2018年陕西省榆林市高考数学四模试卷(理科)

1、2018 年陕西省榆林市高考数学四模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.设集合 A= x|-2x2 -6x5-x2 ， B= x|x -2 ，则 AB=（）A. （ -2， -1）B. （ -2， -1C. （ -5， +）D. -5 ，+）2.若复数 z=，则 |z|=（）A. 1B.C.D. 23. 已知 R 上的奇函数 f（ x）满足：当 x 0 时， f（ x） =log 2（ 1-x），则 f（f （ 7） =（）A.1B.-1C.2D.-24. 某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了解学

2、生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本， 已知从高中生中抽取女生21 人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. 12B. 15C.20D. 215.0），sin，则tan2=）已知 （，（） （A.B. -C.7D. -76.已知实数xy满足，则z=-5 x+y最小值为（），A. -13B. -11C. -9D. 107.fx=的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标将函数（）伸长到原来的2 倍，得到函数y=g（ x）的图象，则g（） =（）A.B.C.D.8.已知三棱锥P-ABC 中， AB平面 APC， AB=4，PA=PC=，AC=2，则三棱锥P-A

3、BC 外接球的表面积为（）第1页，共 19页A. 28B. 36C. 48D. 729. 下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著数书九章中的“中国剩余定理”已知正整数n被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，求 n 的最小值执行该程序框图，则输出的 n（）A. 50B. 53C. 59D. 6210.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.11.已知双曲线C（a0b 0）的离心率e=，对称中心为O，右焦点：， 为F，点A是双曲线CAOF = OAFOAF的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为3，则双曲线 C 的方程为（）A.B

4、.=1C.D.12.设实数 m0，若对任意的 xe，不等式 x2lnx0恒成立，则 m 的最大值是（）A.B.C. 2eD. e二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.已知向量=t0），=（-13=4=_（， ），若，则14.若（ 3x2-a）（ 2x-） 5 的展开式中 x3 的系数为 80，则 a=_第2页，共 19页15. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ABC 的外接圆半径为 1，若 abc=6，则 ABC 的面积为 _16. 已知抛物线Cx2）， N：=2 py（p 0）的焦点为 F， O 为坐标原点，点 M（ 4，（ -1，），射线 M

5、O ， NO 分别交抛物线C 于异于点 O 的点 A， B，若 A， B，F三点共线，则p 的值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17. 已知正项数列 是公差为 2 的等差数列，且 a1， 9， a2 成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn18.2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破根据短道速滑男子500 米的比赛规则， 运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑

6、行一圈都要经过4 个直道与弯道的交接口 Ak（ k=1 ，2，3，4）已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ，摔倒的概率均为假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数（ 1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3 个交接口的概率；（ 2）求 X 的分布列及数学期望E（ X）19.如图，在三棱锥 P-ABC 中， D 为棱 PA 上的任意一点，F，G，H 分别为所在棱的中点（ 1）证明： BD 平面 FGH ；第3页，共 19页（ 2）若 CF平面 ABC，AB BC， AB=2， BAC =45，当二面角 C-

7、GF-的平面角为时，求棱 PC 的长20.已知椭圆E：（ a b 0）的焦距为2c，且 b=，圆 O： x2+y2=r2（ r0）与 x 轴交于点 M， N， P 为椭圆 E 上的动点， |PM|+|PN|=2a，PMN 面积最大值为 （ 1）求圆 O 与椭圆 E 的方程；（ 2）圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A， B，求 |AB|的取值范围f x =x32+ax+b（ aR）的图象在与 x 轴的交点处的切线方程为 y=9x-1821. 已知函数 （ ） -6x（ 1）求 f（ x）的解析式；（ 2）若 kx（ x-2） 2 f（ x） 9x+k 对 x（ 2， 5）恒成立，求k 的取

8、值范围22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 =3cos（ 1）求圆 C 的参数方程；2P为圆CA 5 0P到直线的距离为，（ ）设上一动点， （ ， ），若点求 ACP 的大小第4页，共 19页23. 已知函数 f（ x） =|3x-1|-|2x+1|+ a（ 1）求不等式 f （x） a 的解集；（ 2）若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f（ n） 0，求 a 的取值范围第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：-2x2-6x5-x2，x2+6x+50，（x+1）（x+5）0，-5 x-1，A=-5 ，-

