初中几何辅助线的添加大全资料

1、初中数学辅助线的添力口人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立 已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用 的策略。一. 添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为 90 ;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图 形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线

2、也有 规律可循。举例如下：(1 )平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2) 等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角 形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三 角形。(3) 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添

3、直角三角形斜边上的中线得直角三 角形斜边上中线基本图形。（5 ）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完 整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点 则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍 半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半 线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形 全等三角形：

4、或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现 一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形 全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行 线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段 为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（8）特殊角直角三角形当出现30 , 45 , 60, 135, 150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1:1:22 ; 30度

5、角直角三角形三边比为1 :2: 23进行证明(9 )半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现 90度的圆周角则添它所对弦-直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有 一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。二基本图形的辅助线的画法1三角形问题添加辅助线方法方法1:有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利 用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了 问题。方法2:含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质 和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助

6、线构成全等三角形，或利用关于 平分线段的一些定理。方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采 用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分， 证其中的一部分 等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有 某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、 垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方 形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（

7、3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造 线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等 积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等3. 梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加 适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。 辅助线的 添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）

8、过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单 一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来 解决，这是解决问题的关键。4. 圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起 题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活 掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是 大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分 定理，来沟通题设与结论间的联系。（2 ）见直径作圆周角

9、在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用 直径所对的 圆周角是直角这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用 切线与半径 垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题， 通常是作出公共弦， 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一

10、段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法， 并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的 平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有 时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两

11、角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角； 第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连 心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线， 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半

12、径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助 线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反， 条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等， 所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助 线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和

13、结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高，多边变三边”。线、角、相交线、平行线规律规律1.如果平面上有 n(n 2个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直1线，一共可以画出 一n(n 1)条.21规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成n(n+1)+1个部分.21规律3.如果一条直线上有 n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为-n(n 1)条.2规律4.线段(或延长线)上任一

14、点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的 一半.例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.1求证：MN = AC2证明： M是AB的中点，N是BC的中点AM =11=BM = AB ,BN =CN=BC22MN :1=MB + BN =AB +BC =1(AB + BC)222MN :1 =AC2练习：1如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.求证：AMi(AB + BC)第7页共93页2如图，点 B在线段 AC上，M是AB的中点，N是AC的中点第#页共93页求证：MN = 1 BC23如图，点B在线段 AC上，N是AC的中点，M是BC的中点.求证：MN =

15、 1 AB21规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有1 n(n 1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n ( n 1)个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n ( n 1)对对顶角.规律8.平面上若有n ( n3个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共1可作出n(n 1)(n 2)个.6规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90.1规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n 1)个.2规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互

16、相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明规律13.已知AB/ DE,如图，规律如下:AB1C ZABC+BCD+CDE=360EDAB2CZBCD= ZABC+ ZCDEEDc、A3ZBCD= ZCDE- ZABCEDAB4zzZBCD= ZABC- CDE )B/CDE= BCD+ ABC.ABC= . BCD+ . CDE规律14.成“8字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半 例：已知，BE、DE分别平分/ ABC和/ ADC，若/ A = 45,/ C = 55,求/ E的度数.解：/ A +/ AB

17、E = / E +/ ADE/ C + / CDE = / E + / CBE +得/A + / ABE + / C +/ CDE/ CBE/ BE 平分/ ABC、DE 平分/ ADC,/ ABE = / CBE , / CDE = / ADE 2/ E =/ A+Z C/ L1Z E = -(/A +/ C)2Z A =45, / C =55, Z E =50三角形部分规律15.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或 延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边 关系定理及不等式性质证题 .例：如图，已知 D、EABC内两点，求证：

18、 AB+ ACBD + DE + CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交 AB、AC于M、N在厶 AMN 中， AM + AN MD + DE + NE 在厶BDM中，MB + MD BD在厶CEN中，CN + NE CE+得AM + AN+ MB + MD + CN+ NE MD + DE + NE + BD + CE AB + AC BD + DE + CE证法(二)延长 BD交AC于F，延长CE交BF于G,在厶ABF和厶GFC和厶GDE中有， AB + AF BD + DG + GF GF + FC GE + CE DG + GE DE+有AB + AF + GF + FC + DG

