第六章1弯曲变形[教育研究]

1、弯弯 曲曲 变变 形形 第第 六六 章章 1章节课堂 6 62 2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 6 64 4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 6 66 6 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6 65 5 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 6 61 1 概述概述 6 63 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 2章节课堂 一，基本概念一，基本概念 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴轴 ， 横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为 y 轴轴 ， x y 平面为纵向对称平面平面为纵向对称平

2、面 6 61 1 概概 述述 B x y A 3章节课堂 C y AB x 挠度挠度（ y）: 横截面形心横截面形心 C (即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴方向轴方向 的线位移，称为该截面的挠度。的线位移，称为该截面的挠度。 y挠度挠度 度量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量 C 4章节课堂 C y AB x C y挠度挠度 转角转角（ ） ：横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的称为该截面的 转角。转角。 转角转角 5章节课堂 挠曲线挠曲线 ：梁变形后的轴线：梁变形后的轴线 称为挠曲线称为挠曲线 。 挠曲线方程为

3、挠曲线方程为)(xfy 式中式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。为该点的挠度。 C y AB x C y挠度挠度 转角转角 挠曲线挠曲线 6章节课堂 )( xfytg 挠度与转角的关系：挠度与转角的关系： C y AB x C y挠度挠度 转角转角 挠曲线挠曲线 7章节课堂 挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定 挠度：向上为正，向下为负。挠度：向上为正，向下为负。 转角：转角：自自 x 转至转至 切线方向切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。逆时针转为正，顺时针转为负。 C y AB x C y挠度挠度 转角转角 挠曲线挠曲线 8章节

4、课堂 6-26-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 EI M 1 )( )( 1 EI xM x 横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是 x 的函数的函数 。略去剪力对梁的位移。略去剪力对梁的位移 的影响的影响, 则则 推导公式推导公式 纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为 9章节课堂 2 3 2 )1( | | )( 1 y y x 由几何关系知由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作 )( EI xM 2 3 2 )1( | | y y 10章节课堂 M M o x y M M 0y M0 M0 0y 在规定的坐标系中在规定的坐标系中, x 轴水平

5、向右轴水平向右 为正为正, y 轴竖直向上为正。轴竖直向上为正。 曲线向上凸曲线向上凸 时时 : y“ 0 , M 0 , M 0 o x 因此因此, M 与与 y 的正负号相同的正负号相同 11章节课堂 EI xM y y)( )1 ( 2 3 2 EI xM y )( 此式称为此式称为 近似原因近似原因 : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响 ; (2) 略去了略去了 y2 项。项。 2 y 与与 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为故上式可近似为 12章节课堂 再积分一次再积分一次, 得挠度方程得挠度方程 上式积分一次得转角方程上式积分一次得转

6、角方程 若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成 )(xMyEI 1 )(CdxxMEIy 21 )(CxCdxdxxMEIy 13章节课堂 6 63 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 挠度方程：挠度方程： 转角方程：转角方程： 1 )(CdxxMEIy 21 )(CxCdxdxxMEIy 式中：积分常数式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的 边界条件边界条件 和和 变形变形 连续性条件连续性条件 来确定。来确定。 14章节课堂 AB AB 在简支梁中，在简支梁中， 左右两铰支座处的左右两铰支座处的 挠

7、度挠度 yA 和和 yB 都应等于零。都应等于零。 在悬臂梁在悬臂梁 中，固定端处的挠度中，固定端处的挠度 y 和转角和转角 A都应等于零。都应等于零。 边界条件边界条件 yA= 0 yB = 0 yA= 0 A= 0 15章节课堂 连续性条件连续性条件 AB AB 在挠曲线的任一点上，在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。有唯一的挠度和转角。 16章节课堂 例题例题 ： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁, 在自由端受一在自由端受一 集中力集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其并确定其 最大挠度最大挠度 fmax 和最大

