【最新】北京市2021-2022年高三高考（二模）数学【理】试题及答案

1、高三年级第二次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分一填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合，则_2抛物线的焦点到准线的距离是_3若，其中、，是虚数单位，则_4已知函数，若，且，则的取值范围是_5设等差数列满足，的前项和的最大值为，则=_6若（），且，则 _7. 已知对任意，向量都是直线的方向向量，设数列的前项和为，若，则_8已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集

2、为9. 已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是_10. 随机变量的分布律如下表所示，其中，成等差数列，若，则的值是_11现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张则不同取法的种数为_12.在平面直角坐标系中，点和点满足按此规则由点得到点，称为直角坐标平面的一个“点变换”在此变换下，若，向量与的夹角为，其中为坐标原点，则的值为_13. 设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_14把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的

3、数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则_二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在中，“”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数），则实数的取值范围是（ ）ABCD17极坐标方程（）表示的图形是（ ）A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线18在四棱锥中，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）ABCD三解答题（本大题共有5

4、题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在中，已知，外接圆半径（1）求角的大小；（2）若角，求面积的大小. 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，四棱锥的底面为菱形，平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值EPACDB21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关

5、的参数，且若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作（1）令，求的取值范围；（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且（1）求证：是等边三角形；（2）若过、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由23.

6、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列中，的前项和为，且满足（）（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：；（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立数学试卷（理）参考答案与评分标准一填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1或 23456 7 89 10 1112 1314二选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15B 16D 17C 18C三解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分（1）由题意，因为，所以，故，（2

7、分）解得（舍），或 （5分）所以， （6分）（2）由正弦定理，得，所以 （2分）因为，由，得， （4分）又，所以的面积 （6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分EPACDB（1）连结，由已知得与都是正三角形，所以， （1分）因为，所以，（2分）又平面，所以，（4分）因为，所以平面（6分）（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由（1）知平面的一个法向量为，又，所以，（2分）EPACDBzxy设平面的一个法向量为，由得取，则，故， （4分）设与的夹角为，则（7分）所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为（8分）（2）解法二（图略）

8、在平面上，过作且，连结，则四边形是平行四边形，即直线是平面与平面的交线（2分）因为，所以平面，故，所以，又，所以就是平面与平面所成二面角的平面角 （5分）在中，（6分） （7分）所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为（8分）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（1）当时，； （2分）当时，因为，所以， （4分）即的取值范围是 （5分）（2）当时，由（1），令，则， （1分）所以（3分）于是，在时是关于的减函数，在时是增函数，因为，由，所以，当时，； 当时，即（6分）由，解得 （8分）所以，当时，综合污染指数不超标 （9分）22. （本题满分16分）本

9、题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（1）设（），由，故，因为，所以， （1分），故，（2分）又，故由得，所以，（3分）所以，即是等边三角形（4分）（2）由（1）知，故，此时，点的坐标为，（1分）又是直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为，（3分）所以， （5分）所求椭圆的方程为 （6分）（3）由（2）得，因为直线过且不与坐标轴垂直，故可设直线的方程为：， （1分）由得， （2分）设，则有，（3分）由题意，故直线的方向向量为，所以直线的方程为， （4分）令，得（5分）即直线与轴交于定点所以，存在点，使得、三点共线 （6分）（注：若设，由、三点共线，得，得）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（1）由（），得（），所以（）， 即（） （2分）又，所以 （4分）（2），（2分）所以