9、1 ，B=（-2，+）A B=-5 ，+），故选：D可求出集合 A ，然后进行并集的运算即可考查描述法、区间表示集合的概念，以及并集的运算，属于基 础题2.【答案】 B【解析】解：复数 z=则= ， |z|=故选：B利用复数模的 计算公式及其性 质即可得出本题考查了复数模的 计算公式及其性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题3.【答案】 C【解析】解：f（x ）是R 上的奇函数，且 x0 时，f（x）=log2（1-x）；f（7）=-f （-7）=-log28=-3；f（f（7）=f（-3）=log24=2故选：C根据 f （x ）为奇函数，以及 x 0 时的 f（x）解析式，即可求出

10、f（-7）的值，从而求出 f（7）=-3，进而得出 f（f（7）=f（-3）=2考查奇函数的定 义，以及已知函数求值的方法，对数的运算第6页，共 19页4.【答案】 A【解析】解：由扇形图得：中学有高中生 3000人，其中男生 300030%=900，女生 300070%=2100，初中生 2000人，其中男生 200060%=1200，女生 200040%=800，用分层抽样的方法从 该校学生中抽取一个容量 为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则，解得 n=50，从初中生中抽取的男生人数是： 50 =12故选：A利用扇形 图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数本题考查

11、从初中生中抽取的男生人数的求法，考 查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题5.【答案】 C【解析】解：由（0，），sin，得cos=，tan，则 tan2 =tan（2）=故选：C由已知求得 cos，进一步求得 tan ，再由倍角公式求得 tan2 ，展开两角和的正切求解本题考查三角函数的化 简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角和的正切，是基础题6.【答案】 B【解析】第7页，共 19页解：由z=-5x+y，则 y=5x+z，作出不等式 组对应的平面区域如 图：平移直线 y=5x+z ，由图象知当直 线 y=5x+z，经过点 A 时，直线 y

12、=5x+z 的截距最小，此时z 最小，由，得A （2，-1），此时 z=-10-1=-11，即 z=-5x+y 的最小值-11，故选：B作出不等式 组对应的平面区域，利用数形 结合即可得到 结论本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法【答案】 A7.【解析】解：函数f （x）=的图象向右平移个单位长度后，得到：k（x）=-cos（2x-图）的 象，再将图象上各点的 纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 y=g（x）=-cos（2x- ）的图象，则：g（）=-cos（ ）=故选：A直接利用函数的 图象的平移 变换和伸缩变换求出结果本题

13、考查的知识图变换和伸缩变换的应用要点：函数的 象的平移8.【答案】 B【解析】第8页，共 19页解：如图，由 PA=PC= ，AC=2，得PAPC，把三棱锥 P-ABC 补形为长方体，则过一个顶点的三条棱 长分别为长方体的对角线长为三棱锥P-ABC外接球的半径 为积为2=363，表面43故选：B由已知可得 PAPC，把三棱锥 P-ABC 补形为长方体，求出长方体的对角线长，可得三棱 锥 P-ABC 外接球的半径，代入球的表面 积公式求解本题考查多面体外接球表面 积的求法，训练了“分割补形法 ”，是中档题9.【答案】 B【解析】解：【方法一】正整数n 被 3 除余 2，得n=3k+2 ，kN；被

14、 8 除余 5，得n=8l+5 ，lN；被 7 除余 4，得n=7m+4，mN；求得 n 的最小值是 53【方法二】按此歌诀得算法如 图，则输出 n 的结果为按程序框 图知 n 的初值为 1229，代入循环结构得n=1229-168-168-168-168-168-168-168=53，即输出 n 值为 53故选：B【方法一】根据正整数n 被 3 除余 2，被8 除余 5，被7 除余 4，求出n 的最小值 【方法二】按程序框图知 n 的初值，代入循环结构求得 n 的值第9页，共 19页本题考查了程序框 图的应用问题，也考查了古代数学的 应用问题，是基础题10.【答案】 A【解析】解：该几何体为

15、在正方体里面先挖去一个 边长为 2 的小正方体，再把半径 为 1 的球放到里面，故几何体的体 积为，故选：A由三视图还原原几何体，可知该几何体为在正方体里面先挖去一个边长为 2的小正方体，再把半径 为 1 的球放到里面，则答案可求本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档 题11.【答案】 D【解析】解：由题意点 A 所在的渐近线为 bx-ay=0，设该渐近线的倾斜角为 ，则 tan =，AOF= OAF ，直线 AF 的倾斜角为 2，则 tan2 =，联立方程组，得，即A（，），则 AOF 的面积 S=c?=ab=3，双曲 线的离心率 e=，e2=，得=，结合 ab=3

