2018年山西省太原五中高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.设集合 A=1 ，2 ，B= xZ|x2-2x-3 0 ，则 AB=（）A. 1，2B. （ -1， 3）C. 1D. 1 ，22.若复数在复平面内对应的点关于y 轴对称，且，则复数（）A. -1B.1C.D.3.“直线 l 1：（ 5-a） x-y=2 与直线 l 2： 3x+（ a-3） y=8-3a 平行”是“ a=6”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若 x=， y=log 52， z=，则（）A. x y

2、 zB. z xyC. zy xD. y z x=sin225.若sin +cos =（），则（）A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为6，则判断框中的条件可以是（）A. S 11？B. S ？C. S 1？D. S ？7.由计算机产生2n0 1之间的均匀随机数x1， x2， ， xn1， y2， ， yn构成 n个 ， y个数对（ x1， y1），（ x2，y2 ）， ，（ xn，yn1构成钝角三角形），其中两数能与三边的数对共有m 对，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A.B.C.D.8.在 ABC 中， a=2， C=， tan = ，则 ABC 的面积

3、等于（）第1页，共 19页A.B.C.D.9.已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，若该几何体的体积为，则该几何体的最长棱长为A.B.C.D.10. 某人根据自己爱好，希望从 W，X， Y，Z 中选 2 个不同字母，从 0 ， 2，6， 8 中选 3 个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2 不能排在首位，字母Z 和数字 2 不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A. 198 个B. 180 个C. 216 个D. 234 个11. 已知直线 l： x-2y-2=0 与椭圆 C：（ a b0）有且只有一个公共点，则双曲线（ a b 0）的离心率的取值范围

4、是（）12）B.C.2+A.（，D.（，）12. 已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足， f（ 2a-x） =2b-f（x）， h（ x+a） =（ x0），设 y=h（ x）与 y=f （ x）图象的交点坐标为（x1， y1），（ x2， y2）， ，（ x2m2mii2 2的最小值为（）， y），若（x +y） =4m，则 a +bA. 2B.4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0 分）13. 若向区域 = xy|0 x1 0y 1y=x与曲线（ ， ），内投点， 则该点落在由直线围成区域内的概率为_14. 已知正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的棱长为 1，点

5、 E 是底面 ABCD 上的动点，则的最大值为 _15.已知球的直径DC=4 ，A、B 是该球面上的两点，则三棱锥A-BCD的体积最大值是_16. 设函数 f（ x） =ex（ 2x-3） - x2+ax，若函数 f（x）在（ -， 1）内有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 已知数列 an 前 n 项和 Sn=2an-2n +1（ 1）求数列 an 的通项公式：（ 2）若不等式2n25- an*恒成立，求的取值范围-n-3（n N）对 ? 第2页，共 19页18. 在四棱锥 P- ABCD 中， PA平面 ABCD ，ABC 是正三角

6、形， AC 与 BD 的交点为 M，又 PA=AB=4， AD =CD ，CDA =120 ，点 N 是 CD 中点求证：（ 1）平面 PMN 平面 PAB；（ 2）求二面角 B-PC-D 的余弦值19. 某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号分组频数 频率第一组145 ，155） 50.05第二组155 ，165） 350.35第三组165，175a） 30第四组175，185c） b第五组185 ，195） 100.1（ 1）请写出频率分布表中 a，b，c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考

7、生的平均成绩；（ 2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、 4、5 组中用分层抽样的方法抽取12 名考生进入第二轮面试求第 3、 4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X 的分布列和数学期望；若该高校有三位面试官各自独立地从这12 名考生中随机抽取2 名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为Y，求 Y 的数学期望20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=8x，O 为坐标原点，点 M 为抛物线上任意一点，过点M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点P，直线 PO 交抛物线于点N第3页

8、，共 19页（ 1）求证：直线MN 过定点 G，并求出此定点坐标；（ 2）若 M， G， N 三点满足，求直线MN 的方程21. 已知函数 f（ x） =ln （ 1+mx）， mR（ 1）当 m=1 时，证明： f（ x） x；（ 2）若在区间（ 0， 1上不是单调函数，讨论f（ x） =g（ x）的实根的个数22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（ 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求曲线 C 的极坐标方程；（ 2）在平面直角坐标系 xOy 中， A（ -2， 0）， B（0， -2）， M 是曲线 C 上任意一点，求 ABM 面积的最小值2

9、3. 已知函数 f（ x） =|x+2|（ 1）解不等式 f （x） 4-|x+1|；（ 2）已知 a+b=2（ a 0， b 0），求证：第4页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合 A=1 ，2，2B=x Z|x -2x-30=x Z|-1x3=0 ，1，2 ，故选：D先求出集合 A ，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考 查交集定 义等基础知识，考查推理能力与 计算能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 C【解析】【分析】由已知求得 z2，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题

