2018-2019学年湖南省益阳市高三(上)期末数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷 （文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知集合A= x|x-1| 2x ZB=-1，2，则 ?A， ，）B=（A. -2 ， 0， 1B.C. 0，1，3D.-1 ， 2-1 ， 0，1， 2， 32.若复数 z=1-2i（ i 为虚数单位），则=（）A.B.C. +D. -3.已知A11B 2 3），C（-1 2），则向量与向量的夹角为（）（， ），（ ，A. 45B. 60C. 120 D. 135 4.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5 次联考数学成绩，现只知其从第1次到第 5次分

2、数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1 至第5 次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的方差大于乙同学的成绩的方差C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数5.某同学为检测自己高考心理的承受能力，在考前到“VR 教室”（ VR 全称VirtualReality ）进行模拟考试5 次，“ VR”对 5 次考试给出的心理承受能力分数分别为 92， 82，88， 91，93，若以此数据作为高考心理承受能力，并规定从中任意抽出两次成绩，若两次均为 90 分以上则称为最强心

3、理素质，则该同学高考心理承受能力为最强心理素质的概率为（）A.B.C.D.6.已知角 的终边过点P（ -1，-2），则=（）A. -B.C. -D.7.已知 a=log 2 ， b=3 ， c=sin （），则 a，b， c 的大小关系为（）第1页，共 19页A. a b cB. b a cC. a c bD. c b a8.执行如图所示的程序，则输出P 的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 39. 在平面四边形 ABCD 中， AB=3， AD =2，BAD=60 ， DBC =30 ，则点 D 到边 BC的距离为（）A.2B.4C.D.10.某组合体的三视图如图，则俯视图中弓形AmC 与

4、弓形 BnC 对应几何体中的空间部分的体积之和为（）A. 4-4B. 2-2C. 4-D. 211. 已知高为 3 的长方体 ABCD -A1B1C1 D1 的外接球 O 的体积为 36，点 P 为球面上的动点，则四棱锥P-ABCD 体积的最大值为（）A.B.C.D.12.已知O为坐标原点，A，B分别是椭圆C：=1ab0（ ）的左，右顶点，抛2P，点 P 在 x 轴上的投影为 P，物线 E：y =2 px（ p 0）与椭圆 C 在第一象限交于点且有?=cc22 2AP的连线与y轴交于点M，BM与PPN（其中=a -b ），的交点恰为 PP 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A.B.C.D.二、填

5、空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.已知 x， y 满足约束条件，则 z=2x-y 的最小值为 _14.函数的图象可以由函数y=2sinx的图象至少向左平移_个单位得到f xx 0f x-x+f1+f1=_15.已知函数）为奇函数，当）=e，则）（）（时， （2 216. 已知圆 O： x +y =4，动直线 l ：mx+y-5-4m=0 ，当动直线 l 过点 P（ 5， 7）时与圆交于 A， B 两点，过 A， B 分别作直线 l 的垂线交 x 轴于点 A1， B1，则 |A1B1|=_ 三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）第2页，共 19页17.已知正项等差数列 an

6、的首项 a1，存在唯一的实数a1满足 a12-a1+4=0，且 a2+a4=a7（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bn=，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，求 S201818. 受传统观念的影响， 中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力，基础教育消费一直是中国家庭消费的重头戏，升学压力的逐渐加大，特别是对于升入重点学校的重视， 导致很多家庭教育支出增长较快，下面是某机构随机抽样调查某二线城市2011-2017 年的家庭教育支出的折线图（附：年份代码 1-7分别对应的年份是 2011-2017）（ 1）从图中折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请求出相关系数

7、r（精确到0.001），并指出是哪一层次的相关性？（相关系数|r |0.75，1，相关性很强； |r |0.3 ， 0.75），相关性一般； |r |0， 0.25，相关性较弱）（ 2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到0.1）；（ 3）若2018 年该地区家庭总支出为10 万元，预测家庭教育支出约为多少万元？（精确到0.1）附注：参考数据：=259，tiyi=1178，=27 ，（ ti- ）（ yi-） =142 ， 2.64参考公式： r =，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-第3页，共 19页19. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PA底

