（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 3.2 利用导数研究函数的单调性课件 理 新人教A版

1、第二节 利用导数研究函数的单调性 (全国卷5年6考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 在在(a,b)(a,b)内可导函数内可导函数f(x),f(x), f(x)0f(x)0f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上为上为_._. f(x)0f(x)0f(x)0或或 f(x)0f(x)0(1)f(x)0是函数是函数f(x)f(x)为增函数的充分不必要条件为增函数的充分不必要条件. . (2)f(x)0(2)f(x)0是函数是函数f(x)f(x)为减函数的必要不充分条件为减函数的必要不充分条件. . 3.3.确定单调区间端点值的三个依据确定单调区间端

2、点值的三个依据 (1)(1)导函数等于零的点导函数等于零的点. . (2)(2)函数不连续的点函数不连续的点. . (3)(3)函数不可导的点函数不可导的点. . 4.4.三点注意三点注意 (1)(1)在函数定义域内讨论导数的符号在函数定义域内讨论导数的符号. . (2)(2)两个或多个增两个或多个增( (减减) )区间之间的连接符号区间之间的连接符号, ,不用不用 “”“”, ,可用可用“,”,”或用或用“和和”. . (3)(3)区间端点可以属于单调区间区间端点可以属于单调区间, ,也可以不属于单调区也可以不属于单调区 间间. . 【基础自测基础自测】 题组一题组一: :走出误区走出误区

3、判断正误判断正误( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”) (1)(1)如果恒有如果恒有f(x)=0,f(x)=0,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内在这个区间内 是常数函数是常数函数. .( () ) (2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在定义域上都有在定义域上都有f(x)0,f(x)0f(x)0 恒成立恒成立. .( () ) 提示提示: :(1).(1). (2)(2). .不一定不一定, ,如函数如函数y= y= 的导函数的导函数y=- 0y=- 0恒成立恒成立, , 但是函数但是函数y= y= 的图象不是恒下降的的图象不是恒下降的. . (3

4、)(3). .不一定不一定, ,如如y=xy=x3 3在在-1,3-1,3上单调递增上单调递增, ,但是但是 y=3xy=3x2 2在在x=0 x=0处的值为处的值为0.0. 1 x 2 1 x 1 x 题组二题组二: :走进教材走进教材 1.(1.(选修选修2-2P26T12-2P26T1改编改编) )函数函数f(x)=x-ln xf(x)=x-ln x的单调递减区的单调递减区 间为间为 ( () ) A.(0,1) A.(0,1) B.(0,+)B.(0,+) C.(1,+) C.(1,+) D.(-,0)(1,+)D.(-,0)(1,+) 【解析解析】选选A.A.函数的定义域是函数的定义

5、域是(0,+),(0,+), 且且f(x)=1- f(x)=1- 令令f(x)0,f(x)0,得得0 x1.0 x0 x0时时,h(x)0;,h(x)0; 当当x0 x0时时,h(x)0.,h(x)0a0时时,g(x)=(x-a)(x-sin x),g(x)=(x-a)(x-sin x), 当当x(-,0)x(-,0)时时,x-a0,g(x),x-a0,g(x)单调递增单调递增; ; 当当x(0,a)x(0,a)时时,x-a0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)单调递增单调递增. . 综上综上, ,当当a=0a=0时时,g(x),g

6、(x)在在(-,+)(-,+)上单调递增上单调递增; ; 当当a0a0时时,g(x),g(x)在在(-,0)(-,0)和和(a,+)(a,+)上单调递增上单调递增, ,在在(0,a)(0,a) 上单调递减上单调递减. . 考点一利用导数讨论考点一利用导数讨论( (或证明或证明) )函数单调性函数单调性 【题组练透题组练透】 1.1.函数函数f(x)= f(x)= 的图象大致为的图象大致为( () ) x e x 【解析解析】选选B.B.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为x|x0,xR,x|x0,xR, 当当x0 x0时时, ,函数函数f(x)= ,f(x)= ,可得函数的极值

7、点为可得函数的极值点为: : x=1,x=1,当当x(0,1)x(0,1)时时, ,函数是减函数函数是减函数,x1,x1时时, ,函数是增函函数是增函 数数, ,并且并且f(x)0,f(x)0,选项选项B B、D D满足题意满足题意. . 当当x0 x0时时, ,函数函数f(x)= 0,f(x)= 0f(x)0恒成立恒成立, , 所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. . 若若a0,a0,则当则当x x 时时,f(x)0;x ,f(x)0;x 时时, , f(x)0,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,+);(0,+)

