高三数学二轮复习必考问题专项突破21数学思想在解题中的应用(1)理

1、I真題休验I2b= ( -, y)l( - i) + (y一 11. (2012 重庆)设平面点集 A= ( x, y)|( y x) y - 0, X1）2 b0）的左、右焦点，P为直 线x= 3a上一点， F2PF是底角为30的等腰三角形，贝y E的离心率为（）.1 23A.2 B. 3 C. 4 D.答案：C 由题意可得 |PF| 十冋， 2 |a c = 2c,.3a= 4c,. e= 3.x y w 10,3. （2012 辽宁）设变量x, y满足0w x + y 20,则2x+ 3y的最大值为（）.0w y w 15,A. 20 B . 35 C . 45 D . 55答案：D 根

2、据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值.作出不等式组对应2的平面区域（如图所示），平移直线y= 3X,易知直线经过可行域上的点A（5,15）时，2x +33y取得最大值55,故选择D.一2254. （2012 重庆）过抛物线y = 2x的焦点F作直线交抛物线于 A B两点，若| AB =石, |AF v| BF，则 | AF =.1解析 设过抛物线焦点的直线为y = k x2 ,2y = 2x,联立得iy= k x2 ,Xi+ X2 =k2 + 21XiX2=.4| AB| = Xi + X2+ 1 =2k + 2=12,得k22 2 2 2 1 2 2k = 24 代入 k X (k

3、 + 2)x + 4k = 0 得 12x 13x1整理得 k2x2 (k2+ 2)x+ 4k2= 0,13,15+ 3 = 0，解之得 X1 = 3, X2= 4，又 | A” 0时，就转化为不等式f(x) 0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.3在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过形分析这些数量关系，达到解题的目的.热点命题角度钗朗8斬油点笑確构造函数、利用函数性质解决有关问题函数思想，不仅是利用函数的方法来研究解决有关函数问题，更重要

4、的是运用函数的观点去分析、解决问题，它的精髓是通过建立函数关系或构造函数，再运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.【例1 】? (2012 辽宁)设 f (x)= ln(x + 1) +x+ 1 + ax+ b( a,b R,a,b 为常数),3曲线y= f (x)与直线y= qx在(0,0)点相切.(1)求a, b的值；9x证明：当0vxv 2时，f(x) v.x + 6审题视点听课记录审题视点(1)应用导数研究函数性质；(2)应用导数研究函数性质，并且结合放缩法的应用.解由y = f(x)过(0,0)点，得b= 1.3 11 3由 y = f (x)在(0,0)点的

5、切线斜率为 2，又 y I =0 = x+ 1 + 2 寸x+ 1 + a I x=o=2 + a,得 a= 0.(2)证明由均值不等式，当x 0时，2 x+ 11 v x + 1+ 1 = x + 2,故 x+ 1 v2+ 1.记 h(x) = f (x) x+6，则1(X)= x+12x+154x + 62+ 寸 x + 1542x+ 12x+ 6x + 6544x + 1x + 631111x+ 6 x- x，对任意正整数n，取x=补(0,1】，得ln1+1 孑-孑利用方程思想构造方程解决有关问题 216 x+14 x+ 12x+ 63令 g(x) = (x + 6) 216( x+ 1

6、),则当 0v xv 2 时，g(x) = 3( x+ 6)2 216 v 0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0) = 0,得g(x) v0，所以 h(x) v0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0) = 0,得h(x) v 0.于是当 0v xv 2 时，f (x) v x+6.门力根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，使问题得解，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想.1 1 1【突破训练“证明：对任意的正整数n不等式in 1+1苛-孑都成

7、立.证明32令 f (x) = x x + l n(x+ 1)，则 f (x)=33x + x 1x + 12-在(0,1上恒正.32 f(x)在(0,1上单调递增，当 x (0,1时，有 x x +1 n(x+ 1) 0,即卩 I n(x+ 1) 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组，通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况进一步研究直线与圆锥曲线的关系，同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想.1【例2】? (2012 湖南)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆 C： x2 + y2 4x + 2= 0的圆心.(1) 求椭

8、圆E的方程；1(2) 设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 空的直线11, 12.当直线l 1, l 2都与圆C相切时，求P的坐标.审题视点听课记录审题视点(1)将圆的一般方程化为标准方程，然后根据条件列出关于a, b, c, e的方程，解方程(组)即可；(2)设出点P的坐标及直线方程，根据直线与圆相切，圆心到直线 的距离等于半径，构造一元二次方程，利用根与系数的关系及 P在椭圆上列出方程组，求解得P点的坐标.2 2 2 2解(1)由x + y 4x+ 2 = 0得(x 2) + y = 2，故圆C的圆心为点(2,0).从而可设椭2 2xyc 1圆E的方程为-+ 2= 1(ab0)，其焦距

9、为2c.由题设知c= 2, e = - = j所以a= 2c = 4,aba 22 2b = a c = 12.故椭圆E的方程为 .= 1.16 12(2)设点P的坐标为(X0, y), 11, 12的斜率分别为k1, k2,贝U 11, 12的方程分别为I仁y1y0= k1(xX。),12：y y0= k2(x X。)，且kk=2，由 11 与圆C：(x 2)2+ y2= 2 相切得|2力 + y0 k1X0|.k2+ 1一 =2即(2 X。)2 2 k2 + 2(2 X。) yk1 + y2 2= 0.同理可得(2 xQ2 2 k2+ 2(2 x)yk2+ y0 2 = 0.从而k1, k

