特征值与特征向量计算(第六章)[课堂课资]

1、北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院 卫宏儒卫宏儒 科学与工程计算科学与工程计算 矩阵特征值矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容 一、幂法一、幂法 二、反幂法二、反幂法 三、幂法、反幂法小结三、幂法、反幂法小结 四、四、QRQR算法算法 五、五、JacobiJacobi方法方法 问题的提出：问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的求工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的求 解，有时会归结成求矩阵的特征值解，有时会归结成求矩阵的特征值和对应的特征向量和对应的特征向量。学。学 过线性代数后，我们已知求矩阵过线性代数后，我们已知求矩阵A A

2、的特征值的特征值和特征向量和特征向量的的 解法，即先求出解法，即先求出A A的特征多项式：的特征多项式： nnnn n n aaa aaa aaa IAxf 21 22221 11211 det 令令0 0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根通过求解上述高次多项式方程，所得根即为矩阵即为矩阵A A 的特征值，然后求解方程组的特征值，然后求解方程组0 0，就可得，就可得 出特征值出特征值对应的特征向量对应的特征向量X X。 但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵的计算精度较低。同时，矩阵A A求特征多项式系数

3、的过程对舍求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。 目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法- - -幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。 一、幂法 定理：设矩阵定理：设矩阵A的特征值为的特征值为 并设并设A有完全的特征向量系有完全的特

4、征向量系 (它们线性无关它们线性无关)， 则对任意一个非零向量则对任意一个非零向量V0 Rn 所构造的向量序列所构造的向量序列 有有 其中表示向量的第其中表示向量的第j个分量个分量. 1 1) ( )( lim jk jk k V V n 21 n , 21 1 kk AVV P129P129：定理：定理6-26-2；归一化幂；归一化幂 法是定理法是定理6-36-3。 证明：证明： 仅就为实数的情况来证明仅就为实数的情况来证明.假定假定 于是于是,由矩阵特征值定义知由矩阵特征值定义知 ,得得 )0( 122110 nn V iii nnA AAAVV 221101 nnn 222111 nnn

5、 VAAVV 2 2 2 221 2 110 2 12 n k nn kkk kk VAAVV 22211101 . )( 1 2 111i k i n i i k 同理可得：同理可得： )( 1 1 2 11 1 11i k i n i i k k V 假定假定 ,因为因为 ,故得故得 0)( 1 j ),3,2(1 1 ni i 1 1 1 2 11 2 1 11 1 1 )()( )()( lim )( )( lim ji k i n i ij ji n i k i ij k jk jk k V V 从上述证明过程可得出计算矩阵从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方的按模最大

6、特征值的方 法法,具体步骤如下：具体步骤如下： (1)任取一非零向量任取一非零向量V0 Rn,一般可取一般可取V0=(1,1,.,1)T (2)计算计算Vk=AVk-1 (3)当当k足够大时足够大时,即可得到：即可得到： jk jk V V )( )( 1 1 若按上述计算过程，有一严重缺点，当若按上述计算过程，有一严重缺点，当| 1|1 （或（或| 1 |1时）时）Vk中不为零的分量将随中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向

7、量因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行进行“规范化规范化”,即取即取Vk中绝对值最大的一个分量记作中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用，用mk遍除的所有向量遍除的所有向量Vk ，得到规范化向，得到规范化向 量。量。 为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理 为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理 定理二：在定理一的条件下定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列规范化向量序列uk收敛于收敛于 矩阵矩阵A按模最大的特征值按模最大的特征值 1对应的特征向量对应的特征向量,而向量序列而向量序列 Vk的绝对值最大的分量的绝对值最大的分量mk收敛于收敛于 1,即

8、即 )max( lim 1 1 k k u 1 lim k k m 证证: )max()max( , 0 0 1 1 1001 AV AV V V uAVAuV )max( 0 1 0 1 VA VA AuV k k kk )max( 0 0 VA VA m V u k k k k k )(max )( 1 2 111 1 2 111 i k i n i i k i i n i i k )(max )( 1 2 11 1 2 11 i k i n i i i k i n i i )max( lim 1 1 k k u )(max )( max)max( 1 1 2 111 1 2 111 i

9、k i n i i k i i n i i k kk Vm )(max )(max 1 1 2 11 1 2 11 1 i k i n i i i i n i i 1 lim k k m 例：例： 用幂法求矩阵用幂法求矩阵 90688 46544 1356133 A 按模最大特征值按模最大特征值 1和对应的特征向量和对应的特征向量x1 解解:取初始向量取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出，计算出Vk,uk和和mk,迭代迭代 7次的结果列于下表次的结果列于下表 k k V k u 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 274 95 -184 44.43277 14.84322

10、 -29.64262 44.92333 14.97623 -29.95048 44.99572 14.99865 -29.99722 44.99959 14.99988 -29.99974 44.99953 14.99983 -29.99968 44.99953 14.99983 -29.99968 1 1 1 1 0.34672 -0.67153 1 0.33413 -0.66727 1 0.33337 -0.66670 1 0.33334 -0.66667 1 0.33333 -0.66667 1 0.33333 -0.66667 1 0.33333 -0.66667 99953.44,9

11、9953.44,99959.44 99572.44,92333.44,42377.44 765 432 mmm mmm 由上可见经过由上可见经过7次迭代次迭代, m7的值已稳定到小数后的值已稳定到小数后5位，位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作： T x)6667.0,333.0 , 1(,9995.44 11 1 1、归一化例题、归一化例题6-26-2 2 2、幂法的加速：原点平移法；、幂法的加速：原点平移法； AitkenAitken加速法；加速法；RayleighRayleigh商加速法商加速法 注：注： 二、反幂法：二、反幂法

12、： 基本思路：设基本思路：设A没有零特征值，则没有零特征值，则A非奇异，即非奇异，即A的逆矩的逆矩 阵存在，设的特征值为阵存在，设的特征值为 其对应的特征向量为其对应的特征向量为 因为因为 A xk = k xk 所以所以 A-1 xk = k-1 xk 故故k-1就是矩阵就是矩阵A-1的特征值，它们满足的特征值，它们满足 0 21 n 123 , n x xxx 11 111 nn 对应的特征向量仍为对应的特征向量仍为x xk k 。因此，求矩阵。因此，求矩阵A A的按模最小特征的按模最小特征 值，就相当于求其逆阵值，就相当于求其逆阵A A-1 -1的按模最大特征值 的按模最大特征值 n n

13、-1 -1 ，这只需应用 ，这只需应用 幂法即可求得。幂法即可求得。 注意点：注意点： 由于求逆非常费时。故在用迭代向量由于求逆非常费时。故在用迭代向量 由由u uk-1 k-1求 求V Vk k时，可采用解方程组时，可采用解方程组 的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故 计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每 次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别 当当n n较大时，将大大地节省计算量。较大时，将大大地节省计算量。 三、幂法小结：三、幂法小结：

14、 幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相 应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序 在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依 赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是 求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。 1 1 kk uAV 1 kk uAV 四、算法四、算法 1、Householder矩阵矩阵 P136P136定义定义6-16-1，定理，定理6-46-4 P137P137定理定理6-56-5 、矩阵的分解、矩阵的分解 1102 1003 3 1717 122 114223 2 21 0 3317173 1717 21 2 41212 0 317171717 12 Q=HH 可验证可验证:QR = A . 定理定理6.76.7 、求矩阵全部特征值的算法、求矩阵全部特征值的算法 五、五、JacobiJacobi方法