16、，得 a=3，b=，则双曲线的方程为=1方法 2：，AOF=OAF ，OAF 是等腰三角形，第 10 页，共过 F 作 FBOA，则焦点到渐近线距离为 BF=b，则 OB=a，即 OA=2OB=2a，则 OAF 的面积 S= ?2a?b=ab=3，又双曲线的离心率 e=，e2=，得=，结合 ab=3，得 a=3，b=，则双曲线的方程为=1故选：D根据条件 设出渐近线方程，结合三角形的面 积以及离心率公式建立方程求出a，b 的值即可本题主要考查双曲线方程的求解，根据三角形的面 积公式和离心率公式建立方程是解决本 题的关键12.【答案】 D【解析】解：由题意，令 f（x）=x2lnx ，则 f （

17、x）=2xlnx+x 在 xe是恒大于 0 的，f（x ）在e，+）是递增函数，可得为 f（x）=f（e）=e2mine2在 xe恒成立即可实数 m0，g（x）=在e，+）是递减函数，g（x）=g（e）=，max2即e解得：0 mem 的最大值为 e故选：D第11 页，共 19页对任意的 xe，不等式 x2lnx0恒成立，令 f（x）=x2lnx ，转化为 f（x）min在 xe时恒成立；即可求解本题主要考查了函数恒成立 问题的求解，分类讨论以及转化思想的 应用，导函数的单调性的应用13.【答案】 （ -2， -6）【解析】解：向量=（t，0）， =（-1，3），由=4，-t+0=4，解得 t

18、=-4； =（-4，0），=（-2，-6）故答案为：（-2，-6）根据平面向量的坐 标运算与数量 积运算求出 t 的值，再求的值本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题础题，是基14.【答案】 -2【解析】解：（2x-553）?32x -?16x +?8x-?4?+?2? -? ，=253的系数为 3?8-a?（-?16）=240+80a=80，（3x -a）（2x-）的展开式中 xa=-2，故答案为：-25项253把（2x- ）按照二式定理展开，可得（3x）（）的展开式中 x的系数，-a 2x-253为值再根据（3x）（）的展开式中 x的系数80，求得 a 的-a2x-本题主要考查二项式

19、定理的应项项项式系数的性用，二 展开式的通公式，二质础题，属于基15.【答案】【解析】解：由题意可得：，即sinC= ，可得S=absinC=ab =abc=ABC第12 页，共 19页故答案为： 由题意利用正弦定理可求 sinC= ，根据已知及三角形面 积公式即可 计算得解本题主要考查了正弦定理，三角形面 积公式在解三角形中的 应用，考查了转化思想，属于基础题16.【答案】 2【解析】解：抛物线 C：x2=2py（p 0）的焦点为 F（0，），点 M （4，），N（-1，），则射线 MO 的方程为 y=-x，NO 的方程为 y=x，由，解得点 A （-，）；由，解得 B（p2，）； =（，）

20、，=（-p2，），又 A，B，F 三点共线， ?+p2?=0，解得 p=2， p 的值为 2故答案为：2由题意求出 OM 、ON 所在直线方程，与抛物线方程联立，求出 A ，B 的坐标，由向量共 线列式求得 p 的值本题考查了抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系 应用问题，是中档题第13 页，共 19页17.，【答案】 解：（ 1）因为数列 是公差为 2 的等差数列，所以则 a2=3a1+18 ，又 a1， 9， a2 成等比数列，所以a1a2=a1（ 3a1+18 ）=81 ，解得 a1=3 或 a1=-9，因为数列 为正项数列，所以 a1 =3所以=1+2（ n-1） =2n-1，故

21、 =（ 2n-1） 3n（ 2）由（ 1）得 Sn=13+3 32+ +（2n-1） 3n，22n+1，所以 3Sn=13 +33 + +（ 2n-1） 3所以 -2Sn=3+2 （32+33 +3n） -（ 2n-1） 3n+1，=3+2 -（ 2n-1）3n+1=3 n+1 -6+（ 1-2n） 3n+1，故 Sn=（ n-1） 3n+1+3【解析】（1）利用已知条件求出数列的首 项，然后求解数列的通 项公式（2）利用错位相减法求解数列的和即可本题考查数列的通 项公式以及数列求和， 错位相减法的 应用，考查计算能力18.【答案】 解：（ 1）由题意可知： P=（ ） 3=（ 2） X 的所

22、有可能只为0，1， 2，3，4P（ X=0） = ， P（ X=1） =， P（X=2） =（ ） 2=，3=4P（ X=3） =（ ），P（X=4）=（ ） =X 的分布列为X01234PE（X）=0+1 +2 +3+4=【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式 计算（2）求出X 的各种取 值对应的概率，得出分布列和数学期望本题考查了离散型随机 变量的分布列，属于中档 题第14 页，共 19页19.【答案】 证明：（ 1）因为 G、 H 分别为 AC， BC 的中点，所以 ABGH ，且 GH? 平面 FGH ，AB ? 平面 FGH ，所以 AB 平面 FGH 又因为 F，G 分别为 PC