8、面 ABCD ，PA=4，AB=3 ，点 E、F 分别为棱AD、PC 上的点，且有（ 1）证明： EFBC；（ 2）若 = = ，求四棱锥 F-AECB 的体积20. 已知抛物线 E：y2=2 px（p 0）的焦点为 F ，倾斜角为 60的直线 l 过焦点 F 并与抛物线交于不同的两点A， B，且 AOB 的面积为（其中 O 为坐标原点）（ 1）求抛物线E 的方程；（ 2）过抛物线E 的焦点 F 作直线 l与抛物线交于C，D 两点，过C，D 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C1， D1 ，若 S=3 S，求直线l的方程21. 已知函数 f（ x） =ax2+lnx（ aR）（ 1）当 a=

9、3 时，求曲线 y=f （ x）在点（ 1， f （1）处的切线方程；（ 2）若函数f（ x）有两个零点，求实数a 的取值范围22. 在平面直角坐标系中，直线l：，（t为参数，0 ）在以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： =2cos（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B，且 |AB|= ，求 的值第4页，共 19页23. 设函数 f（ x） =|x-a|+|2x+a|（ aR）（ 1）当 a=1 时，解不等式 f （x） 4；（ 2）当 x（ -， -1时，若存在 tR，使关于 x 的不等式 f（

10、 x） t2-4t+6 有解，求实数 t 的取值范围第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：集合A=x|x- 1| 2，xZ=x|- 2x-12，x Z=x|- 1 x3，xZ=-1 ，0，1，2，3 ，B=-1 ，2 ，则 ?A B=0 ，1，3 故选：C化简集合 A，根据补集的定义写出 ?AB本题考查了集合的化 简与运算问题，是基础题2.【答案】 A【解析】解：z=1-2i，=故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数的基本概念，是基 础题3.【答案】 D【解析】解：A（1，1），B（2，3），C（-1，2），=（1，2）

11、，=（-3，-1），|=，|=，设向量与向量的夹角为 ，0， = ? ?cos =-3-2=-5，cos =- ， =135，故选：D由题意求得和的坐标，再根据两个向量的数量 积的定义和公式求得向量与向量的夹角本题主要考查两个向量的坐 标形式的运算，两个向量的数量 积的定义和公式，属于中档 题4.【答案】 D【解析】第6页，共 19页解：对于 A ，甲同学的平均成绩有一个 100105 内的数，两个 115120 内的数，没有 145 150 内的数，他的成绩低于乙同学的平均数， A 错误；对于 B，甲同学的成绩更集中些，他的成绩方差小于乙同学成 绩的方差，B 错误；对于 C，由频数分布表知甲

12、的极差可以为 140-110=40，乙的极差可以为145-110=35，所以甲的极差也可能大于乙的极差，C 错误；对于 D，甲同学的中位数在 115120，乙同学的中位数在 125130，所以甲的中位数小于乙的中位数， D 正确故选：D根据频数分布表中的数据， 对选项中的命题进行分析，判断正误即可本题考查了频数分布与 应用问题，是基础题【答案】 C5.【解析】对试给出的心理承受能力分数分别为92，82，88，91，93，解：“VR” 5 次考以此数据作 为高考心理承受能力，并 规定从中任意抽出两次成 绩，两次均为 90分以上则称为最强心理素质，基本事件 总数 n=10，该同学高考心理承受能力

13、为最强心理素质包含的基本事件个数 m=3，该同学高考心理承受能力 为最强心理素质的概率为 p= = 故选：C两次均为 90 分以上则称为最强心理素质，基本事件总数 n=10，该同学高考心理承受能力 为最强心理素质包含的基本事件个数m=3，由此能求出该同学高考心理承受能力 为最强心理素质的概率第7页，共 19页本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】 B【解析】解：角 的终边过点 P（-1，-2），cos=-，sin =-，则=，故选：B由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sin 、cos的值，再利用二倍角的正弦公式求得要求式子的值本题主要