10、【解答】解：z1=2-i，且z1，z2 在复平面内 对应的点关于 y 轴对称，z2=-2-i ，则=故选：C3.【答案】 C【解析】解：若直线 l1：（5-a）x-y=2 与直线 l2：3x+（a-3）y=8-3a 平行，则有，所以 a=6所以 “直线 l1：（5-a）x-y=2 与直线 l2：3x+（a-3）y=8-3a 平行 ”是“a=6的”充要条件故选：C通过直线平行求出 a 的值，然后利用充要条件的判断方法判断即可第5页，共 19页本题考查充要条件的判断与 应用，直线平行的充要条件的 应用，基本知识的考查4.【答案】 D【解析】解：x=50.350=1，0=log51 y=log52l

11、og5=， z=1，yzx 故选：D利用指数函数、对数函数的 单调性直接求解本题考查三个数的大小的比 较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的 单调性的合理运用5.【答案】 C【解析】题= sin2 ，解：由 意可知：即 2（cos+sin）=sin2 ， 2即 4+4sin2 =3sin2，所以 sin2 =- 或 sin2 =2（舍），2所以（sin +cos）=1+sin2 =故选：C利用三角函数恒等 变换的应用化简已知等式可求 sin2 的值，进而化简所求即可计算得解本题主要考查了三角函数恒等 变换的应用在三角函数化 简求值中的综合应用，考查了运算求解能力和 转化思想，

12、属于基础题6.【答案】 D【解析】第6页，共 19页解：程序的运行过程如下：初始值：S=20，i=1；第一次循 环 S=20，i=2；第二次循 环 S=10，i=3；第三次循 环 S=，i=4；第四次循 环 S=，i=5；第五次循 环 S=，i=6；此时满足题意输环，出 i=6，退出循所以判断框中的条件可以是“S？”，故选：D模拟程序的运行，当 i=6，S= 时，满足题意输出 i=6，退出循环，从而可得判断框中的条件本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题7.【答案】 A【解析】题对0 1之间的均匀随机数 x，y，解：由 意，n满足，相应平

13、面区域面 积为 1，两个数能与 1构成钝角三角形三 边的数对（x，y），满足且图，如 所示；其面积为，所以，解得故选：A第7页，共 19页由题意知 x，y 满足，两个数能与 1 构成钝角三角形三 边的数对满足且，计算面积比即可本题考查了几何概型的概率 计算问题，是基础题8.【答案】 D【解析】解：由二倍角公式可得，由，可得，所以，sinA=sin（B+C ）=sinBcosC+cosBsinC=，由正弦定理可得，得，因此，ABC 的面积为，故选：D先求出 tanB，利用同角三角函数求出 sinB，利用正弦定理求出 b，最后利用三角形的面 积公式计算出 ABC 的面积本题考察正弦定理与三角形的面

14、积，关键在于选择合适的定理求三角形的 边和角，属于中等题9.【答案】 A【解析】【分析】由已知中的三视图该锥，判，可知 几何体是一个四棱断棱长过积计转题考查的知，通 体算， 化求解即可本识点是由三视图求体积和表面积题的关键是，解决本得到该几何体的形状【解答】视图该图所示的四棱锥P-ABCD ，解：由三可知， 几何体是如顶点 P 在底面的射影 O 是底面矩形的 长边 CD 的中点，连接 AO ，BO，由侧视图 知，第8页，共 19页又 PCD 为等边三角形，所以 DO=CO=2 ，PC=4，于是由，得 BC=2，OB=2 所以最长棱长故选 A10.【答案】 A【解析】选时，有=72种，解：不 2

15、选 2，不选 Z 时，先排2，有种，然后选择和排列剩下两个数字，有种，最后选择和排列字母，有种，所以有=72 种，选选时，2 在数字的中间，有=36 种，当 2 在数字的第三位时，2， Z=18 种，根据分类计数原理，共有 72+72+36+18=198故选：A因为 2，Z 都是特殊元素，故需要 对此进行分类，第一类，不选 2 时，第二类选2，不选 Z 时，第三类，先 2 不选 Z 时，根据分类计数原理可得本题考查 了分类计 数原理，关键是分类，属于中档题 11.【答案】 C【解析】为直线与椭圆有且只有一个公共点，联立，解：因得（4b2+a2）y2+8b2y+（4-a2）?b2=0，由 =64

16、b2-4（4b2+a2）（4-a2）=0，解得 a2+4b2=4，设，则由 a b 0 可知：且 0 tan 2，所以，所以双曲 线（a b 0）的离心率的取值范围为，第9页，共 19页故选：C利用直线与椭圆的位置关系求出a，b 的关系，然后求解双曲 线的离心率的范围本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及 计算能力【答案】 A12.【解析】图对解： f（2a-x）=2b-f（x），可知f（x）的 象关于（a，b） 称，又 h（x+a）=b+?设g（x）=则（x为， g（-x）=-g），即g（x） 奇函数，图对y=h（x）的 象关于（a，b） 称，对组对称点有横坐标和为纵坐标和为