10、2是方程(2 x) 2 k + 2(2 x) yk+ y 2= 0的两个实根，于是2 X02 2工 0,2 2A = 82 X0+ yo 2 0,y2 212 2 X0 222 2xoyo+ = 1得 5xo 8xo 36= 0,16于 12，2yo- 212-Xo2-2 = 2解得xo= 2，或xo=罟.由 xo= 2 得 yo= 3;由1857xo = 得yo=亠亍，它们均满足式.故点P的坐标为（一2,3）,或（-2,- 3），或18，亨，或臥y ；旳直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想,在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想.2X 【突破训练2】（2012 安徽）如图，

11、F1, F2分别是椭圆 Ca2yF=1( a b O)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点,B是直线AF与椭圆C的另一个交点，/FAF= 6O .（1）求椭圆C的离心率;已知 AFB的面积为解 （1）由题意可知，4O , 3,求a, b的值.AFF2为等边三角形，a=2c,1 所以e= . 法一a2 = 4c2, b2= 3c2,33亍.直线AB的方程可为y= 3（x c）.所以 I AB = ,1 + 3 8匚c 0516计1由 SAAFB= 2|AF| AB si1n/ F1AB=尹16. 35 c 2 =253a2= 40.3，解得 a= 10, b5 ,3.法二设 | AB = t.因为|

12、AB| = a,所以| BF；| = ta.将其代入椭圆方程3x2 + 4y2=曲，得B5c,由椭圆定义 | BF| + | BF2| = 2a 可知,|BF| = 3a t.2 2 2 8再由余弦定理(3a t) = a +1 2atcos 60 可得，t = ga.由 SAAFB=加 8a 255 ；3.利用数形结合讨论方程的根讨论方程的解可构造两个函数,使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题,用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性.【例3】?方程2 x sinx= 0 在区间0,2n 上的实根个数为().A. 1 B .审题视点听课记录答案：B方程2 x si nx=

13、 0 在区间0,2n 上解的个数，可以转化为两函数与y= si nx交点的个数.根据右面图象可得交点个数为2，即方程解的个数为 2.故选B.匸门|丹用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作 出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.2x + bx+ c, x0.=f (0) , f( 2) = 2,则关于x的方程f(x) = x的解的个数为().A. 1 B . 2 C . 3 D . 4f 4= f

14、 0,【突破训练3 C ?f 2= 2b= 4,c = 2.16-4b+ c= c,4-2b+ c = 2f(x)= x2+ 4x+ 2, x 0,这个函数的图象如图所示：可知直线y= x与f(x)的图象有三个交点，选C.利用数形结合求参数参数范围、或求最值在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长. 如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决.【例4】？ (2012 潍坊模拟)不等式| x + 3| |x1| 1.象，如图，可以看出函数f (x)的最大值为4,故只要a2 3a4即可，解得a4. 选项为A.m?本题的知识背景涉及函数

15、、不等式、绝对值等，“题目中的某些部分都可以使用图形”表示，在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来，借助于图形的直观获得了解决问题的方法， 这就是以形助数，是数形结合中的一个主要方面. 在解 答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质， 并综合图象的特征得出结论.【突破训练4】(2010 天津)设函数 g(x) = x2 2(x R) . f(x)=g x + x + 4, xv g x ,则f (x)的值域是().g x x, x g x ,9门A. 4, 0 U (1 ,+s) B .0 ,+s)99C. 4，+m D. 4, 0 U

16、 (2 , +m)x突破数形结合思想缺失的障碍解答函数试题，很多时候函数图象是隐形的，即在试题中没有出现函数图象，在答题中一般也不要画出函数图象，但在寻找解题思路时必须借助于函数图象，这就是数形结合思想的深刻体现，而很多学生常常在解题中对这种隐形的数形结合意识不到，导致解题错误.【示例】？(2012 德州模拟)已知函数f (x) = x3 3ax 1,0. 求f (x)的单调区间； 若f (x)在x= 1处取得极值，直线 y= m与y= f (x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围. + x+ 2, xg x2x + x + 2, xg, 1 U 2,+sx x 2, x 1 , 2,1

17、 2 7x + 2 + -, x g, 1 U 2,+g1 2 9x2 -, x 1, 2.所以结合图形，可得当x ( g, 1) U (2 ,+g)时，f(x)的值域为(2 ,+g);当x 1,2时，f (x)的值域为 一-,0 .故选D.03w 阅卷老师叮咛.- 2 因为f(x)在x=- 1处取得极值，所以f ( 1) = 3X ( 1) 3a= 0,.a= 1.(6分)32所以 f (x) = x 3x 1, f (x) = 3x 3,由 f (x) = 0 解得 X1= 1, X2 = 1.由(1)中f(x)的单调性可知，f (x)在x = 1处取得极大值f( 1) = 1，在x= 1

18、处取得 极小值f (1) = 3.因为直线y= m与函数y = f (x)的图象有三个不同的交点， 结合f (x)的单 调性画出图象(如图所示)可知，m的取值范围是(一3,1) . (12分)老师叮咛：解答本题的关键是数形结合，但前提必须是利用导数把函数的性质研究透彻， 根据函数的性质把函数图象的大致形态勾画出来，根据数形结合思想找到实数m所满足的条件，再进行严格的推理论证.【试一试】(2012 广东模拟)设函数 f (x) = ax3 3ax, g(x) = bx2 In x(a, b R), 已知它们在x=1处的切线互相平行.(1) 求b的值；f x , x 0,值范围.解 函数g( x) = bx2 l nx的定义域为(0 ,+s).2(1) f (x) = 3ax 3a