8、转角和最大转角 max . l ABx y P P 17章节课堂 l ABx y P P (1) )()(xlPxM 弯矩方程为弯矩方程为 解：解： 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为 (2) )( PxPlxMEIy x )(xMyEI 18章节课堂 (3) 2 1 2 C Px PlxEIy 对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分 )( PxPlxMEIy l ABx y P P x)4( 62 21 32 C x C PxPlx EIy 19章节课堂 0,0 0,0 yx yx 边界条件为边界条件为 : C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0 将边界条件代

9、入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)两式中两式中, , 可得可得 l ABx y P P x (4) 62 (3) 2 21 32 1 2 CxC PxPlx EIy C Px PlxEIy 20章节课堂 C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0 l ABx y P P x (4) 62 (3) 2 21 32 1 2 CxC PxPlx EIy C Px PlxEIy 21章节课堂 EI Px EI Plx y 62 32 梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为 EI Px EI Plx y 2 2 l ABx y P P x 22章节课堂 l ABx y P

10、 P max max 及 及 f fmax max 都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处 f max EI Pl EI Pl EI Pl lx 22 | 222 max （ ） max （ ） EI Pl yf lx 3 | 3 max 23章节课堂 例题例题： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁, 在全梁上受集度为在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 fmax 和最大转角和最大转角 max . l A B q 24章节课堂 2 ql RR BA 解解:

11、由对称性可知，梁的两个支反力为由对称性可知，梁的两个支反力为 l A B q RA RB 25章节课堂 梁的梁的 弯矩方程弯矩方程 及及 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 分别为分别为 )( 22 1 2 )( 22 xlx q qxx ql xM x )( 2 )( 2 xlx q xMEIy l A B q RA RB 26章节课堂 xlx q xMEIy)( 2 )( 2 (c) C xlx q EIy 1 32 ) 32 ( 2 (d) C x C xlx q EIy 21 43 ) 126 ( 2 边界条件为边界条件为 : ,0 x0y , lx 0y l A B q RA RB 27章

12、节课堂 将边界条件代入将边界条件代入 (c) , (d) 两式得两式得 0 2 C 24 3 1 ql C 梁的转角方程和挠梁的转角方程和挠度度方程分别为方程分别为 )2( 24 )46( 24 323 323 xlxl EI qx y xlxl EI q y 28章节课堂 l A B q RA RB A B 在在 x = 0 和和 x = l 处转角的处转角的 绝对值相等且都是绝对值相等且都是 最大值，最大值， max A BEI ql 24 3 )2( 24 )46( 24 323 323 xlxl EI qx y xlxl EI q y B 29章节课堂 EI ql yf l x 384

13、 5 4 2 max 在在梁跨中点梁跨中点 l /2 处处有有 最大挠度值最大挠度值 f max l A B q RA RB 30章节课堂 例题例题 ： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁, 在在 D点处受一集中点处受一集中 力力 P 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。挠度和最大转角。 A B P D a b l 31章节课堂 A B P D a b l l b PRA l a PRB 解解: 梁的两个支反力为梁的两个支反力为 12 RA RB 32章节课堂 )0( 1 axx l b P

14、xRM A 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为 )()( 2 lxaaxPx l b PM x x A B P D a b l 12 RA RB 33章节课堂 两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 x l b P M EIy 1 1 C x l b PEIy 1 2 1 2 D x C x l b PEIy 11 3 1 6 )( 22 axPx l b PyEIy C axP x l b PEIy 2 2 2 2 2 )( 2 D x C axP x l b PEIy 22 3 3 2 6 )( 6 12 挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 ( 0

15、 x a)( a x ) l 34章节课堂 D点的连续条件：点的连续条件： 在在 x = a 处处 21 yy yy 21 边界条件边界条件 在在处，处， 在在 X = 0 处，处， 0 1 y lx 0 2 y A B P D a b l 12 RA RB 35章节课堂 代入方程可解得代入方程可解得: 0 21 D D )( 6 22 21lb l Pb CC 两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 x l b P M EIy 1 1 C x l b PEIy 1 2 1 2 D x C x l b PEIy 11 3 1 6 )( 22 axPx l b PyEIy C axP

