2018-2019学年湖南省娄底市高二(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年湖南省娄底市高二（上）期中数学试卷 （理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.ABC中，角A BC所对边的边长分别为a b c=ABC一定是（）， ，若，则 A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形2.ABC中，如果（a+b+c）（b+c-a）=3bc，那么角A=）在 （A.30B. 60C. 120 2D.150 3.）等差数列 an 中， a2+a5+a8=12，那么关于 x 的方程 x +（a4+a6）x+10=0 （A. 无实根B. 有两个相等实根C. 有两个不等实根D. 不能确定有无实根4.

2、若ab0 cd0） ， ，则一定有（A.B. C. D.5. 关于 x 的不等式 ax2+bx+2 0 的解集为 x|-1 x 2 ，则关于 x 的不等式 bx2-ax-2 0的解集为（）A. x|-2x 1B. x|x 2 或 x-1C. x|x-1或 1D. x|x1或x-2x6.已知 a，b，c 分别是 ABC 的内角 A，B，C 的对边， 若 ABC 的周长为2（+1），且 sinB+sin C=sinA，则 a=（）A.B. 2C. 4D. 27.已知数列 an 中，且 an 单调递增， 则 k 的取值范围是 （）A. （ -， 2B. （ -， 3）C. （ -， 2）D. （ -

3、， 38.已知等差数列 annnn，则 n=（） 前 n 项和为S ，S4 =40， S =210，S -4 =130A. 12B. 14C. 16*D. 189.等比数列 an 是递增数列， 其前 n 项的积为T（ nN），若 T=4T则 a ?a=（）98n1315A.2B. 2C.4D. 410.若直线上存在点满足约束条件，则实数 m 的最大值为A.B. 1C.D. 211.若lg（3x+lg y=lg（x+y+1），则xy的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.已知两定点A-20B1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|P的（， ），（，则点轨迹所包围的图形的面积等

4、于（）A. B. 4C. 8D. 9第1页，共 13页二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 命题“若 A? l，则 Bm”的逆否命题是 _ 14.在 ABC 中， A=120 ， AB=5 ， BC=，则 AC 的值为 _ 15. “嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面 210km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是_ 秒1+ =1，M是直线l上的一个动点过点M作x轴和y轴的垂线垂足16. 已知直线 ：分别为 A，B，点 P 是线段 AB 的靠近点

5、A 的一个三等分点， 点 P 的轨迹方程为 _三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17. 在 ABC 中， A=60 ， c= a（ 1）求 sinC 的值；（ 2）若 a=7，求 ABC 的面积18. 设命题 p：实数 x 满足 x2-4ax+3a20，其中 a 0；命题 q：实数 x 满足（ 1）若 a=1，且 pq 为真，求实数x 的取值范围（ 2）若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围19. 已知等差数列 an 满足 a3=2，前 3 项和 S3= （ ）求 an 的通项公式；（ ）设等比数列 bn 满足 b1=a1，b4=a15，求 bn 前 n 项和

6、Tn20.设不等式mx2-2x-m+1 0 对于满足 |m| 2的一切 m 的值都成立，求x 的取值范围第2页，共 13页21. 某厂有一批长为 18m 的条形钢板， 可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件， 它们的加工费分别为每个 1 元和 0.6 元，售价分别为20 元和 15 元，总加工费要求不超过8 元，问如何下料能获得最大利润22. 已知 F 1，F 2 分别是椭圆C：=1（ a b 0）的左，右焦点， D，E 分别是椭圆C 的上顶点和右顶点，且S=，离心率 e=（ ）求椭圆C 的方程；（ ）设经过F 2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，求的最小值第3页，共 13

7、页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：根据正弦定理：=化简已知等式得：=，即 tanA=tanB，由 A 和 B 都为三角形的内角，得到 A=B ，则 ABC 一定为等腰三角形故选：A把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数 间的基本关系得到tanA 与 tanB 相等，根据 A 和 B 都为三角形的内角，得到 A 与 B 相等，根据等角对等边得到 a=b，即三角形 ABC 为等腰三角形此题考查了三角函数中的恒等 变换应用，以及正弦定理学生做题时注意角度 A 和 B 都为三角形的内角 这个条件2.【答案】 B【解析】解：（a+b+c）（b+c-a）=3bc，22（b+c）-a =3b

8、c，b2+c2-a2=bc，b2+c2-a2=2bccosA，2cosA=1，cosA=，又A （0，180 ），A=60 故选：B由（a+b+c）（b+c-a）=3bc，可得 b2+c2-a2=bc，利用余弦定理即可求得角 A 本题考查余弦定理，求得 b2+c2-a2=bc 是关键，考查整体代入的思想，属于基础题3.【答案】 C【解析】第4页，共 13页解：等差数列a n 中，a2+a5+a8=12=3a5，解得 a5=4那么关于 x 的方程 x2+（a4+a6）x+10=0 化为：x2+8x+10=0，=82-4 10 0方程有两个不等 实数根故选：C等差数列 a n 中，a2+a5+a8