8、; 当当a0a0时时,f(x)=2x- ,f(x)=2x- a x a 3 2 a2xa xx 2a2a 2(x)(x) 22 . x 当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下的变化情况如下: : 所以所以f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是 , ,单调递增区间是单调递增区间是 2a (0,) 2 2a (,). 2 【规律方法规律方法】 要特别注意的是要特别注意的是, ,涉及含参数的单调性涉及含参数的单调性 或单调区间问题或单调区间问题, ,一定要弄清参数对导数一定要弄清参数对导数f(x)f(x)在某一在某一 区间内的符号是否有影响区间内的符号

9、是否有影响. .若有影响若有影响, ,则必须分类讨论则必须分类讨论. . 考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间 【典例典例】(2018(2018杭州模拟杭州模拟) )已知函数已知函数f(x)= xf(x)= x2 2-ax+-ax+ (a-1)ln x,(a-1)ln x,当当a0a0时时, ,求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. . 1 2 【解析解析】由题知由题知, ,函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+), (0,+), f(x)=x-a+ f(x)=x-a+ 令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x x1 1=1,x=1,x2 2

10、=a-1,=a-1, 当当a2a2时时,a-11,a-11,在区间在区间(0,1)(0,1)和和(a-1,+)(a-1,+)上上 f(x)0;f(x)0; 2 xaxa1x1x1 aa1 xxx ， 在区间在区间(1,a-1)(1,a-1)上上f(x)0,f(x)0, 故函数故函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)和和(a-1,+),(a-1,+),单调单调 递减区间是递减区间是(1,a-1).(1,a-1). 当当a=2a=2时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立, ,故函数故函数f(x)f(x)的单调递增的单调递增 区间是区间是(0,+).(0,+).

11、当当1a21a2时时,0a-11,0a-10;f(x)0; 在在(a-1,1)(a-1,1)上上f(x)0,f(x)1,f(x)=x-1,x1时时f(x)0,x0,x1时时 f(x)0,f(x)0, 函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(1,+),(1,+),单调递减区间是单调递减区间是 (0,1).(0,1). 当当0a10a1时时,a-10,a-12a2时函数时函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)和和 (a-1,+),(a-1,+),单调递减区间是单调递减区间是(1,a-1);(1,a-1); 当当a=2a=2时时, ,函数函数f(x

12、)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,+);(0,+); 当当1a21a2时时, ,函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,a-1), (0,a-1), (1,+),(1,+),单调递减区间是单调递减区间是(a-1,1);(a-1,1); 当当0a100:f(x)0时为增函数时为增函数,f(x)0,f(x)0a0时时, ,当当0 x10 x0;,f(x)0;当当x1x1时时, , f(x)0.f(x)0a0时时, ,函数函数f(x)f(x)单调递增区间为单调递增区间为(0,1),(0,1),单调递减区单调递减区 间为间为(1,+).(1,+). 1 ln x 2

13、ax 22 2aln xln x ,x0. 2ax 2ax 若若a0a0时时, ,当当0 x10 x1时时,f(x)0;,f(x)1x1时时,f(x)0.,f(x)0. 即即a0a0时时, ,函数函数f(x)f(x)单调递增区间为单调递增区间为(1,+),(1,+),单调递减单调递减 区间为区间为(0,1).(0,1). 考点三利用导数解决函数单调性的应用问题考点三利用导数解决函数单调性的应用问题 【明考点明考点知考法知考法】 利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题 的形式呈现的形式呈现, ,试题难度较大试题难度较大. . 命题角度命题角度1 1依

14、据函数的单调性求参数的取值范围依据函数的单调性求参数的取值范围 【典例典例】已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)x-b,-2(a-1)x-b,其中其中e e为自然对为自然对 数的底数数的底数. .若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上是单调函数上是单调函数, ,试求试求 实数实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】根据题意根据题意, ,函数函数f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)x-b,-2(a-1)x-b, 其导数为其导数为f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1),-2(a-1), 当函数当函数f(x)f(x)在区间在区间0,10