19、 + GE BD + DG + GF + GE + CE+ DE AB + AC BD + DE + CE注意：禾U用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题 练习：已知：如图 P ABC内任一点，1求证：亍(AB + BC + AC) v PA+ PB + PC v AB+ BC + AC规律16.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的 一半.例：如图，已知 BD ABC的角平分线，CD ABC的外角/ ACE的平分线，它与 BD 的延长线交于D.求证：/ A = 2/ D证明： BD、

20、CD分别是/ ABC、/ ACE的平分线/ ACE =2/ 1, / ABC =2 / 2/ A = / ACE / ABC/ A = 2/ 1 2 / 2又/ D = / 1 / 2/ A =2 / D规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 例：如图，BD、CD分别平分/ ABC、/ ACB , 求证:证明： BD、CD分别平分/ ABC、/ ACB / A+ 2 / 1+ 2/ 2 = 180 2(/ 1 + / 2)= 180/ A/ BDC =180 (/ 1+/ 2) (/ 1 + / 2) = 180/ BDC把式代入式得2(180/ BDC)= 180/ A 即: 3

21、60 2 / BDC =180/ A 2/ BDC = 180+/ A 1 / / BDC = 90 + - / A2规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 例：如图，BD、CD分别平分/ EBC、/ FCB， 求证:证明： BD、CD分别平分/ EBC、/ FCB / EBC = 2 / 1、/ FCB = 2 / 2 2/ 1 = /A +/ ACB 2/ 2 = /A +/ ABC +得2 (/ 1 + / 2) = / A+/ ABC +/ ACB +/ A2 (/ 1 + / 2) = 180+/ A1(/ 1 + / 2) = 90+/ A90加上第三个内角的一半1/

22、BDC = 90 +/ A290减去第三个内角的一半1/ BDC = 90 / A22第11/ BDC = 180o- (/ 1 + Z 2)1/ BDC = 180 (90+/ A)21/ BDC = 90 / A2规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半.例：已知，如图，在 ABC中，/ CZ B, AD丄BC于D, AE平分/ BAC.1求证：/ EAD =( / C Z B)2证明： AE平分Z BAC1 Z BAE = Z CAE = Z BAC2vZ BAC =180 (Z B + Z C) Z EAC1180 (Z B+Z

23、 C)2/ AD 丄 BC Z DAC = 90 Z CvZ EAD = Z EAC Z DAC Z EAD1-180 (Z B + Z C)丨一(90 2Z C)1=90(Z B + Z C) 90+Z C21=-(Z CZ B)2- - 1如果把AD平移可以得到如下两图，FD丄BC其它条件不变，结论为Z EFD =(Z C2Z B).、亠注意：冋学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证 不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证

24、的大角在某个三角形外角 的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.第17页共93页例：已知 DABC内任一点，求证：/ BDC / BAC证法（一）：延长BD交AC于E,/ BDC EDC 的外角，/ BDC / DEC 同理：/ DEC Z BAC / BDC Z BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F/ BDF是厶ABD的外角，/ BDF Z BAD同理/ CDF Z CAD/ BDF +Z CDF Z BAD +Z CAD即：/ BDC Z BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形 例：已知，求证：证明：如图，AD为厶ABC的中线且/ 1 =

25、/ 2,Z 3 = / 4,BE + CF EF在 DA上截取 DN = DB,连结 NE、NF，贝U DN = DC 在厶BDE和厶NDE中，DN = DB/ 1 = / 2ED = ED BDE NDE BE = NE同理可证：CF = NF在厶 EFN 中, EN + FN EF BE + CF EF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形 例：已知，如图， ADABC的中线，且/ 1 = / 2,7 3 = / 4,求证:证明：延长 ED至U M，使DM = DE，连结 CM、FM BDE和厶CDM中，BD = CD7 1 = 7 5BE + CF EFED

26、 = MD BDE CDM CM = BE又/ 1 = 7 2, 7 3 = 7 47 1 + 7 2 + 7 3 + 7 4 = 180 7 3 +7 2 = 90即7 EDF = 90 7 FDM = 7 EDF = 90 EDF和厶MDF中ED = MD7 FDM = 7 EDFDF = DF EDF 也厶 MDFM EF = MF在 CMF 中，CF + CM MFBE + CF EF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形 例：已知，如图， ADABC的中线，求证： AB+ AC2AD证明：延长 AD至E,使DE = AD，连结BE/