9、=12=3a5，解得 a5那么关于 x 的方程 x2+（a4+a6）x+10=0 化为：x2+8x+10=0，利用即可判断出 结论 本题考查了等差数列的通 项公式及其性 质、一元二次方程的实数根的判定，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题4.【答案】 D【解析】解：由于：cd0，则：，又：ab0，所以：-a-b0，故：，所以：，故选：D直接利用不等式的基本性质求出结果本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型5.【答案】 D【解析】解：根据题意，关于 x 的不等式 ax2+bx+20 的解集为 x|-1 x2 ，则 a0，且-1 和 2 是方程

10、ax2+bx+2=0 的两实数根，则有，解可得：a=-1，b=1；则不等式 bx2-ax+20 即为 x2+x-20，第5页，共 13页解得 x-2 或 x1，即不等式 ax2+bx+20的解集是x|x-2或x1；故选 D： 根据题意，利用一元二次不等式的解集可知方程ax2+bx+2=0 的解是 2 和-1，进而利用根与系数的关系求得a、b 的值，据此可得不等式 bx2-ax+20 即为x2+x-20，解可得答案本题考查一元二次不等式的解法，关 键是分析 a、b 的值，属于基础题 6.【答案】 B【解析】解：已知 ABC 的周长为 2（+1），且sinB+sinC=sinA ，b+c=a，b+

11、c+a=a+a=2（+1），解得：a=2故选：B利用正弦定理可得b+c=a，结合三角形的周 长即可计算得解 a 的值本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于属于基础题7.【答案】 B【解析】解：数列 an中，且单调递增a n0*22对*an+1-an对于 nN恒成立即（n+1）于 nN-k（n+1）-（n -kn）=2n+1-k0恒成立*k2n+1 对于 nN 恒成立，即 k3该题需注意变量 n 的特殊性，根据函数的 单调性可得 an+1-an0 对于 nN* 恒成立，建立关系式，解之即可求出 k 的取值范围本题主要考查了数列的性 质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意 n 的

12、取值是解题的关键，属于易错题 8.【答案】 B【解析】第6页，共 13页解：因为 S4=40，所以 a1+a2+a3+a4=40，因为 Sn-Sn-4=80，所以 an+an-1+an-2+an-3=80，所以根据等差数列的性 质可得：4（a1+an）=120，即a1+an=30由等差数列的前n 项和的公式可得：，并且 Sn=210，所以解得 n=14故选：B由题意可得 a1+a2+a3+a4=40，并且 an+an-1+an-2+an-3=80，结合等差数列的性 质可得 a1+an=30，进而利用等差数列的前n 项和公式可得答案解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性 质，以及等差数列的

13、前 n项和的公式9.【答案】 A【解析】解：等比数列a n 是递增数列，其前 n 项的积为 Tn（nN* ），若T13=4T9 ，设公比为 q，则由题意可得 q 1，且an 0aa a =4a a a， a a a =4a1 2131 2910 11 12 13又由等比数列的性质可得 a ?a，a ?a8 15=a10a13=a11a128 15=2故选：A由题意可得 q1，且 a0，由条件可得 a a简 a，化 得n1a213=4a1a29a10a11a12a13=4，再由 a ?a=a a =a a，求得 a ?a的值81510 1311 12815本 题主要考 查等比数列的定 义和性 质

14、，求得 a10a11a12a13=4，是解题的关键 10.【答案】 B【解析】第7页，共 13页题，可求得交点解：由 意，坐标为（1，2）要使直线y=2x满约上存在点（x，y） 足束条件图，如 所示可得 m1实数 m 的最大值为 1故选：B根据，确定交点坐标为线满（1，2）要使直y=2x上存在点（x，y） 足约束条件，则 m1，由此可得结论 本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基 础题11.【答案】 A【解析】解：lg（3x）+lgy=lg （x+y+1），lg（3xy）=lg（x+y+1），且x0，y0则 3xy=x+y+1 ，3xy=x+y+1 2，解得，即xy 1即xy