14、考查任意角的三角函数的定 义，二倍角的正弦公式，属于基础题7.【答案】 B【解析】解：，；bac故选：B可以看出，从而可得出 a，b，c 的大小关系考查对数函数、指数函数的 单调性，增函数的定义，以及正弦函数在各象限的符号8.【答案】 D【解析】解：模拟程序的运行，可得S=1，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件 S25，执行循环体，n=3，S=5不满足条件 S25，执行循环体，n=7，S=12不满足条件 S25，执行循环体，n=15，S=27满足条件 S25，退出循环，P=log327=3输出 P的值为 3第8页，共 19页故选：D由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构

15、计算并输出变量 P的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题9.【答案】 C【解析】解：如图，在ADB 中，由余弦定理可得 DB 2=AB 2+AD 2-2AB?ADcos60 =7过 D 作 DM CB 于 M ，DM=DB?sinDBC=故选：C由余弦定理可得BD ，过 D 作 DM CB 于 M ，DM=DB?sinDBC ，即可本题考查了余弦定理及解直角三角形，属于基础题10.【答案】 A【解析】解：由三视图得俯视图中弓形 AmC 与弓形 BnC 对应几何体中的空 间部

16、分的体积之和为：半圆柱的体积去掉直三棱柱 ABC-A 1B1C1 的体积剩余的部分，俯视图中弓形 AmC 与弓形 BnC 对应几何体中的空 间部分的体 积之和为：=4-4第9页，共 19页故选：A由三视图得俯视图中弓形 AmC 与弓形 BnC 对应几何体中的空 间部分的体 积之和为：半圆柱的体积去掉直三棱柱 ABC-A 1B1C1 的体积剩余的部分，由此能求出俯 视图中弓形 AmC 与弓形 BnC 对应几何体中的空 间部分的体 积之和本题考查几何体的体 积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档 题11.【答案】 D【解析】设长方体的长和宽分别为a，b

17、，解：高为 3的长方体 ABCD-A 1B1C1D1 的外接球 O 的体积为 36，外接球 O 的半径 R=3，=3，解得a2+b2=27，ab =，当 a=b时，ab 取最大值，当点 P 到平面 ABCD 的距离为 h= ，且a=b 时，四棱锥 P-ABCD 体积取最大 值：V= 故选：D设长方体的长和宽分别为 a，b，求出外接球 O 的半径 R=3，从而a2+b2=27，当a=b 时，ab取最大值，由此求出当点 P 到平面 ABCD 的距离为 h= ，且 a=b时锥积取最大值，四棱P-ABCD 体本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线 线间、 面、面面 的位置关系等基础知识查题

18、，考 运算求解能力，是中档12.【答案】 D【解析】解：由P 在 x 轴上的投影 为 P，且有?=c，可得 P 的横坐标为 c，第10 页，共 19页 + =1，y= ，2椭圆C 在第一象限交于点 P，抛物 线 E：y=2px（p0）与P c（， ），A （-a，0），B（a，0），直线 PA 的方程为 y=（x+a），令 x=0，则 y=，M（0，），直线 BM的方程为 y=-（x-a），直线 PP的方程为 x=c，点 N（c，），N 恰为 PP的中点，2=，整理可得 a=3c，则 e= = ，故选：D先根据向量的投影可得P 的横坐 标为 c，即可出点 P 的坐 标 ，可得直线 AP 的方程

19、，可得 M 的坐标，可求出 BM 的方程，可求出点 N 的坐标，根据 BM 与PP的交点 N 恰为 PP的中点，可得 a=3c，即可求出离心率本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线方程，向量的投影，考查了运算能力和转化能力，属于难题13.【答案】 -4【解析】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：第 11 页，共 19目标函数 z=2x-y画出图形：可得点 A （-1，2），z 在点 A 处有最小值：z=-2 1-2=-4，故答案为：-4先根据约束条件画出可行域，再利用几何意 义求最值，z=2x-y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直 线在 y 轴上的截距最 值即可本题主要考 查了简单的