17、2b， 于每一2a，（xi+yi ）=2am+2b=4m，a+b=2，222222故 a +b =a +（2-a）=2a -4a+4=2（a-1）+22当且仅当 a=b=1 时，a2+b2 取最小值 2故选：A由已知可得 f （x）和h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐 标和为 2a，纵坐标和为 2b，进而可得 a+b=2，结合二次函数的 图象和性质，可得答案本题考查的知识点是函数的 对称性，二次函数的图象和性质，难度中档13.【答案】【解析】线y=x 与曲线围成区域的面积为解：由直，从而所求概率 为故答案为： 第10 页，共 19页根据定积分的定义求出平面区域的面 积，从

18、而求出满足条件的概率即可本题主要考查定积分及几何概型的 综合应用，是基础题14.【答案】 1【解析】解：以点D 为原点，为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 D1（0，0，1），B1（1，1，1），A1（1，0，1），设 E（x，y，0），其中x，y0，1，则=x+y- 11，等号成立条件是E（1，1，0），故最大值为1故答案为：1利用建系，求出相关的坐 标，转化求解斜率的数量 积即可本题考查平面向量的数量 积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题15.【答案】 2【解析】解：如图，球的直径 DC=4，且，AC=BC=2 ，（其中h 为点 A 到底面BCD 的距离），故当 h 最大

19、时，V A-BCD 的体积最大，即当面 ADC 面 BDC 时，h 最大且满足，即h=，此时 VA-BCD =第11 页，共 19页故答案为：2由题意画出图形，可知要使 V A-BCD 的体积最大，则面 ADC 面 BDC ，求出A到平面 BCD 的距离，则三棱锥 A-BCD 的体积最大值可求本题考查球内接多面体体 积的求法，考查空间想象能力与思 维能力，是中档题16.【答案】 0 a 1【解析】解：函数f （x）=ex（2x-3）-x2+ax，f （x）=ex（2x-1）-ax+a，若要使 f（x）在（-，1）内有两个极值点，只需 f （x）=0 在（-，1）内有两个解，可转换为函数 g（x

20、）=ex（2x-1）与h（x）=a（x-1）的图象在（-，1）内有两个交点，由 g（x）=ex（2x+1）知，当 x（-，- ）时，g（x）0，函数 g（x）=ex（2x-1）在（-，- ）上为减函数，当 x（- ，1）时，g（x）0，函数 g（x）=ex（2x-1）在（- ，1）上为增函数，当直线 h（x）=a（x-1）与曲线 g（x）=ex（2x-1）相切时，设切点坐标为（x0，y0），由导数的几何意 义可以得到，解得 x0=0 或 x0=（不合题意，舍去），可知 a=e0（20+1）=1，a 的取值范围是 0a1对函数 f （x）求导数，要使 f（x）在（-，1）内有两个极值点，只需 f

21、 （x）=0 有两个解，转换为两函数 g（x）与h（x ）的图象有两个交点，根据 g（x）的单调性与最值，结合 h（x）的图象与性质，从而求出 a 的取值范围 第12 页，共 19页本题考查了利用函数的 导数判断函数极 值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是难题n+117.【答案】 解：（ 1） Sn=2 an-2，当 n2时，Sn-1 =2an-1-2n，n+1nSn-Sn-1=2an-2-2an-1 +2 =an，nan=2an-1 +2 ，-=-=+1-=1， = =2数列 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， =2+1 （ n-1） =n+1，nan=（

22、n+1 ） 2 ；当 n=1 时，成立数列 an 的通项公式an=（ n+1） 2n；（ 2） 不等式 2n2-n-3（ 5-） an 对? nN*恒成立，2n2-n-3= （ n+1）（ 2n-3）（ 5-）（ n+1） 2n 对 ? nN* 恒成立，5-对 ? nN* 恒成立，设 bn=，则 b1=- ， b2 = ，b3= ，b4= ，当 n4时， bn-bn-1 =-= 0，当 n3时，数列 bn 为递减数列，当 n=3 时，数列 bn 有最大值，最大值为，5- ，【解析】证是以 2为首项，1为公差的等差数列；要证明数列 是（1）先 明数列 等差数列，先根据 sn-sn-1=an，用作