27、 AD ABC的中线CE BD = CD在厶ACD和厶EBD中BD = CD/ 1 = / 2AD = ED ACD EBD/ ABE 中有 AB + BEAE AB + AC 2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段; 补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法 .当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法: a b ab = c ab = ci例：已知，如图，在 ABC中，AB AC,/ 1 = / 2, P为AD上任一点,求证：AB AC PB PC证明：截长法： 在AB上截取AN = AC,连结PN在

28、厶APN和厶APC中，AN = AC/ 1 = / 2AP = AP APN APC PC = PN/ BPN 中有 PB PCv BNM PB PCv AB AC补短法： 延长AC至M，使AM = AB,连结PM 在厶ABP和厶AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABP AMP PB = PM又在 PCM 中有 CM PM PC AB AC PB PCAC = AE+ CD2已知，求证:如图， AB / CD / 1 = / 2，/3 = / 4.BC = AB+ CD规律25.证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若

29、图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所 在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例:如图，已知，BE、CD相交于F，/ B = / C,Z 1 = / 2,证明：I/ ADF = / B+Z 3/ AEF = / C+Z 4又/ 3 = / 4求证：DF = EFAF = AF ADF 也厶 AEF DF = EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相 等.例：已知，如图 Rt ABC 中，AB = AC，/ BAC = 90,于 D, CE丄 AN 于 E,求证：DE = BD CE 证明：

30、/ BAC = 90, BD 丄 AN/ 1 + / 2 = 90/ 1 + / 3 = 90过A作任一条直线 AN,作BD丄AN/ BD 丄 ANCE 丄 AN / BDA =Z AEC = 90 在厶ABD和厶CAE中，/ BDA = / AECAB = AC BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD ABC的中线，且 CF丄AD于F, BE丄AD的延长线于 E 求证：BE = CF证明：（略）练习：1.已知，在 ABC中，/ B = 60,AD、CE是厶ABC的角平分线，并且

31、它们交于点 O 求证：第15页共93页FE第21页共93页规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD, AD丄AC于A, BCBD于B 求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB交于点E/ AD 丄 ACBC丄 BD/ CAE = / DBE = 90 在厶DBE和厶CAE中EAB/ DBE = / CAEBD = AC/ E = / E DBE CAE ED = EC, EB = EA ED EA = EC EB AD = BC规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题 例：已知，如图， AB/ CD, AD / BC求证：AB = CD证明

32、：连结AC （或BD）/ AB / CD , AD / BC在厶ABC和厶CDA中,/ 1 = / 21=/2AC = CA/ 3 = / 4 ABC CDA AB = CD练习：已知，如图， AB = DC , AD = BC, DE = BF , 求证：BE = DF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtA ABC中，AB = AC,/ BAC = 90,Z 1 = / 2 , CE丄BD的延长线于E求证：BD = 2CE证明：分别延长BA、CE交于F/ BE 丄 CF / BEF = / BEC = 90 在厶BEF和厶B

33、EC中/ 1 = / 2BE = BE/ BEF = / BEC BEF BEC CE =FE = 】CF2/ BAC = 90 , BE 丄 CF/ BAC = / CAF = 90/ 1 + Z BDA = 90/ 1 + Z BFC = 90/ BDA = Z BFC在厶ABD和厶ACF中Z BAC = Z CAFZ BDA = Z BFCAB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE练习：已知，如图，Z ACB = 3 Z B, Z 1 = Z 2,CD丄AD于D,求证：AB AC = 2CD规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三

34、角形例：已知，如图， AC、BD相交于 O,且AB = DC，AC = BD , 求证：Z A = Z D证明：（连结BC,过程略）规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件 例：已知，如图，AB = DC ,Z A = Z D求证：Z ABC = Z DCB证明：分别取AD、BC中点N、M, 连结NB、NM、NC （过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两 边距离相等证题.例：已知，如图，Z 1 = Z 2 , P为BN上一点，且 PD丄BC于D, AB+ BC = 2BD, 求证：Z BAP + Z BCP =