20、线性规划，将可行域各角点的 值一一代入，最后比 较，即可得到目 标函数的最 优解，是常用的一种方法14.【答案】【解析】解：=2sin（x+），令 f（x）=2sinx，则 f（x-）=2in（x- ）（0），依题意可得 2sin（x-）=2sin（x+），故 -=2k- （kZ），即 =-2k+ （kZ），当 k=0 时，正数 =x+，min故答案为： 则题），由令 f（x）=2sinx，f （x- ）=2in（x-），依 意可得 2sin（x-）=2sin（x+- =2k- （kZ），可得答案本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin （x+）（A0， 0）的图象，得到 -=

21、2k- （kZ）是关键，属于中档题 15.【答案】 -2e【解析】解：函数 f（x）为奇函数，当 x0 时，f （x）=e-x+，若 x 0，则 -x0，即f （-x）=ex-=-f（x），第12 页，共 19页则 f（x）=-ex+ ，x 0，则 f （x）=-ex-，则 f （1）=-e-1，f （1）=-e+1，则 f（1）+f （1）=-e-1-e+1=-2e，故答案为：-2e根据函数奇偶性的性 质求出当 x 0 时的解析式，求函数的导数计算 f （1）即可本题主要考查导数的计算以及函数解析式的求解，利用奇函数的性质进行转化是解决本 题的关键16.【答案】【解析】解：因为 l ；mx+

22、y-5-4m=0 过（5，7），所以 5m+7-5-4m=0，m=-2l：y=2x-3联立消去 y 得 5x2-12x+5=0，设 A （x1，y1），B（x2，y2）x1+x2= ，x1x2=1，|A1B1|=|x1-x2|=故答案为：先求出 m=-2，可得直线 l：y=2x-3，联立直线 l 与圆 x2+y2=4，可得A ，B 两点的横坐标之和与之 积，再根据两点之间的距离公式可得本题考查了直线与圆的位置关系，属中档 题17.【答案】 解：（ 1）正项等差数列 an 的首项 a1，公差为 d，存在唯一的实数 a1 满足 a12-a1+4=0 ，且 a2+a4=a72可得 -16=0 ，可得

23、 =4或 =-4，由 =4可得 a1=2 ； =-4 可得 a1=-2（舍去），由 2+d+2+3d=2+6d，解得 d=1，则 an=2+ n-1= n+1；第13 页，共 19页（ 2） bn=-，S=-+-+ +-= -=，n则 S2018=【解析】（1）由二次方程有两个等根的条件：判别式为 0，求得首项，设公差为 d，运用通项公式解方程可得公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn=-，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和本题考查等差数列的通 项公式，考查数列的裂 项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档 题18.【答案】 解：（ 1）由折线图中的数据及已知可得：，r 0.994

24、，即 y 与 t 的相关系数的近似值为0.994，y 与 t 的相关性很强；（2）由，得又5.07， 16.7y 关于 t 的回归方程为；（ 3）将2018 对应的 t=8代入，可得预测 2018 年该地区家庭教育支出约为10 5.8万元【解析】（1）由折线图中的数据及已知可得y 与 t 的相关系数的近似 值为 0.994，可知 y与 t 的相关性很 强；（2）由已知结合公式求得及，可得 y 关于 t 的回归方程；第14 页，共 19页（3）将2018对应的 t=8代入进年该地区家，求得 y， 一步求得 2018庭教育支出本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题19.【答案】 证明：

25、（ 1）过点 F 作 FG CB，交 PB 于点 G，连结 AG，则 = ， ，AD =BC， AE=FG，AEBC， AEFG ，四边形 AEFG 为平行四边形，AGEF，PA底面 ABCD ， PACB，又 ABCD 是正方形， CBAB，PAAB=A， CB平面 PAB，AG? 平面 PAB， CBAG，EF CB解：（ 2）当时，由 AB=AD=3 ，得 AE = ，S 梯形 AECB=，作 FM PA，交 AC 于点 M，PA底面 ABCD ， FM底面 ABCD ，= ，FM =，= VF-AECB【解析】（1）过点 F 作 FGCB ，交PB 于点 G，连结 AG ，推导出四边形