15、的最小值为 1故选：A根据对数的运算法 则得到 3xy=x+y+1 ，然后利用基本不等式 进行求解即可本题主要考查对数的基本运算，以及基本不等式的 应用，考查学生的运算能力12.【答案】 B【解析】解：已知两定点 A （-2，0），B（1，0），如果动点 P 满足|PA|=2|PB|，设 P 点的坐标为（x，y），2222，即（x-222=4，则（x+2）+y =4（x-1）+y）+y所以点的轨为圆心，2为半径的圆，迹是以（2，0）所以点 P的轨迹所包 围的图形的面积等于 4，第8页，共 13页故选：B设 P 点的坐标为（x，y），用坐标表示 |PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，

16、整理即得点 P 的轨迹方程，然后根据轨迹确定面 积考查两点间距离公式及 圆的性质是训练基础知识的好题13.【答案】 若 B?m，则 Al【解析】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命 题的逆否命题命题“若 A?l，则 Bm”的逆否命 题是若 B? m，则 A l，故答案为：若B? m，则 A l直接利用四种命 题是逆否关系写出 结果即可本题考查四种命题的逆否关系，基本知 识的考查14.【答案】 2【解析】解：由余弦定理可知 cosA=-，解得 AC=2 ，或-7（舍去）故答案为：2利用余弦定理可得关于AC 的方程，求得 AC 即可本题主要考查了余弦定理的 应用属基础题 15

17、.【答案】 14【解析】解：设每一秒钟通过的路程依次 为 a1，a2，a3， ，an，则数列 a n 是首项 a1=2，公差 d=2 的等差数列，由求和公式有na1+=240，即2n+n（n-1）=210，解得 n=14，故答案为：14设出每一秒 钟的路程为一数列，由题意可知此数列 为等差数列，然后根据等差数列的前 n 项和的公式表示出离地面的高度， 让高度等于 210 列出关于 n第9页，共 13页的方程，求出方程的解即可得到n 的值此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式解决 实际问题 ，是一道灵活应用题16.【答案】 3x+8y-8=0【解析】解：设 P（x，y），M （m，n），

18、则 A （m，0），B（0，n），=（x-m，y），=（-x，n-y），由题意可得：=，得 2（x-m，y）=（-x ，n-y），得，代入直线 1： +=1，得，即 3x+8y-8=0故答案为：3x+8y-8=0 设出 P与 M 的坐标，由题意可得，把M 的坐标用 P 的坐标表示，然后代入直 线方程得答案本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生分析解决 问题的能力，确定 M 的坐标是关键，是中档题17.【答案】 解：（ 1） A=60 ， c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= =，（ 2） a=7，则 c=3，C A，22sin C+cos C=1，又由（ 1）可得 cosC=，

19、sinB=sin （A+C） =sinAcosC+cosAsinC= + =，SABC= acsinB= 73=6【解析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出 cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，第10 页，共 13页根据面积公式计算即可本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题18.【答案】 解：由 x2-4ax+3a2 0 得（ x-a）（ x-3a） 0，其中 a 0，得 a x 3a， a 0，则 p： ax 3a， a 0由解得 2 x3即 q： 2x3（ 1）若 a=1，则 p： 1 x 3，若 pq 为真，则 p， q

20、同时为真，即，解得 2 x3，实数 x 的取值范围（2， 3）（ 2）若 p 是 q 的充分不必要条件，即q 是 p 的充分不必要条件，即，解得 1 a2【解析】（1）若a=1，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）利用p 是 q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求 实数 a 的取值范围本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命 题的等价性将p 是 q 的充分不必要条件， 转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键19.【答案】 解：（ I）设等差数列 an 的公差为 d， a3=2，前 3 项和 S3= a

21、1+2d=2， 3a1+3d= ，解得 a1=1， d= an=1+ （ n-1） =3（ II ）b1=a1=1， b4=a15=8 ，可得等比数列 bn 的公比 q 满足 q =8，解得 q=2【解析】（I）设等差数列 a n 的公差为 d，由 a3=2，前3 项和 S3=可得 a1+2d=2，第11 页，共 13页3a1+3d=，解得 a1，d即可得出（II ）b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列 b n 的公比 q 满足 q3=8，解得q利用求和公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】 解：令 f（ m

22、）=m（x2-1） -2x+1，由条件 f（m） 0 对满足 |m| 2的一切 m的值都成立，则需要 f（ -2） 0， f（ 2） 0解不等式组，解得，x 的取值范围是【解析】令 f（m）=m（x2-1）-2x+1，由条件 f （m）0 对满足 |m| 2的一切 m 的值都成立，利用一次函数的 单调性可得：f（-2）0，f（2）0解出即可本题考查了一次函数的 单调性、一元二次不等式的解法，考 查了转化方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题21.【答案】 解：设割成的1.8m 和 1.5m长的零件分别为x 个、y 个，利润为 z 元，则 z=20x+15y-（x+0.6y）即 z=19x+14.4y且作出不等式组表示的平面区域如图：由，解得：M（， ）