15、,1上单调递增时上单调递增时, , f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)0-2(a-1)0在区间在区间0,10,1上恒成立上恒成立, , 所以所以2(a-1)(e2(a-1)(ex x) )min min=1( =1(其中其中x0,1),x0,1), 解得解得a ;a ; 3 2 当函数当函数f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上单调递减时上单调递减时, , f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)0-2(a-1)0在区间在区间0,10,1上恒成立上恒成立, , 所以所以2(a-1)(e2(a-1)(ex x) )max max=e( =e(其中其中x0,1),x0,1), 解

16、得解得a +1.a +1. 综上所述综上所述, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是 e 2 3e (, 1,). 22 【状元笔记状元笔记】 求出函数的导数、变量分离求出函数的导数、变量分离, ,求函数最值得求函数最值得a a的取值范的取值范 围围. . 命题角度命题角度2 2根据函数的单调性解决恒成立问题根据函数的单调性解决恒成立问题 【典例典例】(2018(2018长春模拟长春模拟) )已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2e eax ax. . (1)(1)当当a0a2g(x)-xf(x)2恒成立恒成立. . ln x x ， 【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知f(x

17、)=ef(x)=eax ax(ax (ax2 2+2x),+2x),令令f(x) f(x) =0,=0,可得可得x=0 x=0或或x=- .x=- . 又又a0,a0,则由则由f(x)0,f(x)0,得得x0 x- ,x- ,由由f(x)0,f(x)0,得得 0 x- .0 x- .所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)和和 上单调递上单调递 减减, ,在在 上单调递增上单调递增. . 2 a 2 a 2 a 2 () a ， 2 (0) a ， (2)(2)在在(1)(1)条件下条件下, ,当当- 1,- 1,即即-2a0-2a0时时,f(x),f(x)在在 0,10,1上

18、单调递增上单调递增, , 则则f(x)f(x)的最大值为的最大值为f(1)=ef(1)=ea a; ; 当当- 1,- 1,即即a-2a2,g(x)-xf(x)2, 即证即证(2-3(2-3x x)e)ex x2+ 2+ 令令h(x)=(2-xh(x)=(2-x3 3)e)ex x, , 则则h(x)=(-xh(x)=(-x3 3-3x-3x2 2+2)e+2)ex x=-e=-ex x(x+1)(x(x+1)(x2 2+2x-2),+2x-2), 又又x(0,1),x(0,1),易知在易知在(0,1)(0,1)上上h(x)h(x)存在极大值点存在极大值点, , 又又h(0)=2,h(1)=e

19、,h(0)=2,h(1)=e, ln x x ， 则则h(x)h(x)在在(0,1)(0,1)上恒大于上恒大于2,2,而而2+ 2+ 在在(0,1)(0,1)上恒小于上恒小于 2,2,因此因此g(x)-xf(x)2g(x)-xf(x)2在在(0,1)(0,1)上恒成立上恒成立. . ln x x 【状元笔记状元笔记】 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)(1)由函数在区间由函数在区间a,ba,b上单调递增上单调递增( (减减) )可知可知f(x) f(x) 0(f(x)0)0(f(x)0)在区间在区间a,ba,b上恒成立列出不等式上恒成立

20、列出不等式. . (2)(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题. . (3)(3)对等号单独检验对等号单独检验, ,检验参数的取值能否使检验参数的取值能否使f(x)f(x)在在 整个区间恒等于整个区间恒等于0,0,若若f(x)f(x)恒等于恒等于0,0,则参数的这个值则参数的这个值 应舍去应舍去; ;若只有在个别点处有若只有在个别点处有f(x)=0,f(x)=0,则参数可取这则参数可取这 个值个值. . 命题角度命题角度3 3依据函数单调性解综合问题依据函数单调性解综合问题 【典例典例】已知函数已知函数f(x)=(xf(x)=(x2 2+ax+b

21、)e+ax+b)ex x, ,当当b1b1时时, ,函数函数 f(x)f(x)在在(-,-2),(1,+)(-,-2),(1,+)上均为增函数上均为增函数, ,则则 的最的最 大值为大值为_._. ab a2 【解析解析】由函数的解析式可得由函数的解析式可得:f(x)=e:f(x)=ex xxx2 2+(a+2)x+ +(a+2)x+ (a+b),(a+b), 函数函数f(x)f(x)在在(-,-2),(1,+)(-,-2),(1,+)上均为增函数上均为增函数, , 则在则在(-,-2),(1,+)(-,-2),(1,+)上上x x2 2+(a+2)x+(a+b)0+(a+2)x+(a+b)0

