虚数单位） 是纯虚数， 则 m=_6.复数 z=（ 2+ i）（ 1-i ），其中 i 为虚数单位，则z 的虚部为 _7. 抛物线 x2=12y 的准线方程为 _8.已知向量=1-2）， ，（ ，数 =_9.若直线 l 1：ax+2 y=0 和 l2： 3x+（ a+1） y+1=0，如果 ，则实平行，则实数a 的值为 _ 10.

3、 设双曲线 - =1（ b 0）的焦点为 F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若 |PF 1|=5，则|PF2 |=_11.设 x，y 满足约束条件，则目标函数z=2x-3y 的最小值是 _12. 若复数 z 满足 z?2i=|z|2+1 （其中 i 为虚数单位），则 |z|=_13. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（ 0， 1）和点 B（ -3， 4），若点 C 在AOB 的平分线上且 | |=2，则 =_14.参数方程（ t 为参数）化成普通方程为_；15.在平面直角坐标系中，双曲线， ，的中心在原点，它的一个焦点坐标为， 、，分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P，若（

4、a、 bR），则 a、 b 满足的一个等式是 _16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 在椭圆上，点 P 满足 ，且，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为_三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）第1页，共 13页17.设为关于 x 的方程， m， 的虚根， i 为虚数单位当时，求 m、 n 的值；若，在复平面上，设复数z 所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围1z满足|z+2|=2，求复数z18. （ ）已知非零复数（ 2）已知虚数 z 使和都是实数，求虚数 z19.已知椭圆（ 1） M 为直线 ：上动点， N 为椭圆上动点，求|MN |的最小值；（ 2）过

5、点，作椭圆的弦AB，使，求弦 AB 所在的直线方程20.圆：，圆：，动圆 P 与两圆M1、M2外切（ 1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于不同的两点 N1，N2，求直线 N1N2 斜率的取值范围；（ 3）是否存在直线l ：y=kx+m 与轨迹 C 交于点 A，B，使，且 |AB|=2|OA|，若存在，求k，m 的值；若不存在，说明理由第2页，共 13页21.过抛物线y2=2 px（p 0）的焦点 F 的直线交抛物线于M，N 两点，且 M，N 两点的纵坐标之积为 -4（ 1）求抛物线的方程；（ 2）求的值（其中O 为坐标原点）；（ 3）已知点 A

6、（ 1，2），在抛物线上是否存在两点 B、C，使得 AB BC？若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由第3页，共 13页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式0还是0，两根 x1， x2 满足，故 A 正确，若两根 x1， x2 为虚根，则不成立，故 B 错误，判别式 =0 时，方程有两个相等的实数根，=b2-4ac 0 时，则方程有两个相异的实数根，故 C， D，正确，故选： B根与一元二次方程根与判别式的关系以及根与系数之间的关系分别进行判断即可本题主要考查命题的真假判断，根据一元二次方程根与判别式以及根与系数之间的

7、关系是解决本题的关键2.【答案】 C【解析】 解：由点 A（ 1，2）， B（ 4， -2），易得 |AB|=5，以点 A 为圆心，半径1 为的圆，与以点 B 为圆心，半径为4 的圆外切，故满足条件的直线 l 即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3 条，故选： C由于以点 A 为圆心，半径1 为的圆，与以点 B 为圆心，半径为 4 的圆相外切，满足条件的直线 l 即两个圆的公切线，故两个圆的公切线的条数即为所求本题考查了查直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3.【答案】 A【解析】 解： ADDC ， ? =0，?=（+）?（-） =?+）

8、=?+），-（-（ABBC， ? =0，-?（+）=-，|=a， |=b， =b2 -a2，故选： A利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属于中档题4.【答案】 D【解析】 解：抛物线方程为2y =4x，A、B、 C 为抛物线 C 三点，当满足时时，F 为 ABC 的重心，第4页，共 13页连接 AF 并延长至 D，使 FD= AF ，当 D 在抛物线内部时，存在以D 为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个故 “和谐三角形 ”有无数个，故选： D根据满足时，得到 F 为ABC 的重心， 然后结合构造以F 为重心的三

9、角形可以构造无数个得答案本题主要考查抛物线性质的应用， 结合条件 时，得到 F 为 ABC 的重心是解决本题的关键注意利用数形结合去求解判断5.【答案】 2【解析】 解： 复数（ m2-5m+6 ） +（m2-3m） i（ i 为虚数单位）是纯虚数，m2-5m+6=0 且 m2-3m0，解得 m=2，故答案为： 2直接根据复数z=a+bia R b Ra=0b0（ ， ）是纯虚数则，建立方程组，解之即可求出所求本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键根据z=a+bi 是纯虚数可知a=0， b0，属于基础题6.【答案】 -1【解析】 解： z=（ 2+i）（ 1-i ） =3-i 则 z的虚部为