35、180证明：过P作PE丄BA于E/ PD 丄 BC, / 1 = / 2 PE = PD在 RtA BPE 和 Rt BPD 中BP = BPPE = PD RtA BPE也 RtA BPD BE = BD/ AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB = BE AE AE = CD/ PE丄 BE, PD 丄 BC/ PEB = / PDC = 90在厶PEA和厶PDC中PE = PD/ PEB = / PDCAE =CD PEAPDC / PCB = / EAP/ BAP + / EAP = 180 / BAP + / BCP = 180练习：1已知，如图，PA、P

36、C分别是 ABC外角/ MAC与/ NCA的平分线，它们交于 P,PD丄BM于M , PF丄BN于F，求证：BP为/ MBN的平分线2.已知，如图，在 ABC 中，/ ABC =100o,/ ACB = 20, CE 是/ ACB 的平分线, D是AC上一点，若/ CBD = 20，求/ CED的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，求证：如图，AB = AC, BD丄AC于/ BAC = 2 / DBCD,证明:（方法一）作/ BAC的平分线AE,交 BC 于 E,则/ 1 = / 2 =丄 / BAC2又 AB = AC AE 丄 BC/

37、 2 +Z ACB = 90/ BD 丄 AC/ DBC + Z ACB = 90/ 2 = / DBC/ BAC = 2/ DBC（万法二）过 A作AE丄BC于E （过程略）（方法三）取 BC中点E,连结AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE丄AB于E，DF丄AC于F，求证：DE = DF 证明：连结AD.在BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使AE = D为BC中点， BD = CD又 AB =AC AD 平分/ BAC/ DE 丄 AB, DF 丄 AC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，

38、ABC中，AB = AC,AF，求证：EF丄BC证明：延长 BE至U N,使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC/ B = / ACB, / ACN = / ANC/ B +Z ACB + Z ACN + Z ANC = 180 2 / BCA + 2 / ACN = 180/ BCA + Z ACN = 90即/ BCN = 90 NC 丄 BC/ AE = AF/ AEF = / AFE又/ BAC = / AEF +Z AFE/ BAC = / ACN +Z ANC/ BAC =2/ AEF = 2 / ANC/ AEF = / ANC EF / NC EF 丄 BC常过

39、一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC, D在AB上，E在AC延长线上，且 BD = CE,连 结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DN / AE,交 BC 于 N，则/ DNB = / ACB，/ NDE = / E,/ AB = AC,/ B =/ DNB BD = DN第19页共93页BCC又 BD = CE DN = EC在厶DNF和厶ECF中/ 1 = / 2/ NDF =Z EDN = EC DNF ECF DF = EF（证法二）过 E作EM / AB交BC延长线于 M,则/ EMB =/ B （过程略）常过一腰

40、上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB =AC, E在AC上，D在BA延长线上，且 AD = AE，连 结DEN D求证：DE丄BC 证明：（证法一）过点E作EF / BC交AB于F ,则/ AB = AC/ B = / C/ AFE =/ AEF/ AD = AE/ AED = / ADE又/ AFE + Z AEF + Z AED + Z ADE = 180 2 / AEF + 2/AED = 90即/ FED = 90 DE 丄 FE又 EF / BC DE 丄 BC（证法二）过点 D作DN / BC交CA的延长线于 N,（过程略）（证法三）过点 A作AM / BC交

41、DE于M ,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图， ABC 中，AB = AC,/ BAC = 80 ,P 为形内一点，若/ PBC = 10 / PCB = 30 求/ PAB 的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE贝BAE = / ABE = 60AE = AB = BE/ AB = AC AE = AC / ABC =/ACB / AEC = / ACE/ EAC = / BAC-/ BAE =80 60 = 20E1 / ACE =（180/ EAC）= 8021/ ACB=(180/ BAC)= 502/ BCE = / ACE / A

42、CB0 0 0=80 50 = 30/ PCB = 30/ PCB = / BCEV/ ABC = / ACB = 50, / ABE = 60/ EBC = /ABE / ABC = 60 50 =10 v/ PBC = 10 / PBC = / EBC在厶PBC和厶EBC中/ PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCE PBC EBC BP = BE/ AB = BE AB = BP / BAP = / BFAV/ ABP = / ABC / PBC = 50 10 = 40 / PAB =1(180/ ABP)= 702解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法