16、x l b PEIy 2 2 2 2 2 )( 2 D x C axP x l b PEIy 22 3 3 2 6 )( 6 12 挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 ( 0 x a)( a x ) l 36章节课堂 ) 3 ( 6 222 1 1lbx lEI Pb y 1 )(ax 0 x lbx lEI Pbx y)( 6 2 2 1 2 2)(lxa )( 3 1 )( 2 222 2 2 2blx ax b l lEI Pb y x blx ax b l lEI Pb y)()( 6 223 3 2 37章节课堂 lEI blPab xA 6 )( | 01 将

17、将 x = 0 和和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 lEI alPab B 6 )( max 当当 a b 时时, 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大 lEI alPab lxB 6 )( | 2 38章节课堂 3 2 3 22 1 )(baabl x 简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在0y 处处 0 1 y先研究第一段梁，令先研究第一段梁，令得得 0 3 6 222 1 lbx lEI Pb y 39章节课堂 3 2 3 22 1 )(baabl x EI Pbl .bl lEI Pb y|f xx

18、2 322 max 06420)( 39 1 当当 a b时，时，x1a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中 40章节课堂 EI Pbl bl EI Pb fC 2 22 0625.0)43( 48 梁中点梁中点 C 处的挠度为处的挠度为 EI Pbl .bl lEI Pb y|f xx 2 322 max 06420)( 39 1 结论结论: 在简支梁中在简支梁中, 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上只要挠曲线上 无无 拐点拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的其精确度是能

19、满足工程要求的. 41章节课堂 对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含 前一段梁的弯矩方程。只增加了（前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。）的项。 对（对（x-a）的项作积分时，应该将（）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分）项作为积分 变量。从而简化了确定积分常数的工作。变量。从而简化了确定积分常数的工作。 积分法的原则积分法的原则 42章节课堂 6-4 6-4 叠加法求梁变形叠加法求梁变形 梁的刚度校核梁的刚度校核 ：梁的变

20、形微小，梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时，且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时集中力偶或分布力）同时 作用下的挠度和转角，作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下就分别等于每一荷载单独作用下 该截面的挠度和转角的叠加。该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的当每一项荷载所引起的 （如均沿（如均沿 y 轴方向轴方向 ), 其其 ( 如均在如均在 xy 平面内平面内 ) 时时,则则。 这就是叠加原理。这就是叠加原理。 一，一，叠加法求梁变形叠加法求梁变形 43章节课堂 例题例题：一抗弯刚度为一抗弯刚度为

21、 EI 的简支梁受荷载如的简支梁受荷载如 图图 a 所示。所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度 fC 和支座处横截面的和支座处横截面的 转角转角 A , B 。 。 A A B B m l C C (a)(a) q 44章节课堂 解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单 的荷载，如图。的荷载，如图。b,c b,c 所示所示 A A B B m l C C (a)(a) q A A C C (b)(b) B B q m(C)(C) A A B B C C 45章节课堂 fff CmCqC AmAqA BmBqB )( 16384 5 2 4 EI ml E

22、I ql EI ml EI ql 324 3 ( ) EI ml EI ql 624 3 ( ) f cq f cm Aq Am Bm A A B B m l C C (a)(a) q A A C C (b)(b) B B q Bq m(C)(C) A A B B C C 46章节课堂 例题例题: : 试试利用叠加法，利用叠加法， 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨的简支梁跨 中点的挠度中点的挠度 fC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A , B 。 l 2 l A BC C q 47章节课堂 解：解： 该梁上荷载可视该梁上荷载可视 为为 正对称荷载正对称荷载 与与 反称反称