10、-1故答案为： -1直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题7.【答案】 y=-3【解析】 解：抛物线x2=12y 的准线方程为：y=-3 故答案为： y=-3直接利用跑完操方程求解准线方程即可本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查8.【答案】 2【解析】 解： =（0， -3），=（1+ ， -2+ ）， =-3 （ -2+ ） =0，解得 =2实数 =2故答案为2利用向量的线性运算及向量的垂直与数量积的关系即可求出熟练掌握向量的线性运算及向量的垂直与数量积的关系是解题的关键9.【答案】 -3 或 2【解析】 解： l

11、1 ：ax+2y=0 与 l 2： 3x+（a+1） y+1=0 平行a=-3 或 2故答案为： -3 或 2根据两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，从而求得实数a的值第5页，共 13页本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题10.【答案】 11【解析】 解：根据题意，双曲线的方程为：- =1，其中 a=3，则有 |PF1 |-|PF2 |=6，又由 |PF1 |=5，解可得 |PF2|=11 或 -1（舍）故 |PF2 |=11，故答案为： 11根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得|PF1 |-|

12、PF2|=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义11.【答案】 -6【解析】 解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z=2x-3y 取得最小值的最优解为A（ 3，4），目标函数z=2 x-3y 的最小值为z=2 3-3 4=-6 故答案为： -6由约束条件作出可行域，由z=2x-3y 得，要使 z 最小，则在 y 轴上的截距最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出最优解，是中档题12.【答案】 1【解析】 解：设 z=a+bi ，2复数 z满足 z?2i =|z| +1（其中 i

13、 为虚数单位），22（ a+bi） ?2i =a +b +1，222ai-2b=a +b +1，解得 a=0， b=-1 ，|z|=1故答案为： 1设 z=a+bi，则 2ai -2b=a2+b2 +1，由复数相等的定义列出方程组求出a=0， b=-1 ，由此能求出 |z|本题考查复数的模的求法，考查复数相等、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题第6页，共 13页13.【答案】 （ -，）【解析】解：，设 OC 与 AB 交于 D（ x， y）点则： AD： BD =1： 5即 D 分有向线段 AB 所成的比为则解得：，又 |=2=（-，）故答案为：（-，）本题考

14、查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出 OC 所在直线分有线向量 AB 所成的比 然后代入定比分点公式求出 OC 与 AB 的交点坐标，再根据向量的模求出答案如果已知，有向线段A（ x1，y1），B（ x2，y2）及点 C 分线段AB 所成的比，求分点 C的坐标，可将 A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解14.【答案】3x+y-7=0（）x3【解析】 解：由题意，可知：，对于式，可化成用x 表示 t 的函数形式，x（ 1+t） =2+3t化简，整理得：，其中 x3同理，对于式，可化成用y 表示 t 的函数形式，y（ 1+ t） =1-2t化简

15、，整理得：，其中 y-2联立两个t 的表达式，得：=两式交叉相乘，得：（ x-3）（ 1-y） =（2-x）（ y+2）化简，整理，得： 3x+y-7=0（ x3）第7页，共 13页故答案为 3x+y-7=0 （ x3）本题对于两个式子，可分别转化成 t 关于 x 和 y 的表达式，然后联立两个表达式，即可得到结果本题相对来说比较简单，但要注意的是转化后 x 和 y 相应的取值问题，这一点容易忽略本题属于基础题15.【答案】 4ab=1【解析】 解：因为，、，是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又， a=2 ， b=1双曲线方程为，=（ 2a+2b，a-b），化简得4ab=1故答案为4a

16、b=1根据，、，是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程根据c=，进而求得a 和 b，求得双曲线方程， 进而根据化简整理可得答案本题主要考查了双曲线的简单性质考查了考生分析问题和解决问题的能力16.【答案】 10【解析】 解： ， =，则 O， A， P 三点共线，设 Op 与 x 轴的夹角为 ，B 为 A（ x， y）在 x 轴上的投影，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为 |cos = = 48=10 ，当且仅当即 |x|= 时取得最大值 10故答案为： 10由已知可知， O，A，P 三点共线，先设Op 与 x 轴的夹角为，B 为 A（ x，y）在 x 轴上的投影，从而有线段OP 在

17、x 轴上的投影长度为|cos =，结合椭圆方程及基本不等式可求本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的综合应用，属于中档试题17.【答案】 解：（ 1） z=-1+ i， z+1= i，2由根与系数的关系可得，即 m=0， n=1；（ 2）设 z=a+bi（ a， bR），则=a+1-bi由题意可得：（z+1）=（ a+1） 2+b2=1令 a+1=cos， b=sin ，0， 2）|PQ|=4，6第8页，共 13页2i ，-i利用根【解析】 （ 1）由 z=-1+ i ，可得 z+1= i，可得方程 x +mx+n=0 的两根分别为与系数的关系可得，解出 m， n（2）设 z=a+bi