23、，AC 的中点，所以有 GFAP，FG? 平面 FGH ，且 AP? 平面 FGH ，所以 AP平面 FGH 又因为 APAB=A，所以平面 ABP平面 FGH 因为 BD? 平面 ABP，所以 BD平面 FGH 解：（ 2）在平面ABC 内过点 C 作 CM AB，如图所示，以 C 为原点， CB， CM ， CF 所在直线分别为x 轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系C-xyz由 ABC 为等腰直角三角形，知BGAC，又 BGCF ，ACCF=C，所以有 BG平面 PAC设 CF=a，则 B（ 2，0， 0）， G（1， -1， 0），所以=（ -1， -1， 0）为平面 PAC 的一个

24、法向量又 F （0， 0， a）， H（ 1， 0， 0），所以=（ 1， 0，-a），=（1， -1， -a），设 =（ x， y，z）为平面 FGH 的一个法向量，则有，即有，所以可取=（a， 0， 1）由二面角C-GF -的平面角为，得 |cos |= ，解得 a=1，从而 2a=2所以棱 PC 的长为 2【解析】（1）推导出 AB GH，且GH? 平面 FGH，从而AB 平面 FGH再推导出 GFAP，从而 AP平面 FGH进而平面 ABP平面 FGH由此能证明 BD 平面 FGH（2）在平面ABC 内过点 C 作 CM AB ，以 C 为原点，CB，CM ，CF 所在直线分别为 x

25、轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 C-xyz 利用向量法能求出棱 PC 的长本题考查线 面平行的 证明，考查线 段长的求法，考查 空间中线线 、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查函数与方程思想，是中档 题20.【答案】 解：（1）因为b= ca=2c，所以因为 |PM |+|PN|=2a，所以点M， N 为椭圆的焦点，所以 r2=c2= a2第15 页，共 19页设 P（x0 ， y0），则 -by0b，所以， SPMN =r?|y0|= a|y0|当 |y0|=b 时，（ S PMN） max= ab=，由，解得a=2，所以 b= ， c=1 所以圆 O 的方程为 x2+y2=1

26、 ，椭圆 E 的方程为（ 2）当直线 l 的斜率不存在时， 不妨取直线l 的方程为 x=1 ，解得 A（ 1， ），B（1，- ）， |AB|=3当直线l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为y=kx+m，A（ x1，kx1+m），B（ x2，kx2+m）因为直线l 与圆相切，所以=1，即 m2=1+k2，联立，消去 y 可得（ 4k2+3） x2+8kmx+4m2-12=0，=4822） =48（ 3k2（4k+3-m+2） 0， x1+x2=-， x1x2=，|AB|=4，=，=令=t ，则 0 t ，所以 |AB |=， t（ 0， ，所以 |AB|=，所以3|AB| 综上， |AB|的

27、取值范围是 3， 【解析】（1）由题意可知 b=c，a=2c，当|y0|=b 时，PMN 面积取最大值 ab=，即可求得 a 和 b 的值椭圆方程；，求得类讨论线的斜率存在时 设直线方程，代入椭圆方程，利用点到（2）分，当直，直线的距离公式求得m2=1+k2，根据点到直线的距离公式及弦 长公式公式，求得 |AB|，换元，利用二次函数的性 质，即可|AB|的取值范围本题考查椭圆的标准方程及性 质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及点到直 线的距离公式的 应用，考查转化思想，属于中档题第16 页，共 19页21.【答案】 解：（ 1）由 9x-18=0 得 x=2， 切点为（ 2， 0

28、）2f（ x） =3 x -12x+a， f（ 2） =a-12=9 ， a=21 ，f （2） =8-24+2 a+b=0 ，b=-26 ， f（ x） =x3-6x2+21x-26（ 2）由 f（ x） 9x+k 得 kf （ x）-9x=x3 -6x2+12x-26，设 g（ x）=x3-6x2+12x-26，g（ x）=3（ x2-4x+4 ）=3（ x-2）2 0 对 x（ 2，5）恒成立，g（ x）在（ 2， 5）上单调递增，kg（ 5） =9323f（x） =x -6x +12x-8+9 （ x-2） =（ x-2） +9（ x-2），由kx（x-2） 2 f（x）对 x（2， 5）恒成立得k+=1+对 x（ 2，5）恒成立，设 h（ x）=1+， x（ 2， 5），h（ x）=，当 2 x5 时， x2-13x+13 0，