23、 对荷载对荷载 两种情况的叠加。两种情况的叠加。 l 2 l A BC C q 2 q C A B 2 q 2 q C A B 48章节课堂 EI ql EI lq fC 768 5 384 )2(5 44 1 （1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下 EI ql EI lq BA 4824 ) 2( 33 11 2 q C A B 49章节课堂 （2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 可将可将 AC 段和段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度段分别视为受均布线荷载作用且长度 为为 在跨中在跨中C截面处，截面处，但，但 且该截面的且该截面的 2 q 2 q C A B 50章节课堂 E

24、I lq BA 24 ) 2 ( ) 2 ( 3 22 0 2 f C EI ql 384 3 2 q 2 q C A B C C A A B B 2 q 2 q 51章节课堂 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, 即得即得 EI ql EI ql EI ql BBB 384 7 38448 333 21 )( 768 5 4 21 EI ql fff CCC EI ql EI ql EI ql QQQ AAA 128 3 38448 333 21 52章节课堂 例题例题：一抗弯刚度为：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, 试按叠加原理并利用附表试按叠加原理

25、并利用附表, 求截面求截面 B 的转角的转角 B 以及以及 A 端和端和 BC 中点中点 D 的挠度的挠度 f A 和和 fD 。 。 A A B B C C D D a a a a 2a2a 2q2q q q 53章节课堂 解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成两段，将截面截成两段，将ABAB 段看成段看成 B B 截面截面 固定的固定的悬臂梁悬臂梁，BCBC 段看成段看成 简支梁简支梁。 A A B B C C D D a a a a 2a2a 2q2q q q 54章节课堂 2q2q A A B B B B 截面两侧的相互作用截面两侧的相互作用 力为：力为： qa MB 2 2q

26、a2qa qa MB 2 2qa2qa 2qa2qa qa MB 2 B B C C D D q q A A B B C C D D a a a a 2a2a 2q2q q q 55章节课堂 就是外伸梁就是外伸梁 ACAC 的的 B B ， ，f fD D 2qa2qa qa MB 2 B B C C D D q q 简支梁简支梁 BCBC 的受力情况的受力情况 与外伸梁与外伸梁 AC AC 的的 BCBC 段的段的 受力情况相同受力情况相同 由简支梁由简支梁 BC BC 求得的求得的 B B ， ，f fD D A A B B C C D D a a a a 2a2a 2q2q q q 56

27、章节课堂 2qa2qa qa MB 2 B B C C D D q q简支梁简支梁 BCBC 的变形就是的变形就是 M MB B 和均布荷载 和均布荷载 q q 分别分别 引起变形的叠加。引起变形的叠加。 (1)(1)求求 B B ， ，f fD D f Dq Bq f MB D MB B q q B B C C D D B B C C D D qa MB 2 57章节课堂 EI qa EI ql Bq 324 33 EI qa EI l MB BMB 3 2 3 3 EI qa EI ql f Dq 24 5 384 5 44 EI qa EI lM f B DMB 416 4 2 2qa2

28、qa qa MB 2 B B C C D D q q f Dq Bq f MB D MB B q q B B C C D D B B C C D D qa MB 2 58章节课堂 EI qa MBBBqB 3 3 EI qa fff MBDDqD 24 4 由叠加原理得由叠加原理得 2qa2qa qa MB 2 B B C C D D q q f Dq Bq f MB D MB B q q B B C C D D B B C C D D qa MB 2 59章节课堂 2q2q A A B B (2) (2) 求求 f fA A 由于简支梁上由于简支梁上 B B 截面的转动，代动截面的转动，代动

29、 AB AB 段一起作刚体运段一起作刚体运 动，使动，使 A A 端产生挠度端产生挠度 f f1 1 悬臂梁悬臂梁 AB AB 本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使 A A 端产生挠度端产生挠度 f f2 2 f 2 f 1 qa MB 2 2qa2qa 2qa2qa qa MB 2 A A B B C C D D q q B A A B B C C D D q q B 60章节课堂 fafff B A221 EI a q f 8 )2( 2 2 EI qa EI qa EI qa f A 12 7 43 444 因此，因此，A A 端的总挠度应为端的总挠度应为 由附录由附录 1V 1V 查得