18、（ a，bR），可得=a+1- bi由题意可得：（z+1）=（a+122）+b =1 令a+1=cos ，b=sin，0，2）|PQ|=，化简即可得出本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】 解：（ ）设，则z+ =a+bi+=a+bi+=a+（b-）i，1z=a+bi ，b-=0 ，得 b（ 1-） =0，得 b=0 或 1-=0，得 a2+b2=4，若 b=0 ，则 z=a，由 |z+2|=2 得 |a+2|=2 得 a=0，此时 z=0，不满足条件若 a2+b2=4 ，由 |z+2|=2

19、得 |a+bi+2|=2，得2222=2，即（ a+2） +b =4，即 a +4 a+4+ b =4，得 4+4a+4=4 ，得 a=-1，此时 b=，即 z=-1 i （ 2）设 z=a+bi，（ b0）， 和都是实数，设=m 和=n，22即 z =m（ z+1）， z=n（ z +1），即 a2-b2+2abi =m（a+1+ bi） =m（ a+1）+mbi ，则，即 m=2a，即 a2+b2+2 a=0 ，由 z=n（ z2+1 ），得 a+bi=n（ a2-b2+2abi +1）即，得 n=，a=（ a2-b2+1），即 a2+b2-1=0 ，则 2a=-1 ，得 a=- ，b=

20、，即 z=- i 【解析】 （ 1）设 z=a+bi，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可（ 2）设 z=a+bi，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可本题主要考查复数的计算， 利用待定系数法结合复数的有关概念建立方程公式是解决本题的关键19.【答案】 解：（ 1）设点 N 的坐标为，则点 N 到直线 l 的距离为第9页，共 13页=，所以， |MN|的最小值为；（ 2）设直线 AB 的参数方程为（t 为参数，且 为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、 t2，由于，则 -t1=3 t2，将直线 AB 的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得=，则，所以，化简得，得

21、cos =0或，因此，弦 AB 所在的直线方程为或 y，即或【解析】 （1）设点 N 的坐标为，并利用点到直线的距离公式计算点N到直线 l 的距离，结合三角函数求出点N 到直线 l 的距离的最小值，即|MN|的最小值；（ 2）设直线 AB 的参数方程为（t 为参数，且 为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、 t2，由已知条件得出t1=-3 t2 将直线的参数方程代入椭圆方程，列出韦达定理，结合关系式求出或 的正切值，从而求出直线AB 的方程本题考查直线与椭圆的综合问题，考查向量与椭圆的综合问题，本题巧妙地使用参数方程来解题，大大降低了运算难度，考查了转化能力与计算能力，属于中等题20.

22、【答案】 解：（1）圆 M1 的圆心为 M1（0， - ），半径为 r 1= ，圆 M2 的圆心为 M2（ 0，），半径为 r2= 设 P（x， y），动圆 P 的半径为 R，则 |PM1|=R+ ，|PM2|=R+ ，=+2，22整理得： y-x =1动圆圆心P 的轨迹 C 的方程 y2- x2=1（ y1）（ 2）设 y=k（ x-1），则 -1k 0第10 页，共 13页联立，化为：（ k2-1） x2-2k2x+k2-1=0 ，=4k4-4（ k2-1）（ k2-1） 0，解得： -1 k - ，（ 3） k=0 时，不成立k0时，直线OA 的方程为： y=- x，则 1 或 -1，解

23、得 -1 k 0，或 0 k 1联立，解得=，=2|OA |= + =设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2）联立，化为（ k2 -1）x2 +2kmx+m2-1=0 ，=4k222222 0m -4（ k -1）（ m -1） 0，化为： k +m -1x1+x2=， x1x2=，222） -4 ，|AB | =（ 1+k ） -4x1x2= （ 1+k|AB |=2|OA|， |AB|2=4|OA|2，（ 1+k2） -4 =4 化为： m2=2-2k2联立，解得： A，=，化为： m2=2， 0212-2k = k （ 1-k2） =k2+1，解得因此存在k， m 满足题意1）圆M1 的圆心为M（10 -M2 的圆心为M0，），半径为【解析】（， ），半径为 r1= ，圆（2r 2= 设 P（ x， y），动圆 P 的半径为 R， |PM1|=R+ ，|PM2|=R+ ，=+2，整理即可得出（ 2）设 y=k（ x-1），则 -1k 0联立2222，化为：（ k-1 ） x -2k x+k -1=0 ，利用 0，解得 k 范围（ 3）k=0 时，不成立 k0时，直线 OA 的方程为： y=- x，则 1 或 -1，解得 k第11 页，共 13页范围联立，解得 A 坐标设 A（ x1，y1），B（x2，y2 ）联立，化为（ k2