26、 AEFG 为平行四边形，从而 AG EF，推导出 PACB，CBAB ，从而CB平面 PAB，进而CBAG ，由此能证明 EFCB2）当时，求出 S梯形 AECB =则（，作FM PA ，交AC 于点 M ，FM 底面 ABCD ，从而V F-AECB =，由此能求出四棱锥 F-AECB的体积第15 页，共 19页本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档 题20.【答案】 解：（ 1）抛物线的焦点F （ ，0）， 直线 AB 的方程为y=（ x- ）联立方程组22，消元得： y -py-p =0 ，设 A（x

27、1 ， y1），（ x2， y2）， y1+y2= p，y1y2=-p2，|y12=-y |=SAOB=12=2|OF |?|y-y |= p =解得 p= ，抛物线 E 的方程为y2=3x（ 2）当直线l的斜率不存在时，此时四边形CDD 1C1 的面积为S= 3= ，D1C1F 的面积 S= 3= ，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k（ x- ）， k0，联立方程组，消 y 可得 k2x2-（ k2+3）x+k2=0，=9+9k2 0，D （ x3， y3）， C（ x4， y4），x3+x4= + ，四边形 CDD 1C1 的面积为S= ?（ x3+x4+ ） |

28、D1C1|， D 1C1F 的面积 S= |D 1C1| ，S=3S，x3+x4+ = ，x3+x4=3 ， + =3，解得 k= 直线 l的方程为 y= （ x- ），即 y=x-或 y=-x+【解析】第16 页，共 19页（1）写出直线 AB 的方程，联立方程组，根据三角形的面积公式即可求出 p 的值，（2） 当直线 l 的斜率不存在 时，此时不满足题意，当直线 l 的斜率存在 时，设直线l 的方程为y=k（x-韦结合 S=3S，即可），利用 达定理，求出+=3，解得即可本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及三角形四边形的面积的应用，考查转化思想，属于中档题21.

29、【答案】 解：（ 1）函数 f （x） =ax2+lnx 的导数为 f（ x） =2ax+ ，a=3 时，可得f（ x） =3 x2+lnx，导数 f （ x） =6x+ ，即有切线的斜率为k=7 ，切点为（ 1，3），切线方程为y-3=7 （ x-1），即 y=7x-4；（ 2） f（ x）的导数为f（ x）=2 ax+ =，x0，若 a0，则 f（ x） 0， f（ x）在 x0 递增，即有f（ x）没有两个零点；若 a 0，f （ x） =0 解得 x=，可得 x（ 0，）， f（ x） 0， f（ x）递增；在x（，+）， f （ x） 0， f（ x）递减，f （x）在 x=处取得极

30、大值，且为最大值- +ln= （ ln（ -） -1），由 x 0， x0， f（ x） 0，当 x 1 时，（ x-ln x） =1- 0，即有 x-ln x 1，即 x lnx，当 x+时， f（x） =ax2+lnx ax2+x 0，要使函数 f （ x）有两个零点，只需满足条件：f（） 0，即有 ln（ - ） -1 0，可得 - e，由 a0，可得 -a 0，则 a 的范围是（ -， 0）【解析】（1）求得f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；第17 页，共 19页（2）求得f （x）的导数，讨论 a0，a0，判断 f（x）的单调性和极值、最值，结合题意，可令最大值大于 0，解不等式即可得到所求范 围 本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和转化思想，考查方程思想和运算能力，属于中档 题22.【答案】 解：（1） 直线l：，（为参数， ）t0 当时，直线l： x=0，当时，直线l： y=tan ?x+1，直线l的普通方程为x=0或y=tanx+10 ?（或）2 cos，曲线 C： =2cos，=2曲线 C 的直角坐标方程为22x+