43、三：以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则EB = EC = BC，/ BEC = / EBC = 60 / EB = ECE E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA 丄 BC1/ AEB =/ BEC = 30 = / PCB2由解法一知：/ ABC = 50 / ABE = / EBC / ABC = 10 =/ PBC V/ ABE = / PBC,BE = BC,/AEB = / PCB ABE PBC AB = BP/ BAP = / BPA./ ABP = / ABC / PBC = 50 10 = 401 1/ PAB =(180/

44、ABP) =(180 40)= 702 2规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/ C,求证：AB + BD = AC则/BED=/ BDE/ABD=/ E+/BDE /ABC=2 / E/ABC=2/ C /E = / C在厶AED禾叱ACD中C证明：延长AB至U E,使BE = BD，连结DE/ E = / C/ 1 = / 2 AD = AD AC = AE/ AE = AB + BE AC = AB+ BE 即 AB + BD = AC平分二倍角例：已知，如图，在 ABC中，B

45、D丄AC于D, / BAC = 2/ DBC求证：/ ABC = / ACB证明：作/ BAC的平分线 AE交BC于E,则/ BAE = / CAE = / DBC/ BD 丄 ACC/ CBD +/ C = 90/ CAE + / C= 90/ AEC= 180-/ CAE-/ C= 90 AE 丄 BC / ABC + / BAE = 90/ CAE + / C= 90/ BAE = / CAE / ABC = / ACB加倍小角例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC于D, / BAC = 2/ DBC 求证：/ ABC = / ACB证明：作/ FBD =/ DBC,BF交AC于F （

46、过程略）第35页共93页规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图， ABC中，AB = AC,/ BAC = 120, EF为AB的垂直平分线， EF交BC 于F，交AB于E求证：BF =- FC2证明：连结 AF，贝U AF = BF/ B =/ FAB/ AB = AC/ B =/ C/ BAC = 1201C/ B =/ C/ BAC =(180/ BAC) = 302 / FAB = 30 / FAC = / BAC / FAB = 120 30 =90又/ C = 301- AF = -FC2- BF =FC2练习：已知，如图，在ABC中，/ C

47、AB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM丄AB于M , DN丄AC延长线于 N 求证：BM = CN规律37.有垂直时常构造垂直平分线 例：已知，如图，在 ABC中，/ B =2/ C, AD丄BC于D求证：CD = AB+ BD证明：（一）在 CD上截取 DE = DB，连结 AE，贝U AB = AE / B =/AEB/ B = 2/ C / AEB = 2 / C又/ AEB = / C +/ EAC / C = / EAC AE = CE又 CD = DE + CEDBCD = BD + AB（二）延长 CB至U F，使DF = DC ,连结AF贝U AF =AC （过程

48、略） 规律38.有中点时常构造垂直平分线 .例：已知，如图，在 ABC 中，BC = 2AB, / ABC = 2/C,BD = CD求证： ABC为直角三角形证明：过 D作DE丄BC,交AC于E,连结BE，贝U BE = CE,/ C = / EBC/ BC = 2AB, BD = CD BD = AB在厶ABE和厶DBE中AB = BD/ ABE = / EBCBE = BE ABEDBE/ BDE = 90/ BAE = 90即厶ABC为直角三角形规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：已知，如图，在 ABC中，/ A = 90, DE为BC的垂直平分

49、线求证：BE2 AE2 = AC2证明：连结CE，则BE =CE/ A = 90 AE2 + AC2 :=EC2 AE2 + AC2=:BE2 BE2 AE2 :=AC2练习：已知,如图，在ABC中/ BAC求证：PB2+ PC2= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：已知，如图，在 ABC 中，/ B = 45,/ C = 30, AB = .2，求 AC 的长.解：过A作AD丄BC于D/ B + / BAD = 90,/ B = 45, / B = / BAD = 45, AD = BD AB2 = AD2+ BD2, AB =、2 AD = 1/ C = 30, AD 丄 BC AC = 2AD = 2四边形部分规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半例：已知，口ABCD的周长为60cm,对角线 AC、BD相交于点 O,A AOB的周长比厶BOC的 周长多8cm，求这个四边形各边长.解：四边形 ABCD为平行四边形 AB = CD, AD = CB , AO = CO/ AB + CD + DA + CB = 60AO+ AB + OB (OB + BC+ OC) = 8 AB + BC =