高中数学3-2-2平面的法向量与平面的向量表示同步练习新人教B版选修2-1

1、一、选择题1 .下列命题中正确的是 ()A. 如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B. 如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C. 如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D. 如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影答案D解析由三垂线定理知 D成立.2. 在正方体 ABC ABCD中，平面 ACB的一个法向量为()a. BDb.SBc.BAd.BB答案a3. 点 A(a, 0,0) , B(0 , b,0) , C(0,0 , c)，则平面 ABC勺一个法向量为()A. (bc, ac

2、, ab)B. (ac, ab, bc)C. (be, ab, ac) D . (ab, ac, bc)答案A解析 设法向量为n= (x, y, z)，则ABn= 0, AC- n= 0,贝Uax+ by= 0 n= ( bc, ac, ab).ax+ cz = 0故选A.4. 在正方体 ABC ABCD中，若E为AQ的中点，则直线 CE垂直于()A. ACB. BDC. ADD. A1A答案B解析直线CE在平面AC内的射影为AC,又 ACL BD - BDL CE 故选 B.5. 正方体AG中，E, F分别是AB CD勺中点，则下列直线中不互相垂直的是()A. BC与 CDB. DB与 BC

3、C. DB与 EFD. AiB与 BC答案C解析DB与EF所成角等于/ DBC其余弦值为 ，故选C.316 若平面 a、卩的法向量分别为U= ( 2,3 , - 5) , v= (3 , - 1,4)，则()A. a/卩B. a丄卩C. a、卩相交但不垂直D .以上均不正确答案C解析T u= ( - 2,3 , - 5) , v = (3 , - 1,4),/ u与v不平行且 U与v不垂直,故选C.7.平面a的一个法向量为 W = (1,2,1)，平面3的一个法向量V2= (2,4,2)，则平面a与平面3 ()A.平行B .垂直C.相交D .不能确定答案A解析由V1 / V2故可判定a / 3

4、 .&设平面 a的法向量为(1,2 , - 2)，平面 卩的法向量(一2,- 4, k)，若a / 3 ,则 k=()A. 2B.- 4C. 4D. 2答案C解析1 2 - 2 a / 3 -2-4- k , k= 4,故选C.9. 若直线I的方向向量为a= ( - 1,0, 2)，平面a的法向量为U= (4,0,8)，则()A. I / a B. I 丄 aC. I ? a D. I与a斜交答案B解析/ u=- 4a,. u / a,. a丄 a,. I 丄 a.故选B.10. 在正方体 ABCABCD中，E、F分别是BB、CD的中点，贝U ()A. 面 AED/ 面 AFDB. 面 AED

5、L面 AFDC. 面AED与面AFD相交但不垂直D. 以上都不对答案B解析以D为原点，DA DC, DD分别为x, y, z建立空间直角坐标系求面 AED的法3向量ni与面AFD的法向量n2.T ni n = 0,二 ni 丄 n,平面AEDL平面 AFD.二、填空题11. 若直线I与卩的法向量分别是 a= (1,0 , - 2) , b= ( 1, 0,2)，则直线I与卩 的位置关系是.答案I丄卩 解析Ta/ b, I丄卩.112. 已知I / a ,且I的方向向量为(2 , m,1)，平面a的法向量为1,勺2，贝U m=答案81解析设 a= (2 , m,1), b= (1 , 2, 2)

6、.1-I /a,., a 丄b, - - 2+2 = 0，rn= 8.13.已知正四棱锥(如图所示)，在向量PA-PB+ Pc Pd, pA+PC PB+PD PM PB+ Pc+ PD中，不能作为底面 ABCD勺法向量的向量是.答案PA- PB+ PC PD解析t PA- PB PC PD= Bm DC= 0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与 商线.而POL平面ABCD它们可作为这个平面的法向量.14.如图所示，已知矩形 ABCD AB= 1, BC= a, PAL平面 ABCD若在BC上只有一个点 Q满足PQL QD贝U a的值等于.答案2解析以A为原点，建立如图所示坐标

7、系，则A(0,0,0),巳1,0,0) , D(0 , a,0), C(1 , a,0)，设 Q1 , x, 0) , P(0,0 , z), PQ= (1 , x , z) , QD= ( 1, a x, 0).由PQ- Qb= 0,得一1 + x(a x) = 0 ,2即 x ax+ 1 = 0.当a = a2 4 = 0,即a= 2时，Q只有一个.三、解答题15.已知 ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2) , B(4,2,0) , C(2,4,0),求平面 ABC的单位法向量.解析XB= (4,2 , - 2) , AC (2,4 , - 2)|n|2= 1, n AB= 0, n

8、 AC= 0,设n= (x, y, z)是平面ABC的单位法向量，则有2 1 2 2x + y + z = 1, 2x + y-z = 0, x + 2y- z = 0.13取 z0,得 x = y=, z =.0111 2(1,1,3).A16.如图所示，M N、P分别是正方体 ABCABCD中的棱 CC、 BG CD的中点.求证：AP丄平面DMN证明建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 2,贝U D(0,0,0), A(2,0,2), R0,1,0), M(0,2,1), N(1,2,0)向量 AP= (0,1,0)- (2,0,2)= ( 2,1 , - 2),-(0,0,0)

9、= (0,2,1) , DN= (1,2,0) AP DM= ( 2,1 , - 2) (0,2,1)=(2) X 0+ 1X 2 + ( 2) X 1= 0.AP DN= ( - 2,1 , - 2) (1,2,0)=(-2) X 1 + 1X 2+ ( - 2) X 0= 0. AP 丄 DM a/Pxdn即 API DM API DN 又 DMP DN= D, AP丄平面DMN17.棱长为a的正方体 ABCABCD中，在棱 DD上是否存在点P使BD丄面PAC?解析以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点只0,0 ,z), Xf= ( -a, 0 , z), XC= ( -a , a, 0

10、), DB= (a , a , a), BD丄面PAC DB- AP= 0 ,DB AC= 0.2一a + az = 0. z= a,即点P与D重合.点P与D重合时，DB丄面PAC18.如图所示，ABCD为矩形，PA!平面ABCD PA= AD M N、Q分别是PC AB CD的中占I 八、：(1)求证：MN/ PAD求证：平面 QMN平面PAD求证：MNL平面PCD解析(1)如图以A为原点，以AB, AD AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设 B(b,O,O) , DO, d,0), P(0,0 , d)，贝V C(b, d,0) / M N, Q分别是PC AB CD的中点，b d d bb M2 , 2，2，N 2，0，0，Q2，d , 0td d- MNk 0, 2, 2 ，面PAD勺一个法向量为m (1,0,0)祈 m 0,即 MNL m, MN不在面PAD内 , M