30、查得 2q2q A A B B f 2 f 1 qa MB 2 2qa2qa 2qa2qa qa MB 2 A A B B C C D D q q A A B B C C D D q q B B 61章节课堂 例例 题题：用叠加法求梁中点处的挠度。设：用叠加法求梁中点处的挠度。设 b l / 2 。 A C B b l 2l q 62章节课堂 解：将均布荷载看作许多微集中力解：将均布荷载看作许多微集中力 dP 组成组成 dx xl EI xq xl EI xdP df C ) 43 ( 48 ) 43 ( 48 2222 A C B b l 2l q x dx dP=qdx dP = q dx

31、 63章节课堂 ) 2 3 ( 48 ) 43 ( 48 22 2 22 0 bl EI b q xl x EI q f b C A C B b l 2l q x dx dP=qdx 64章节课堂 max 梁的刚度条件可表示为梁的刚度条件可表示为 max yy 二，梁的刚度校核二，梁的刚度校核 65章节课堂 一一. 基本概念基本概念 P AB AB C P 超静定梁超静定梁 6-5 6-5 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全 部支反力的梁部支反力的梁 , 称为超静定梁称为超静定梁 “多余多余”约束约束 多于维持其静力平衡所必需多于维持其静

32、力平衡所必需 的的约束约束 66章节课堂 超静定次数超静定次数 “多余多余”反力反力 与与“多余多余”约束约束相应的支座反力相应的支座反力 超静定梁的超静定梁的“多余多余”约束的约束的 数目就等于其超静定次数。数目就等于其超静定次数。 P AB AB C P RCRB 67章节课堂 A B q l (a) 二二 ，求解超静定梁的步骤，求解超静定梁的步骤 图示为抗弯刚度为图示为抗弯刚度为 EI 的一次的一次 超静定梁。超静定梁。 （1）解除多余约束，代之以）解除多余约束，代之以 约束反力。得到原超静定梁约束反力。得到原超静定梁 的的 。 q A B (b) RB 68章节课堂 0 f B 图（图

33、（b）为）为 （2）超静定梁在多余约束处）超静定梁在多余约束处 的约束条件，就是原超静定的约束条件，就是原超静定 梁的梁的 。 A B q l (a) q A B (b) RB 69章节课堂 （3）根据变形相容条件得）根据变形相容条件得 fff RB BBqB 变形几何方程为变形几何方程为 0 ff RB BBq A B q l (a) q A B (b) RB 70章节课堂 f Bq f BRB （4）将力与变形的关系代入）将力与变形的关系代入 变形几何方程得变形几何方程得补充方程补充方程 EI ql f Bq 8 4 EI lR f B BRB 3 3 查表得查表得 q A B (b) R

34、B B A RB q A B 71章节课堂 补充方程为补充方程为 0 38 3 4 EI lR EI ql B 由该式解得由该式解得 ql RB 8 3 f Bq f BRB q A B (b) RB B A RB q A B 72章节课堂 ql RA 8 5 qlmA 2 8 1 梁固定端的两个支反力梁固定端的两个支反力 q A B RB RA mA l 73章节课堂 A B q l (a) 代以与其相应的多余反力代以与其相应的多余反力 偶偶 mA 得基本静定系得基本静定系 mA 变形相容条件为变形相容条件为 0 A 方法二方法二 取支座取支座 A处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束 为多余

35、约束。为多余约束。 l AB q 74章节课堂 例题例题 ：梁梁 A C 如图所示如图所示, 梁的梁的 A 端用一钢杆端用一钢杆 AD 与梁与梁 AC 铰铰 接接, 在梁受荷载作用前在梁受荷载作用前, 杆杆 AD 内没有内力内没有内力, 已知梁和杆用同样已知梁和杆用同样 的钢材制成的钢材制成, 材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为 l , 拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图其余尺寸见图 , 试求钢杆试求钢杆 AD 内的拉内的拉 力力 N。 a2a l A B C q 2q D 75章节课堂 B C q 2q A D lf A f A A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