23、差法得到 an，an-1 的关系，再用定义证明，即可得到通 项公式；（2）若不等式2n2-n-3（5-）an对 ?nN * 恒成立，求 的取 值范围，用分离参数第13 页，共 19页法，5-对? nN* 恒成立，根据数列的函数特征，即可求出的取值范围本题考查了通项公式与前 n 项和公式的关系，等差数列的定 义的应用恒成立问题主要利用分离参数法 转化为求最值问题解决18.【答案】（ 1）证明： ABC 为正三角形， AB=BC，又 AD=CD ， BD=BD ，ABDBCD， M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点， MN AD，PA平面 ABCD ， PAAD，又 CDA =120，

24、AD= CD， DAC =30，又 BAC=60， ADAB，又 PAAD ，且 PAAB=A，AD 平面 PAB，而 MNAD，可得 MN 平面 PAB，又 MN ? 平面 PMN ， 平面 PMN 平面 PAB ；（ 2）解：如图所示，以 A 为原点， AB 、 AD、AP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系已知 PA=AB=4 ， CDA =120， ABC 是正三角形，则 A（0， 0， 0）， B（4， 0， 0）， P（ 0， 0， 4），设平面 PBC 的一个法向量为，由?，令，则， ；设平面 PDC 的一个法向量为，由?，令，则， 二面角 B-PC-D

25、的余弦值为 -【解析】（1）由已知证明ABD BCD，可得 M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点，得第14 页，共 19页MN AD ，求解三角形证明 AD 平面 PAB ，可得 MN 平面 PAB ，再由面面垂直的判定可得平面 PMN 平面 PAB；（2）以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系然后分别求出平面 PBC 与平面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得二面角 B-PC-D 的余弦值 本题考查面面垂直的判定，考 查空间想象能力与思 维能力，训练了利用空 间向量求解二面角的平面角，是中档题19.【答案】 解

26、：（ 1）由题意知，（ 2）第 3、4、5 组共 60 名学生， 现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人，第五组抽取的人数为人 X 所有可能的取值为0，1， 2，；X 的分布列为：X012PEX=+1 +2 =从 12名考生中随机抽取2 人，考生甲被抽到参加面试的概率为，则 YB， EY=3 = 【解析】（1）由题意知，利用频率分布直方 图的性质计算平均值的方法就得出（2） 第 3、4、5 组共 60 名学生，现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数 为人，同理可得第四组抽取的人数，第五组抽取的人数 X 所有可能的取 值为 0，1，2，利用超几何分布列与数学期望 从 1

27、2 名考生中随机抽取 2 人，考生甲被抽到参加面 试的概率为第15 页，共 19页，利用二项分布列即可得出本题考查了频率分布直方 图的性质、超几何分布列与二 项分布列的性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题1x=-2P-2 m，20【. 答案】解：（ ）证明：由题意得抛物线准线方程为，设 （， ），故从而直线 OP 的方程为，联立直线与抛物线方程得，解得，故直线 MN 的方程为，整理得，故直线 MN 恒过定点 G（ 2， 0）；（ 2）由（1）可设直线 MN 的方程为 x=ky+2，联立直线与抛物线方程得，消元整理得 y2-8ky-16=0 ，设 M（ x1， y1）， N（ x2，

28、y2 ），则由韦达定理可得 y1 +y2=8k， y1?y2=-16 ，因为，故（ 2-x1 ，-y1） =4（ x2-2， y2），得，联立两式，解得或，代入 y1+y2=8 k，解得或，故直线MN 的方程为或，直线 MN 的方程： 4x-3y-8=0 或 4x+3y-8=0 【解析】设P 点坐标线OP 的方程，代入抛物线方程，求得 N 点坐标，求得（1），求得直直线MN的方程则直线MN恒过定点 G（2，0）；，线MN的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，（2）折直代入即可求得 k 的值，求得直线 MN 的方程本题考查抛物线的性质线线的位置关系，考查韦达定理及向量的，直 与抛

29、物坐标运算，考查转 化思想，属于中档题 1Fx =ln1+x -x，21【. 答案】解：（ ）证明：根据题意，令 （ ） （） ，所以当 x（ 0，+）时， F（ x） 0，当 x（ -1， 0）时， F （ x） 0 所以 F（ x） max =F （0） =0，故 f（x） x（ 2）因为函数 g（x）的对称轴轴方程为 x=m，所以 0 m1第16 页，共 19页据题意，令，所以，令 G（ x） =0，解得 x1=0 或，函数 G（ x）的定义域为因为且，由此得：时， 1+ mx 0， mx 0，此时， G（x） 0；同理得：时， G（ x） 0， x 0时 G（ x） 0，G（ x）在上单调递递增，在上单调递减，在（0， +）上单调递增，故时， G（ x） G（ 0） =0 ，x 0 时， G（ x） G（ 0） =0，G（ x）在有且只有1 个零点 x=0，G（ x）在上单调递减，所以，由（ 1）代换可知lnxx-1， ， ，则， ，时，而得又函数 G（ x）在上