22、恒成立恒成立, , 又由已知又由已知b1,b1, 所以所以 画出满足条件的平面区域画出满足条件的平面区域, ,如图所示如图所示: : 42 a2ab0, ab0, 1a2ab0,2ab30, b1, b1, 即： 目标函数目标函数: : 其中其中 表示平面直角坐标系中的点表示平面直角坐标系中的点(a,b)(a,b)与点与点(2,-2)(2,-2) 之间连线的斜率之间连线的斜率, , 数形结合可得数形结合可得, ,当点当点(a,b)(a,b)位于位于C(-1,-1)C(-1,-1)时时, ,斜率有最大值斜率有最大值, , 即即a=b=-1a=b=-1时时, , 答案答案: : aba2b2b2

23、1 a2a2a2 ， b2 a2 max ab1 12 (). a21 23 2 3 【状元笔记状元笔记】 首先利用函数的单调性将原问题转化为线性规划的问首先利用函数的单调性将原问题转化为线性规划的问 题题, ,然后利用线性规划的知识求解最大值即可然后利用线性规划的知识求解最大值即可. . 【对点练对点练找规律找规律】 若函数若函数f(x)=2x- sin 2x+2mcos xf(x)=2x- sin 2x+2mcos x在在(0,)(0,)上单调递上单调递 增增, ,则则m m的取值范围是的取值范围是_._. 1 2 【解析解析】f(x)=2-cos 2x-2msin x,f(x)=2-co

24、s 2x-2msin x, 若若f(x)f(x)在在(0,(0,) )上递增上递增, , 则则2-cos 2x-2msin x02-cos 2x-2msin x0在在(0,(0,) )恒成立恒成立, , 即即m x(0,m x(0,),), 2cos 2x 2sin x ， 令令g(x)= =sin x+ 2 g(x)= =sin x+ 2 当且仅当当且仅当sin x= sin x= 时取等号时取等号. . 故故m .m . 答案答案: :(-, (-, 2cos 2x 2sin x 1 2sin x 1 sin x2 2sin x ， 2 2 2 2 思想方法系列思想方法系列77分类与整合思

25、想在研究函数中的应分类与整合思想在研究函数中的应 用用 【思想诠释思想诠释】含参数的函数的单调性问题一般要分类含参数的函数的单调性问题一般要分类 讨论讨论, ,常见有常见有 以下几种可能以下几种可能: :方程方程f(x)=0f(x)=0是否有根是否有根; ; 若若f(x)=0f(x)=0有根有根, ,求出根后是否在定义域内求出根后是否在定义域内; ;若根若根 在定义域内且有两个在定义域内且有两个, ,比较根的大小是常见的分类方法比较根的大小是常见的分类方法. . 【典例典例】已知函数已知函数f(x)= (a0).f(x)= (a0). (1)(1)当当a=0a=0时时, ,试求曲线试求曲线y=

26、f(x)y=f(x)在点在点(0,f(0)(0,f(0)处的切线处的切线. . (2)(2)试讨论函数试讨论函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. . x 2 e xax1 【解析解析】(1)(1)当当a=0a=0时时,f(x)= ,f(x)= , 所以所以f(x)= f(x)= 所以所以k=f(0)=1,k=f(0)=1, 因为因为f(0)=1,f(0)=1, 所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,f(0)(0,f(0)处的切线方程为处的切线方程为y-1=x,y-1=x, 即即x-y+1=0.x-y+1=0. x 2 e x1 2 x 2 2 ex1 x1 ， (2)f(

27、x)= (2)f(x)= 当当a=0a=0时时, ,函数定义域为函数定义域为R,f(x)= 0,R,f(x)= 0, 所以所以f(x)f(x)在在R R上单调递增上单调递增. . 当当a(0,2)a(0,2)时时, ,因为因为=a=a2 2-40,-40-ax+10恒成立恒成立, , 函数定义域为函数定义域为R,R,又又a+11,a+11, x 2 2 ex1xa1 xax1 ， 2 x 2 2 ex1 x1 所以所以f(x)f(x)在在(-,1)(-,1)上单调递增上单调递增,(1,1+a),(1,1+a)上单调递减上单调递减, , (1+a,+)(1+a,+)上单调递增上单调递增. . 当当a=2a=2时时, ,函数定义域为函数定义域为(-